Medidas e Incertezas Experimentais

Apresentação em tema: "Medidas e Incertezas Experimentais"— Transcrição da apresentação:

1 Medidas e Incertezas Experimentais
George C. Cardoso

2 A importância de medir e medir corretamente
“Meça o que pode ser medido e faça mensurável o que ainda não pode ser medido” (autor desconhecido, atribuída normalmente a Galileu) Esta filosofia permitiu o surgimento do método científico e desenvolvimento da engenharia e produção em massa. Para pesquisa e desenvolvimento, adota-se o método DMAIC: definir, mensurar, analisar, melhorar e controlar

3 Vamos medir (contar) o numero de laranjas
Quantas laranjas tem aí? Incerteza? Conte de novo algumas vezes? Peça para outra pessoa contar.

4 Quantas bactérias tem nessa imagem?
Conte numa certa região. Conte novamente. Peça para outra pessoa contar. Muda de medida para medida? Qual a variação?

5 Medir é medir o valor médio (usar múltiplas técnicas para certificar-se). Não há forma melhor que isso, exceto se a quantidade medida puder ser contada.

6 Por que conhecer a incerteza?
Exemplo: Duas medidas de temperaturas do corpo antes e depois da administração de uma drogra: 38.2C and 38.4C Podemos dizer que de fato houve um aumento de temperatura? Depende das incertezas da medida. (38.200.01)C e (38.40 0.01)C - significante (38.20.5)C and (38.4 0.5)C – não significante

7 Incerteza aleatório vs. sistemático
Aleatório (incerteza): tende a variar a cada medida, tanto para mais quanto para menos. Na maioria dos casos forma uma distribuição Gaussiana em torno da média. O erro aleatório está sempre presente nas medidas. O erro aleatório pode ser minimizado fazendo-se muitas médias, melhorando método experimental para minimizar variância e/ou medindo-se a variável em função de outra e fazendo ajuste de curva. Sistemático: erros de calibração e de método. Difícil de detectar. Somas destes erros são somas lineares. ANALISE ESTATISTICA não detecta este erro. Esse erro pode ser detectada utilizando-se métodos alternativos e comparando resultados. Assume-se que não existem enganos nem erros crassos. Supõe-se que o experimentalista é cuidadoso (da mesma forma que se assume que os cálculos num artigo ou relatório cientifico estão corretos, o que nem sempre é verdade.)

8 Erro aleatório: Precisão vs. Exatidão
Fonte: wikipedia (

9 Discuta com seu colega a precisão e exatidao de cada figura

10 Incertezas em vários instrumentos de medida
Incerteza de leitura: ½ da menor divisão Qual a incerteza nesse multimetro? Cuidado com Paralaxe: em instrumentos de ponteiros e Reguas. Instrumentos digitais: Ver manual do fabricante. Metade do digito que contém incerteza ou metade Do ultimo digito caso nenhum digito apresentado tenha incerteza.

11 Incertezas devido a erros Aleatórios e sistemáticos
Erros aleatórios, somente True value Erros aleatórios + sistemático Um resultado é exato se o erro sistemático for pequeno Um resultado é preciso se o erros aleatório for pequeno.

12 Medida da largura da sala (olhômetro)
Resultados escritos em termos Do valor médio e desvio padrão: (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 Primeiro escrevemos O desvio padrão com 1 algarismo ou 2 algarismos Significativos no caso do primeiro Dígito ser 1. Valor Médio: Depois, olhando para os algarismos significativos E para a posição da vírgula, se houver, escrevemos O valor da média arredondado até o algarismo correspondente Ao menor algarismo significativo do desvio padrão. Neste exemplo, O menor algarismo significativo do desvio padrão é 4 e fica logo Depois da vírgula. Assim, paramos o arredondamento da média Logo depois da vírgula. = 8,9759 m Desvio padrão da amostra: Resultado medido com a trena: 8,9 metros = 1,3940 m

13 Nos próximos slides veremos
Em áreas técnicas e científicas, não basta saber o valor da medida; precisamos saber qual o grau de confiança e representar corretamente a precisão do valor medido. Nos próximos slides veremos O significado intuitivo da desvio padrão Como somar duas quantidades com incertezas O desvio padrão da média

14 Desvio Padrão amostral: s
Desvio padrão é o valor RMS (valor eficaz, lembrar das integrais) da variação de medida para medida em torno da média. Portanto, as unidades do desvio padrão são as mesmas da quantidade medida. Exemplo: se a medida for em metros, o desvio padrão estará em metros. Desvio padrão É o valor efetivo da variação em torno da média. É determinado como a raiz quadrada da variância.

