Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual

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1 Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual
Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ V Encontro de Pesquisa e Ensino de Física IFES, Cariacica, setembro de 2017

2 Sumário Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Fenômenos quânticos
Princípios da mecânica quântica Transição do quântico ao clássico Aplicação Comentários finais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

3 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

4 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade A transição para a física clássica Realismo vs. localidade ... Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

5 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações. Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

6 Fenômenos Quânticos Charles Addams, New Yorker, 1940
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

7 Um experimento com a luz
feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho detectores de luz D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

8 Resultado do experimento
Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez. D1 D2 ou 50% 50% probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

9 Se a luz fosse uma onda D1 D2 ... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

10 Se a luz é composta por partículas
ou D1 D2 ... ou D1 dispara, ou D2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

11 Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons.
O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou. caminho 2 caminho 1 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

12 Sobre o ensino do conceito de fóton
Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

13 Outro experimento com a luz
D2 D1 segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton” interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

14 Preliminares: um feixe bloqueado
1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

15 O outro feixe bloqueado
1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

16 Resultado fácil de entender com partículas
1 2 50% 25% = caminho do fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

17 De volta ao interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

18 Resultado do experimento:
0% 100% D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

19 Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
1 25% 2 25% Se o fóton segue o caminho 1 (ou 2) não deveria fazer diferença se o caminho 2 (ou 1) está aberto ou fechado, e portanto valeria o resultado do experimento preliminar. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

20 “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
Conclusão A afirmativa “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” é falsa. “… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.” R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

21 Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável. Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

22 Uma resposta melhor Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2. A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

23 Fácil de entender num modelo ondulatório
interferência construtiva destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

24 A dualidade onda-partícula
Você tinha que saber qual experimento estava analisando para dizer se a luz era onda ou partícula. Esse estado de confusão foi chamado de “dualidade onda-partícula”... - R. P. Feynman, QED – The Strange Theory of Light and Matter C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

25 A dualidade onda-partícula
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

26 Princípios da Mecânica Quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

27 Princípios da Mecânica Quântica
Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Redução do vetor de estado Evolução unitária C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

28 Vetores de Estado e o Princípio da Superposição
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29 Sistemas de dois estados
fóton refletido fóton transmitido cara coroa C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

30 Sistemas de dois estados
grandeza física observável: a2 a1 a2 a1 A = ? ou a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

31 Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
Representação dos estados: pontos no “eixo A” sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 A a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

32 Sistemas quânticos: vetores de estado
Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2. Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

33 A notação de Dirac vetor ↔ exemplos: identificação
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34 O que muda? ? O que muda é o seguinte:
Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados. ? A a1 a2 O que muda é o seguinte: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

35 O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

36 Significado de |ñ A = a1 e A = a2 ? cara e coroa?
transmitido e refletido? sim e não? 0 e 1? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

37 Detalhes ‘técnicos’ As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo). Precisamos de um produto escalar para tornar precisa a noção de ortogonalidade (e norma). Deve-se ter cuidado com figuras como esta: c2 c1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

38 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

39 A Regra de Born c2 c1 1 2 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é (n = 1, 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

40 A Regra de Born 1 2 Todos os vetores de estado na direção definida por |ñ representam o mesmo estado físico (levam às mesmas probabilidades). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

41 Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

42 A Regra de Born com vetores normalizados
? a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

43 Amplitude de probabilidade
cn  amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade|2 “função de onda” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

44 Frequência dos resultados de medidas
 N1  a1 N2  a2 N medidas de A (N ) podemos prever a frequência dos resultados: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

45 Valor médio dos resultados
valor médio das N medidas de A: a2 a1  Previsão da mec. quântica: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

46 Incerteza c2 c1 c1, c2  0 impossível prever o resultado de uma medida ou Se resultado previsível (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

47 A = incerteza de A no estado |
ou A = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

48 Complementaridade e o Princípio da Incerteza
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49 Complementaridade A B a1 a2 duas grandezas físicas: A e B b1 b2
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50 Grandezas compatíveis e incompatíveis
A e B compatíveis A e B incompatíveis A e B complementares: incompatibilidade “máxima” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

