Capítulo 12 Cinemática de uma partícula slide 1

Capítulo 12 Cinemática de uma partícula slide 1
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Objetivos do capítulo Introduzir os conceitos de posição, deslocamento, velocidade e aceleração. Estudar o movimento de uma partícula ao longo de uma linha reta e representar este movimento graficamente. Investigar o movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva utilizando diferentes sistemas de coordenadas. Apresentar uma análise do movimento dependente de duas partículas. Examinar os princípios de movimento relativo de duas partículas utilizando eixos de translação.

Introdução Mecânica: ramo das ciências físicas que estuda o repouso e o movimento dos corpos sujeitos à ação de forças. Subdivide-se, dentro da engenharia, em: Estática: diz respeito ao equilíbrio de um corpo que está em repouso ou se move com velocidade constante. Dinâmica: trata do movimento acelerado de um corpo. Cinemática: trata somente dos aspectos geométricos do movimento. Cinética: a análise das forças que causam o movimento.

Introdução Galileu Galilei: foi um dos primeiros entre os principais contribuintes para esse campo. Isaac Newton: conhecido por sua formulação das três leis fundamentais do movimento e a lei da atração gravitacional universal. Existem muitos problemas na engenharia cujas soluções exigem a aplicação dos princípios da dinâmica.

Solução de problemas A forma mais efetiva de se aprender os princípios da dinâmica é resolver problemas: Leia o problema cuidadosamente e tente correlacionar a situação física real com a teoria que você estudou. Desenhe quaisquer diagramas necessários e tabule os dados do problema. Estabeleça um sistema de coordenadas e aplique os princípios relevantes, geralmente em forma matemática.

Solução de problemas A forma mais efetiva de se aprender os princípios da dinâmica é resolver problemas: Resolva as equações necessárias algebricamente até onde for prático; em seguida, utilize um sistema de unidades consistente e complete a solução numericamente. Apresente a resposta com o mesmo número de algarismos significativos dos dados fornecidos. Analise a resposta fazendo uso de julgamento técnico e bom-senso para avaliar se ela parece ou não razoável. Uma vez que a solução tenha sido completada, reveja o problema. Tente pensar em outras maneiras de obter a mesma solução

Cinemática retilínea: movimento contínuo
Lembre-se de que uma partícula tem uma massa, mas dimensão e forma desprezíveis. Cinemática retilínea A cinemática de uma partícula é caracterizada ao se especificar, em qualquer instante, posição, velocidade e aceleração da partícula.

Posição A trajetória em linha reta de uma partícula será definida utilizando-se um único eixo de coordenada s, Nesse caso, s é positivo, visto que o eixo de coordenada é positivo à direita da origem. Da mesma maneira, ele é negativo se a partícula for posicionada à esquerda de O.

Deslocamento O deslocamento de uma partícula é definido como a variação na sua posição.

Velocidade Se uma partícula se move com um deslocamento Ds durante o intervalo de tempo Dt, a velocidade média da partícula durante esse intervalo de tempo é: Consequentemente, a velocidade instantânea é um vetor definido como

Velocidade Por exemplo:

Aceleração A aceleração instantânea no tempo t é um vetor que é determinado tomando-se valores cada vez menores de Dt e correspondentes valores cada vez menores de Dv, de maneira que

Aceleração Nesse caso, v’ é menor que v, e assim Δv = v´ – v será negativa. Por fim, uma relação diferencial importante envolvendo deslocamento, velocidade e aceleração ao longo da trajetória resulta em:

Aceleração constante, a = ac
Quando a aceleração é constante, cada uma das três equações cinemáticas pode ser integrada para se obter fórmulas que relacionam ac, v, s e t. Velocidade como uma função do tempo Integre ac = dv/dt, supondo que, inicialmente, v = v0 quando t = 0.

Posição como uma função do tempo
Integre v = ds/dt = v0 + act, supondo que inicialmente s = s0 quando t = 0. Velocidade como uma função da posição Integrando v dv = ac ds, supondo que inicialmente v = v0 em s = s0.

Pontos importantes A dinâmica trata de corpos que têm movimento com aceleração. A cinemática é um estudo da geometria do movimento. A cinética é um estudo das forças que causam o movimento. A cinemática retilínea refere-se ao movimento em linha reta. Velocidade escalar refere-se à intensidade da velocidade.

Pontos importantes A velocidade escalar média é a distância total percorrida dividido pelo tempo total. Isso é diferente da velocidade média, que é o deslocamento dividido pelo tempo. Uma partícula que está se movendo mais devagar está desacelerando. Uma partícula pode ter uma aceleração e, no entanto, ter velocidade zero. A relação a ds = v dv é derivada de a = dv/dt e v = ds/dt eliminando-se dt.

Procedimento para análise
Sistema de coordenadas Estabeleça uma coordenada de posição s ao longo da trajetória e especifique sua origem fixa e direção positiva. Visto que o movimento é ao longo de uma linha reta, as quantidades vetoriais de posição, velocidade e aceleração podem ser representadas como grandezas escalares algébricas. Para trabalho analítico, o sentido de s, v e a é, então, definido por seus sinais algébricos. O sentido positivo para cada um desses escalares pode ser indicado por uma seta mostrada ao lado de cada equação cinemática na forma que ela é aplicada.