15 Variância Vin(t) = 0 (silencio) Vout (t) = 0 (silencio) Microfone
Resistencia do Alto-falante: 1 Ohm Vout (t) = 0 (silencio) P(t) = V2/1 = 0

16 Variância Microfone Resistencia do Alto-falante: Vout (t) ≠ 0 (ruído)
1 Ohm Vout (t) ≠ 0 (ruído) P(t) = V(t)2/1 ≠ 0 O silencio é perturbado por ruído (média zero) Vin(t) = ruído

17 Valor médio de V(t) = 0 Neste caso o valor médio da quantia Medida é zero. Valor médio de P(t) VARIÂNCIA = Potência RMS do ruído em torno na média

18 Ilustração: o que significa o desvio padrão?
Digamos que temos uma bateria cuja medida de voltagem possui flutuação ou incerteza na medição, representada no circuito abaixo A f.e.m. no resistor R no i-esimo instante (ou medida) vale: E[i] = V + vi Ruído/Incerteza E Mostramos abaixo que a variância (s2 ) de E é igual à potência média do ruído/incerteza < Pruido > e que O desvio padrão s é igual ao valor eficaz (valor médio quadrático – rms) do ruído/incerteza. <PR > = <PV > + <Pruido > E Este termo é também equivalente ao valor eficaz ao quadrado, o valor RMS

19 Variância s2 de uma medida: “potencia média” da flutuação/ruído da medida, ou valor RMS da variação em torno do valor médio. É uma característica combinada do processo, condições de medida e habilidade dos experimentadores. Medir mais vezes sem fazer nenhuma mudança não vai diminuir a variância/ruído, Mas vai permitir uma melhor caracterização da variância (obter a variância com mais algarismos significativos) A variância tem unidade do quadrado das unidades medidas. Exemplo: se a quantidade medida foi mm, A variância será em mm2 s (a raiz quadrada da variância) é chamado de desvio padrão e tem as mesmas unidades utilizadas na medida.

20 A f.e.m. no resistor R no i-esimo instante (ou medida) vale:
Digamos que temos uma bateria cuja medida de voltagem possui flutuação ou incerteza na medição, representada no circuito abaixo A f.e.m. no resistor R no i-esimo instante (ou medida) vale: E[i] = V + vi Ruído/Incerteza E Mostramos abaixo que a variância (s2 ) de E é igual à potência média do ruído/incerteza < Pruido > e que O desvio padrão s é igual ao valor eficaz (valor médio quadrático – rms) do ruído/incerteza. <PR > = <PV > + <Pruido > E Este termo é também equivalente ao valor eficaz ao quadrado, o valor RMS

21 Exemplo de uso da representação de variância ( s2 )
Calculando a altura média: Calculando a variância da amostra: Desvio padrão: s = 160,87 mm Com quantos dígitos escrever a resposta da medida? Altura = (394 ± 143,88) mm, N = 5; mas não temos toda essa precisão (algarismos significativos) Altura média = ( 39 ± 14)* 10 mm ou ( 39 ± 14) cm, N=5

22 Teorema Central do Limite: Ilustração
A interpretação da variância depende da distribuição das medidas. Em geral a distribuição tende a uma Gaussiana (teorema central do limite) Teorema Central do Limite: Ilustração Exemplo: Medidas no olhômetro da largura da Sala Ver: JogandoDados-como se acumula a media v2

23 Quando o histograma dos dados medidos podem ser aproximados por uma Gaussiana:
Aproximadamente 68% dos valores medidos estão entre o valor médio e mais ou menos um desvio padrão Aproximadamente 95% dos valores medidos estão entre o valor médio e mais ou menos dois desvios padrão. 68,2 % 95,4 %

24 Por que escrevemoso desvio padrão com apenas um ou dois algarismos?
A incerteza tem sua própria incerteza. A incerteza é derivada da variância; não é possível conhecer a variância precisamente com poucas medidas. Só podemos usar dois algarismos significativos na variância a partir de milhares de pontos experimentais. JogandoDados-como se acumula a media v2.xls

25 Convergência do valor médio e do desvio padrão para muitas medidas de uma variável aleatória (dado de seis faces, neste caso) Variação da variância ainda é da ordem de 10% até muitas centenas de pontos experimentais (medidas)

26 Representação do Resultado e Algarismos Significativos: olhar primeiro para a incerteza da medida.
Exemplo 1: Incerteza : 0,345  Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 23,456 Incerteza : 0,3 Valor Médio: 23,5 (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig.) Como escrever: (23,5 ± 0,3) oC Exemplo 2: Incerteza : 15,345   Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 141,235 Incerteza : (aqui guardamos 2 algarismos significativos porque se arredondássemos para baixo seria uma mudança de 50%, que é maior que a incerteza da incerteza) Valor Médio: (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig.) Como escrever: (141 ± 15) oC

