1 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos 3.9. Gráfico de Fluxo de Sinais Linearização de Modelos Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia.

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1 1 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos 3.9. Gráfico de Fluxo de Sinais 3.10. Linearização de Modelos Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

2 Aula 9 Gráfico de Fluxo de Sinais (1) Método alternativo ao Diagrama de Blocos para representação gráfica da dinâmica de sistemas de controle. Método alternativo ao Diagrama de Blocos para representação gráfica da dinâmica de sistemas de controle. Ambas as técnicas apresentam as mesmas informações e nenhuma é superior à outra sob qualquer aspecto. Ambas as técnicas apresentam as mesmas informações e nenhuma é superior à outra sob qualquer aspecto.

3 Aula 9 Gráfico de Fluxo de Sinais (2) Representa um conjunto de equações algébricas lineares simultâneas Representa um conjunto de equações algébricas lineares simultâneas Inicialmente, as equações algébricas lineares devem ser transformadas em equações algébricas em s Inicialmente, as equações algébricas lineares devem ser transformadas em equações algébricas em s É uma rede na qual os nós são diretamente conectados por ramos. É uma rede na qual os nós são diretamente conectados por ramos. Cada nó representa uma variável do sistema e cada ramo funciona como multiplicador do sinal. Cada nó representa uma variável do sistema e cada ramo funciona como multiplicador do sinal. O Fluxo de Sinais ocorre em um única direção, a qual é indicada por uma seta colocada no ramo. O Fluxo de Sinais ocorre em um única direção, a qual é indicada por uma seta colocada no ramo. O fator de multiplicação é indicado ao longo do ramo. O fator de multiplicação é indicado ao longo do ramo. A fórmula de ganho de Mason poderá ser utilizada para obter a relação entre as variáveis sem a necessidade de redução do gráfico. A fórmula de ganho de Mason poderá ser utilizada para obter a relação entre as variáveis sem a necessidade de redução do gráfico.

4 Aula 9 Definições (1) Nó: É um ponto que representa uma variável ou sinal Nó: É um ponto que representa uma variável ou sinal Transmitância:É o ganho real ou complexo entre dois nós. Tais ganhos podem ser expressos em termos de funções de transferência entre dois nós. Transmitância:É o ganho real ou complexo entre dois nós. Tais ganhos podem ser expressos em termos de funções de transferência entre dois nós. Ramo: É um segmento direcionado unindo dois nós. Ramo: É um segmento direcionado unindo dois nós. Nó de entrada ou fonte: É um nó que contém somente ramos de saída. Isso corresponde a uma variável independente. Nó de entrada ou fonte: É um nó que contém somente ramos de saída. Isso corresponde a uma variável independente. Nó de saída ou sorvedouro: É um nó que contém somente ramos que chegam. Isso corresponde a uma variável dependente. Nó de saída ou sorvedouro: É um nó que contém somente ramos que chegam. Isso corresponde a uma variável dependente. Nó misto: É aquele que possui tanto ramos de saída quanto de chegada. Nó misto: É aquele que possui tanto ramos de saída quanto de chegada.

5 Aula 9 Definições (2) Caminho: É um percurso através dos ramos no sentido das setas dos ramos. Caminho: É um percurso através dos ramos no sentido das setas dos ramos. Caminho Aberto: Se nenhum nó for atravessado mais de uma vez. Caminho Aberto: Se nenhum nó for atravessado mais de uma vez. Caminho Fechado (ou malha): Se o caminho terminar no mesmo nó que começou e não passar por nenhum nó mais de uma vez. Caminho Fechado (ou malha): Se o caminho terminar no mesmo nó que começou e não passar por nenhum nó mais de uma vez. Ganho da Malha: É o produto das transmitâncias dos ramos da malha Ganho da Malha: É o produto das transmitâncias dos ramos da malha Malhas que não se tocam: São aquelas que não têm nenhum ramo em comum. Malhas que não se tocam: São aquelas que não têm nenhum ramo em comum. Caminho de Avanço: É o caminho que se inicia no nó de entrada (fonte) e termina no nó de saída (sorvedouro) sem passar por nenhum nó mais de uma vez. Caminho de Avanço: É o caminho que se inicia no nó de entrada (fonte) e termina no nó de saída (sorvedouro) sem passar por nenhum nó mais de uma vez. Ganho do Caminho de Avanço: É o produto das transmitâncias de seus ramos. Ganho do Caminho de Avanço: É o produto das transmitâncias de seus ramos.

6 Aula 9 Exemplo de Gráfico de Fluxo de Sinais

7 Aula 9 Propriedades dos Gráficos de Fluxo de Sinais Um ramo indica a dependência funcional de um sinal em relação ao outro. Um sinal percorre o ramo somente na direção especificada pela seta do ramo. Um ramo indica a dependência funcional de um sinal em relação ao outro. Um sinal percorre o ramo somente na direção especificada pela seta do ramo. Um nó soma os sinais de todos os ramos que chegam e transmite essa soma a todos os ramos que partem. Um nó soma os sinais de todos os ramos que chegam e transmite essa soma a todos os ramos que partem. Um nó misto pode ser considerado como um nó de saída pela adição de um ramo de saída com transmitância unitária. (Entretanto não é possível mudar um nó misto para um nó fonte). Um nó misto pode ser considerado como um nó de saída pela adição de um ramo de saída com transmitância unitária. (Entretanto não é possível mudar um nó misto para um nó fonte). Para um dado sistema, o gráfico de fluxo de sinais não é único. Para um dado sistema, o gráfico de fluxo de sinais não é único.

