Lisandra Sauer - UFPEL_

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1 Lisandra Sauer - UFPEL_
Cones Lisandra Sauer - UFPEL_

2 Motivação Cone de sinalização
O cone de sinalização realmente é um cone?

3 Cone Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja V um ponto fora de H. Por cada ponto P de C trace a reta VP. A união dessas retas é uma superfície cônica de vértice V. A parte do espaço limitada pela superfície cônica e pelo plano H é chamada de o cone de base C e vértice V. A distância de V ao plano H é a altura do cone. O segmento VP é uma geratriz do cone.

4 Teorema Toda seção paralela à base de um cone é uma figura semelhante à base. Considere um cone de base C vértice V e altura h. Um plano paralelo à base distando h de V produziu no cone um outro cone de base C’ e vértice também V . Para cada ponto X ∈ C considere X’ a intersecção da reta que passa por X e V com C’. Para qualquer ponto X de C temos que os triângulos VX’Y’ e VXY são semelhantes (lembre os planos são paralelos). Daí C e C’ são semelhantes.

5 Volume do cone O volume do cone é a terça parte do produto da área da base pela altura. Dado um cone com base de área A e altura h considere uma pirâmide com mesma altura e base de mesma área. Coloque os dois sólidos com as bases no mesmo plano H. Um plano paralelo a H corta os dois sólidos formando seções de áreas A1 e A2. Pelas propriedades do cone e da pirâmide temos A1 /A = h’/ h = A2/ A . Logo, A1 = A2 e pelo Princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm mesmo volume. O volume do cone com base de área A e altura h é V = 1 /3 Ah.

6 Classificação

7 Cone Circular reto Seja C uma circunferência contida no plano H e seja V um ponto tal que OV seja perpendicular a H. O cone de base C e vértice V é o cone circular reto. Todas as geratrizes do cone circular reto são congruentes. O cone pode ser imaginado como o sólido de revolução resultante da rotação do triângulo retângulo VOP em torno da reta que contém OV.

8 Secção Meridiana É a intersecção do cone com um plano que contém a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

9 Cone Oblíquo

10 Área lateral de um cone circular reto
Chapéu de aniversário Considere um cone de raio R e geratriz g. Cortando o cone ao longo de uma geratriz podemos colocar sua superfície lateral sobre um plano sem alterar sua área. Obtemos um setor circular de raio g que subtende um arco de comprimento 2πR. A área lateral do cone é igual a área desse setor. Através de regra de três: AL = 2πR/ 2πg · (πg^2) = πRg

11 Tronco de cone circular de bases paralelas
Um cone com base de raio R foi cortado por um plano paralelo ao plano de sua base. A seção tem raio r e a distância entre os dois planos é h. O segmento da geratriz do cone compreendido entre os dois planos paralelos á a geratriz g do tronco de cone. O volume do tronco de cone é V = πh/ 3 (R^ 2 + r^ 2 + Rr). A área lateral do tronco de cone é S = π(R + r)g.

12 Cone de sinalização Tronco de cone
Quanto de concreto necessitamos para preencher um cone de sinalização de raios 20cm e 15cm e de 75 cm de altura

13 Referências Dolce, Osvaldo; Pompeo, Nicolau. Fundamentos de matemática elementar 10: geometria espacial. São Paulo: atual, 2005.