27 Caso especial de arredondamento (incerteza começando com 1, e N<1000)
No caso da incerteza começar com 1 manter 2 alg. Sig. Se a incerteza começar com 2,3,...,9, basta 1 alg. sig. Valor Médio: 23,456 Incerteza : 0,145  0,15 Como escrever: (23,46 ± 0,15) unidades

28 Exemplos: Supor que os números abaixo são resultado de media de 100 medidas. Como escrever com o alg. Sig. Corretos? ( ± 236)*10-5 (12,3213 ± 0,0123) m (9934 ± 903)*10-3 s

29 Voltando ao problema da medida da largura da sala de aula
Obtivemos (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 O que é a média verdadeira? A média verdadeira seria a média que encontraríamos se medíssemos um número infinito de vezes, ou seja n  infinito. Isso não conseguimos fazer na prática. Sabemos que o desvio padrão é uma característica do processo de medida. Ele vai se manter da mesma ordem de grandeza do que já temos, ou seja, da ordem de 1 metro, mesmo com n muito grande. Então como saber mais sobre a média da medida? Como estimar a incerteza na média obtida Noutras palavras, se eu repetir esse mesmo experimento (com n = 32), em que intervalo a média vai ficar a média 95% das vezes? A essa resposta conseguimos responder.

30 Diminuindo a incerteza na média fazendo mais medições:
<PT(Ruidos) > = <Pruido1 > + <Pruido1 > + <Pruido1 > Lembrando que a potencia média do ruído é a variância temos: E2 Quando o desvio padrão (sistema/método de medida mesmo) for a mesma s para Todas as medidas, temos que o desvio padrão da média é dado : E1 Calculado de forma similar a média

31 Desvio padrão da média (erro padrão)

32 Efeito de mudar a precisão do sistema de medida (desvio padrão) e o número de pontos experimentais. A seta mostra o valor da média dos gráficos com sigma = 4. Sistema de medida de baixa precisão Sistema de medida de precisão intermediária Sistema de medida de alta precisão (a) (b) (c) Cada histograma acima contém 10 medidas O desvio da média é significativo (ver seta). Com 10 medidas apenas, é preciso um sistema muito bom (baixo sigma) para termos um erro pequeno na média. Todavia, note que se o sistema tem baixo ruído (baixa variância) mesmo com apenas10 medidas obtemos uma média adequada. Cada histograma acima contém medidas Aqui, mesmo para o sistema de baixa precisão o valor média é muito próximo do valor obtido com o sistema de alta precisão. O desvio padrão da média (Erro padrão) diminui com a raiz quadrada do número de medidas. O objetivo de fazer média de muitas medidas é obter com um sistema de medição ruim (sigma grande) valores similares aos que se obtem com poucas medidas em sistemas de alta precisão (sigma pequeno) [Fig. (b)] Cada histograma acima contém 100 medidas Qual a incerteza da média experimental (Desvio padrão da média)? Depende de sigma. Note que no sistema de baixa precisão a média do histograma ficou longe de 10

33 Se quiséssemos aumentar a precisão da medida em mais um algarismo significativo, quantas medidas precisaríamos fazer Se x = (9,0 ± 0,4) metros, I.C de 95% para n = 32? Com os dados originais abaixo: Desvio padrão da amostra: Valor Médio: = 1,3940 m = 8,9759 m

34 Medida do valor médio de uma grandeza: Quantas medidas devemos fazer?
Depende de quanto você quer reduzir a incerteza. Usar experimento piloto para ver o nível de “ruído” (variância) dos dados. Usar esse nível de ruído para estimar quantas medidas precisamos fazer para ter o nível de incerteza que procuramos

35 Erro padrão (desvio padrão da média)
(incerteza da média) 68,2 % Se distribuição for Gaussiana: 68% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± ) . 95% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± ) 95,4 % NOTE: Se o número de medições N  ∞ você encontra a média Verdadeira para o tipo de medida feita.