8 Aula 9 Álgebra do Gráfico de Fluxo de Sinais Em geral, coloca-se os nós de entrada (fontes) à esquerda e os de saída (sorvedouros) à direita. Em geral, coloca-se os nós de entrada (fontes) à esquerda e os de saída (sorvedouros) à direita. Variáveis Independentes e Dependentes tornam-se os nós de entrada e saída, respectivamente Variáveis Independentes e Dependentes tornam-se os nós de entrada e saída, respectivamente As transmitâncias dos ramos podem ser obtidas pelos coeficientes das equações. As transmitâncias dos ramos podem ser obtidas pelos coeficientes das equações.

9 Aula 9 Regra 1

10 Aula 9 Regra 2

11 Aula 9 Regra 3

12 Aula 9 Regra 4

13 Aula 9 Regra 5

14 Aula 9 Representação de Sistemas Lineares por Gráficos de Fluxo de Sinais O Gráfico pode ser traçado a partir das equações do sistema, ou, com a prática, podem ser traçados pelo exame do sistema físico. O Gráfico pode ser traçado a partir das equações do sistema, ou, com a prática, podem ser traçados pelo exame do sistema físico. Exemplo: Exemplo:

15 Aula 9 Exemplo (1)

16 Aula 9 Exemplo (2)

17 Aula 9 Exemplo (3)

18 Aula 9 Exemplo (4)

19 Aula 9 O Ganho O Ganho geral a partir de uma entrada para uma saída pode ser obtido diretamente do gráfico de fluxo de sinais por: O Ganho geral a partir de uma entrada para uma saída pode ser obtido diretamente do gráfico de fluxo de sinais por: Inspeção Inspeção Uso da Fórmula de Mason Uso da Fórmula de Mason Redução do Gráfico de Fluxo de Sinais a uma forma mais simplificada Redução do Gráfico de Fluxo de Sinais a uma forma mais simplificada

20 Aula 9 Gráficos de Fluxos de Sinais para Sistemas de Controle (1)

21 Aula 9 Gráficos de Fluxos de Sinais para Sistemas de Controle (2)

22 Aula 9 Gráficos de Fluxos de Sinais para Sistemas de Controle (3)

23 Aula 9 Gráficos de Fluxos de Sinais para Sistemas de Controle (4)

24 Aula 9 Fórmula de Ganho de Mason para Gráficos de Fluxos de Sinais (1)

25 Aula 9 Fórmula de Ganho de Mason para Gráficos de Fluxos de Sinais (2)

26 Aula 9 Exemplo 3.13. (1)

27 Aula 9 Exemplo 3.13. (2)

28 Aula 9 Exemplo 3.13. (3)

29 Aula 9 Exemplo 3.14. (1)

30 Aula 9 Exemplo 3.14. (2)

31 Aula 9 Exemplo 3.14. (3)

32 Aula 9 Exemplo 3.14. (4)

33 Aula 9 Exemplo 3.14. (5)

34 Aula 9 Exemplo 3.14. (6)

35 Aula 9 Linearização de Modelos Sistemas Não Lineares Sistemas Não Lineares Um sistema é não-linear se o princípio da superposição não se aplicar a ele. Ou seja, não se pode obter a resposta para duas entradas simultâneas considerando as entradas individualmente e somando os resultados. Exemplos: Saturação Saturação Espaço Morto Espaço Morto Não-Linearidades Quadráticas: Um amortecedor utilizado em sistemas físicos pode ser linear para aplicações em baixa velocidade e não linear para aplicações de alta velocidade, quando a ação de amortecimento pode variar com o quadrado da velocidade. Não-Linearidades Quadráticas: Um amortecedor utilizado em sistemas físicos pode ser linear para aplicações em baixa velocidade e não linear para aplicações de alta velocidade, quando a ação de amortecimento pode variar com o quadrado da velocidade.

36 Aula 9 Linearização de Sistemas Não Lineares (1) Na engenharia de controle, uma operação normal pode ser em torno do ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do ponto de equilíbrio. Na engenharia de controle, uma operação normal pode ser em torno do ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do ponto de equilíbrio. Se o sistema for operar em torno de um ponto de equilíbrio e os sinais envolvidos forem pequenos, é possível aproximar o sistema não linear por um sistema não linear. Se o sistema for operar em torno de um ponto de equilíbrio e os sinais envolvidos forem pequenos, é possível aproximar o sistema não linear por um sistema não linear. O sistema linear será equivalente ao sistema não linear dentro de um determinado conjunto limitado de operações. O sistema linear será equivalente ao sistema não linear dentro de um determinado conjunto limitado de operações.

37 Aula 9 Linearização de Sistemas Não Lineares (2) Uma forma de linearização é desenvolver a função não linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e reter somente o termo linear. Uma forma de linearização é desenvolver a função não linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e reter somente o termo linear. Em virtude da desconsideração dos termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor, esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos, ou seja, as variáveis devem se desviar apenas ligeiramente das condições de operação. Em virtude da desconsideração dos termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor, esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos, ou seja, as variáveis devem se desviar apenas ligeiramente das condições de operação.

38 Aula 9 Aproximação Linear de Modelos Matemáticos Não-Lineares (1)

39 Aula 9 Aproximação Linear de Modelos Matemáticos Não-Lineares (2) Esta equação fornece um modelo matemático linear para um sistema não linear, próximo do ponto de operação

40 Aula 9 Aproximação Linear de Modelos Matemáticos Não-Lineares (3) Expandindo em série de Taylor em torno do ponto normal de operação

41 Aula 9 Aproximação Linear de Modelos Matemáticos Não-Lineares (4)

42 Aula 9 Exemplo 3.15. (1) Solução

43 Aula 9 Exemplo 3.15. (2)