51 O Princípio da Incerteza
(A  0, B  0) (A = 0, B  0) (B = 0, A  0) A e B incompatíveis  nenhum estado | com A = 0 e B = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

52 Exemplo: posição e momentum
duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”) dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”) impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

53 Redução do Vetor de Estado

54 Redução do vetor de estado
antes da medida a2 a1 depois da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

55 Redução do vetor de estado
resultado A = a2 A = a1 medida de A resulta em an  logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

56 Redução do vetor de estado
A redução garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade. O estado | an  é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade. |  |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”. A redução aplica-se a medidas “ideais” (medidas projetivas ou de von Neuman, ). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em redução a | an . Por exemplo, um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

57 Evolução Unitária

58 Dinâmica quântica Evolução temporal do vetor de estado:
Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

59 Dinâmica quântica Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2 a solução da equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

60 Dinâmica quântica ћ = constante de Planck ( 2)  110-34 Js
Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t  0 elas serão complexas: A evolução |(0)  |(t) é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinística (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

61 Propriedades da dinâmica quântica
Linearidade: t  0 t = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

62 Propriedades da dinâmica quântica
Conserva a norma do vetor de estado: tamanho não muda Conserva o ortogonalidade entre vetores: dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

63 Demonstração da linearidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

64 Demonstração da conservação da norma
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

65 Demonstração da conservação da ortogonalidade
|(0) e |(0) ortogonais |(t) e |(t) ortogonais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

66 Evolução unitária Determinismo Continuidade Linearidade
Conservação da norma Conservação da ortogonalidade “evolução unitária” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

67 Resumo: cinemática e dinâmica quânticas
vetor no espaço de estados estado físico sistema de eixos (base) no espaço de estados grandeza física C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

68 Resumo: cinemática e dinâmica quânticas
proximidade do vetor de estado ao eixo |an probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = an diferentes sistemas de eixos no espaço de estados grandezas físicas incompatíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

69 Resumo: cinemática e dinâmica quânticas
‘colapso’ do vetor de estado para o eixo |an medida resultando em A = an evolução unitária (eq. de Schroedinger) evolução temporal C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

70 Transição do Quântico ao Clássico
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71 O “problema da medida” Redução do vetor de estado: Evolução unitária:
descontínua probabilística ocorre durante a medida Evolução unitária: contínua determinística válida enquanto não se faz uma medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

72 O “problema da medida” Colapso do vetor de estado Evolução unitária
interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida ou “observador”. A = a1 ou A = a2 (medida resulta num único valor) Evolução unitária interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. A = a1 e A = a2 (superposição quântica) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

73 O “problema da medida” Por que o processo de medida não segue a evolução unitária? a2 a1 Descrição quântica do aparelho de medida: |   |  C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

74 O “problema da medida” Se o aparato é um bom instrumento de medida: 
antes da medida depois da medida Se o aparato segue a evolução unitária:  o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

75 A transição quântico-clássico
Por que superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

76 A transição quântico-clássico
Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica. N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935 …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

77 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

78 Aplicação: interferência de uma partícula
Instituto de Física Quântica Você está aqui e aqui C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

79 O interferômetro de Mach-Zehnder
“interferência construtiva” 0% 100% D1 D2 “interferência destrutiva” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

80 Descrição quântica do interferômetro
(caminho 1) (caminho 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

81 Espaço de estados probabilidades:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

82 probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
Semiespelho 1 2 evolução unitária probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

83 sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade
Semiespelho sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

84 Interferômetro D1 D2 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

85 Primeiro semiespelho:
Interferômetro Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

86 Interferômetro Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é
interferência destrutiva interferência construtiva P1 = 100% P2 = 0% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

87 Comentários finais É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio. Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples. Aspectos conceituais da mecânica quântica podem ser discutidos sem as dificuldades criadas por um formalismo matemático pouco familiar. “Experimento didático” em desenvolvimento. Críticas e sugestões são bem-vindas. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

88 Funciona? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

89 Curtiu? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / IFES/2017

90 Mais detalhes em http://www.if.ufrj.br/~carlos/fismod/fismod.html
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