36 Voltando a medida da sala (9,0 ± 1,4) metros, n = 32
Obtivemos O valor 1,4 acima é o desvio padrão. Para escrevermos em termos do erro padrão (desvio padrão da média) temos Escrevendo com um único algarismo significativo (pois só são 32 medidas) temos para a largura da parede: x = (9,0 ± 0,2) metros, I.C de 68% Para dois sigma, temos x = (9,0 ± 0,4) metros, I.C de 95% SLIDE IMPORTANTE!! s

37 Revendo Conceitos Importantes:
Valor Médio Desvio Padrão Erro Padrão (Desvio Padrão da Média)

38 Os valores medidos concordam ou discordam?
(59 ± 5) m, I.C. 95% (50 ± 5) m I.C. 95% *obviamente que a incerteza não é zero, incertezas sempre se somam – ver no próximo slide:

39 Incertezas se somam mesmo nas diferenças de valores

40 Conceitos importantes para n medidas
Variância s2 Desvio padrão s Erro padrão (ou desvio padrão da média) s<x>= s/n Notação (<x> ± s) unidades, n medidas, onde s é o desvio padrão Notação (<x> ± 2s<x>) unid., 95% I.C. , n medidas (usar n>15 ou a correção da curva t de Student) Algarismos significativos: usar 1 ou 2 alg.sig. Para até n ~ centenas Diferença ou soma de valores experimentais: fazer diferença (ou soma) das médias e as incertezas se somam (mesmo em subtração) em quadratura.

41 Vantagem do uso do erro-padrão em vez do desvio padrão: Mesmo para uma distribuição de valores não normal, o erro padrão fica normal (teorema do limite central) DESVIO PADRÃO: Diferente de uma distribuição gaussiana, 100% dos resultados medido estão entre 1 e 6, sem mudança na frequência relativa. A probabilidade de qualquer resultado é a mesma. Valores distribuição dos valores obtidos com 10 mil jogadas. Veja que a distribuição não é Normal (Gaussiana). Um desvio padrão vale 1,7. Consequência Do Teorema Central do Limite (O limite da soma De distribuições é uma distribuição Normal) for i=1:1000 numberOfThrows = 10000; throws = randi(6, numberOfThrows, 1); sumOfThrows(i) = sum(throws)/numberOfThrows; end hist(sumOfThrows);figure(gcf); DESVIO PADRÃO DA MÉDIA (Erro padrão): Valor da média de uma sequencia jogadas; sequencia repetida mil vezes para plotar histograma. Assim, para o erro padrão podemos usar os Intervalos de confiança, etc derivados da distribuição Normal.

42 Relembrando o TCL : Teorema Central do Limite: Ilustração
Exemplo: Medidas no olhômetro da largura da Sala Ver: JogandoDados-como se acumula a media v2

43 Revendo Conceitos Importantes:
Valor Médio Desvio Padrão Erro Padrão (Desvio Padrão da Média) Mesmo para distribuições não Normais o erro padrão segue uma distribuição normal

44 Graus de Liberdade Para 1 variável, para N medidas, a média terá (N-1) graus de liberdade Para mais de cerca de 15 graus de liberdade, podemos considerar distribuição gaussiana, com um algarismo significativo no erro padrão. Com 15 ou menos graus de liberdade a incerteza cresce muito e usamos uma distribuição mais larga que a Normal

45 Distribuições com poucos pontos (N<16)
As distribuições só são Gaussianas para muitas medidas (número grande de graus de liberdade [df –degrees of freedom]). Na prática, considerando apenas 1 ou 2 algarismos significativos no desvio padrão a Gaussiana começa a valer acima de 16 pontos experimentais. Para menos de 16 pontos experimentais usamos a distribuição chamada t de Student (que é mais larga que a Normal). Isso aumenta a incerteza das medidas. Quando temos apenas uma única medida (zero graus de liberdade) a incerteza experimental é infinita.

46 Compensando a largura da t-student bicaudal

47 Exemplo numérico com poucos graus de liberdade (exemplo dos cachorros).

48 O valor da altura dos cachorros no experimento piloto
( 39 ± 17,53) cm, 95% I.C. (39 ± 18) cm, 95% I.C. Significa que há 95% de chance da altura média verdadeira de todos os cachorros do mundo estarem entre (39-18) cm e ( ) cm Com a incerteza é grande, porque medimos poucos cachorros, a pergunta frequente é: Quantos cachorros precisamos medir para reduzir em cerca de 3 vezes a incerteza na altura média?

49 Diminuindo o Desvio Padrao da Media

50 Com 500 cachorros medidos Diminuiremos a incerteza de ± 18 cm para cerca de 1,8 cm ou 2 cm O novo valor médio provavelmente (95% de chance) estará nesta faixa: (39 ± 18) cm, 95% I.C. Se medíssemos os 500 cachorros, encontraríamos uma resposta para o valor médio da altura deles que poderia ser, por exemplo: (51 ± 2) cm, 95% I.C. Ou (23 ± 2) cm, 95% I.C. Não sabemos. Os valores acima estão ambos compatíveis com o experimento piloto. Medido 500 cachorros diminuiremos a incerteza

51 Slides Adicionais (Back up)