TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aula Teórica – Semana 6 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

A Transformada de Laplace
Vimos que para sinais de entrada x(t)=est, é relativamente fácil de calcular os sinais de saída correspondentes. Quando derivamos este sinal, o escalar , resultado da derivada, não é, na maioria das vezes um valor inteiro numa dada freqüência porém pode ser representado por sobreposições de sinais em diferentes freqüências. Existe uma forma, por outro lado, onde qualquer sinal x(t) é representado pela sobreposição de funções est, com diferentes freqüências. A resposta de um sistema LTI pode ser facilmente determinada, e então com a propriedade de sobreposição, a resposta ao sinal pode ser obtida. 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

A Transformada de Laplace
A idéia é analisar um sinal quando seus componentes individuais já são familiares dos sinais da série de Fourier, pois sinais periódicos podem ser representados como uma combinação de oscilações harmônicas. Suas freqüências devem ser múltiplos inteiros da freqüência fundamental que representa o sinal periódico, e a combinação destas freqüências é obtida por somatório. Nós não estamos restritos a sinais periódicos, portanto nós devemos permitir a análise de funções de transferência com qualquer freqüência. A sobreposição então consiste de uma integral sobre as freqüências possíveis. Esta idéia pode ser colocada em prática de várias formas, e leva as tranformadas de Laplace (TL) e de Fourier (TF). 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Definição de Transformada de Laplace
Para podermos representar um sinal x(t) como uma sobreposição de partes individuais, duas ferramentas matemáticas são requeridas para: A decomposição do sinal x(t) em partes; A sobreposição das partes do sinal completo x(t). A formulação matemática da decompisição leva a definição da Transformada de Laplace. 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Definição de Transformada de Laplace
A TL de uma função f(t), t R é definida por: A função complexa F(s) é chamada TL de x(t). 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

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Para reconstruir x(t) a partir de seus termos individuais, a operação reversa para a TL deve ser usada: 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo 1: Função Exponencial
Considere o sinal onde  é real. Determinar a Transformada de Laplace de x(t). Porque o somente se ou 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Região de Convergencia
O valor limite da função exponencial para t   somente existe se a parte real da função exponencial é negativa, isto é, para os valores de s onde Re{s} > -a. Para todos os outros valores de s a integral não converge e é dito que a TL não existe. 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exercício 2: Função Exponencial
No segundo exemplo nós consideremos um sinal exponencial que desaparece para t< 0. Considere o sinal onde  é real. Determinar a Transformada de Laplace de x(t). E obtemos 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Região de Convergencia
Podemos verificar que funções diferentes podem ter a mesma TL, e o mesmo pólo a, porém as regiões de convergência é que serão diferentes. 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo 3: Exponencial Dupla
Determinar a TL de A TL X(s) tem 2 pólos em s=-1 e s=-2 Como X(s) sómente existe se ambas as partes convergem, o pólo com a maior parte real determina a região de convergencia. A ROC fica a direita do pólo mais a direita. ( A ROC não contém qualquer pólo). 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo 4: TL de uma função pulso
f(t)=A=constante para 0<t<t0 f(t)=0 para t<0 e t > t0 f(t)=A.u(t) – A.u(t-t0) Uso da propriedade do deslocamento, X(s).e-st0 f(t)=A/s – A/s.e-st0 f(t)=A/s(1 – e-st0 ) 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo 5: A TL do Impulso Unitário
Determinar a TL do impulso unitário (t). Para todo s. A função impulso é o caso especial de uma função pulso. f(t)=limt0->0 A/t0 para 0<t<t0 e f(t)=0 para t<0 e t>t0 £[f(t)]= limt0->0 A/s.t0 .(1 – e-st0 ) = lim t0->0 d/dt0[Ax(1 – e-st0 )] / d(t0s) = As/s = A neste caso A=1. 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo 6: A TL do Degrau Unitário
Determinar a TL do degrau unitário u(t). 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo-7: Função Rampa.
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Exemplo 8: T.L. de uma função senoidal
f(t)= 0 para t < 0 f(t)= A.sen ωt para t ≥ 0, sejam A e ω constantes. uma vez que ejωt = cos ωt + j.sen ωt e-jωt = cos ωt - j.sen ωt 2j.sen ωt = ejωt – e-jωt obtemos sen(ωt) = (1/2j)( ejωt – e-jωt) 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo 8: T.L. de uma função senoidal
portanto: = (A/2j)[1/(s-jω)] -(A/2j)[1/(s+jω)] = A.2j[(s+jω) – (s-jω)] 2j(s² + sjω- sjω –j²ω²) = A.2j [0+2jω]/2j[s²+ω²] = Aω/(s²+ω²) f(t)= A.sen(ωt)  F(s) = Aω/(s²+ω²) 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Exemplo 9: T.L. de uma função cosseno
Pode ser obtida de forma análoga ao visto para a função seno. f(t)= A.cos(ωt)  F(s) = As/(s²+ω²) 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Tabela 4.1: Pares de Transformadas

Propriedades das TL 1) Linearidade 2) Deslocamento no Tempo. 3) Deslocamento no Domínio de s. 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Propriedades das TL 4)Mudança de Escala de Tempo 5)Tempo Negativo 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Propriedades das TL 6) Diferenciação no domínio do Tempo 7) Diferenciação no domínio de s 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Propriedades das TL 8) Integração no domínio do Tempo 9) Convolução 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Propriedades das Transformadas de Laplace

Exercícios Determine as TL e a ROC das seguintes funções: 2) Calcule as TL e a ROC dos seguintes sinais, usando a Tabela 1. 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Tabela 1 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Resposta-1 1(a) 1(b) 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

Resposta 2 10/11/2018 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI

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