Equações cinemáticas Sempre que uma integração for feita, é importante que a posição e a velocidade sejam conhecidas em dado instante de tempo a fim de se avaliar ou a constante de integração, se uma integral indefinida for usada, ou os limites de integração, se for usada uma integral definida. Lembre-se de que as equações vistas anteriormente têm uso limitado. Essas equações podem ser aplicadas somente quando a aceleração é constante e as condições iniciais são s = s0 e v = v0 quando t = 0.

Cinemática retilínea: movimento irregular
Quando uma partícula tem um movimento irregular ou variável, uma série de funções será necessária para especificar o movimento em diferentes intervalos. Por essa razão, é conveniente representar o movimento na forma de um gráfico.

Os gráficos s–t, v–t e a–t
Para construir o gráfico v–t dado o gráfico s–t, a equação v = ds/dt deve ser usada, visto que ela relaciona as variáveis s e t com v.

Por exemplo, medindo-se a inclinação no gráfico s–t quando t = t1, a velocidade é v1,

O gráfico a–t pode ser construído a partir do gráfico v–t de maneira similar,

Se o gráfico a–t é dado, o gráfico v–t pode ser construído utilizando‑se a = dv/dt,

Similarmente, se o gráfico v–t é dado, é possível determinar o gráfico s–t usando v = ds/dt,

Os gráficos v–s e a–s Pontos no gráfico v–s podem ser determinados utilizando-se v dv = a ds. Portanto, se a área cinza na primeira figura for determinada, e a velocidade inicial v0 e s0 = 0 for conhecida, então:

Os gráficos v–s e a–s Se o gráfico v–s é conhecido, a aceleração a em qualquer posição s pode ser determinada utilizando-se a ds = v dv, em qualquer ponto (s, v) na primeira figura, a inclinação dv/ds do gráfico v–s é medida. Então com v e dv/ds conhecidos, o valor de a pode ser calculado,

Movimento curvilíneo geral
Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva. Posição Considere uma partícula localizada em um ponto sobre uma curva espacial definida pela função trajetória s(t), A posição da partícula, medida a partir de um ponto fixo O, será designada pelo vetor posição r = r(t).

Deslocamento O deslocamento Dr representa a variação na posição da partícula e é determinado pela subtração vetorial,

Velocidade Durante o tempo Dt, a velocidade média da partícula é
A velocidade instantânea é determinada a partir dessa equação. Por conseguinte,

Velocidade Visto que dr será tangente à curva, a direção de v também será tangente à curva, Assim, a velocidade escalar pode ser obtida derivando a função trajetória s em relação ao tempo.

Aceleração Para obter a aceleração instantânea,

Aceleração Da definição de derivada, a atua tangente à hodógrafa e, em geral, ela não é tangente à trajetória do movimento,

Movimento curvilíneo: componentes retangulares
Ocasionalmente, o movimento de uma partícula pode ser mais bem descrito ao longo de uma trajetória que pode ser expressa em termos de suas coordenadas x, y, z. Posição Se a partícula está em um ponto (x, y, z) sobre a trajetória curva s mostrada na figura ao lado, então sua posição é definida pelo vetor posição: r = xi + yj + zk

Velocidade A primeira derivada de r em relação ao tempo produz a velocidade da partícula. O resultado final é onde: A direção é sempre tangente à trajetória, como mostrado na figura a seguir:

Aceleração A aceleração da partícula é obtida tomando-se a primeira derivada da equação em relação ao tempo. Temos: onde:

Aceleração A aceleração tem uma intensidade e uma direção especificada pelo vetor unitário ua = a/a. Em geral a não será tangente à trajetória,

Pontos importantes O movimento curvilíneo pode causar variações tanto na intensidade quanto na direção dos vetores posição, velocidade e aceleração. O vetor velocidade está sempre direcionado tangente à trajetória. Em geral, o vetor aceleração não é tangente à trajetória, mas é tangente à hodógrafa.

Pontos importantes Se o movimento é descrito utilizando-se coordenadas retangulares, então as componentes ao longo de cada um dos eixos não variam a direção; somente sua intensidade e seu sentido (sinal algébrico) variarão. Considerando-se os movimentos das componentes, a variação na intensidade e na direção da posição e velocidade da partícula serão automaticamente levadas em consideração.

Sistema de coordenadas Um sistema de coordenadas retangulares pode ser usado para solucionar problemas para os quais o movimento pode ser convenientemente expresso em termos das suas componentes x, y, z. Quantidades cinemáticas Visto que o movimento retilíneo ocorre ao longo de cada eixo coordenado, o movimento ao longo de cada eixo é determinado utilizando v = ds/dt e a = dv/dt; ou, nos casos onde o movimento não é expresso como uma função do tempo, a equação a ds = v dv pode ser usada.

Quantidades cinemáticas Em duas dimensões, a equação da trajetória y = f(x) pode ser usada para relacionar as componentes x e y da velocidade e aceleração aplicando a regra da cadeia do cálculo. Uma revisão desse conceito é dada no Apêndice B. Uma vez que as componentes x, y, z de v e a tenham sido determinadas, as intensidades desses vetores são obtidas por meio do teorema de Pitágoras e seus ângulos de direção coordenados a partir das componentes dos seus vetores unitários.

Movimento de um projétil
O movimento de um projétil em voo livre é frequentemente estudado em termos das suas componentes retangulares.

Movimento horizontal Visto que ax = 0, a aplicação das equações de aceleração constante, resulta em: A primeira e a última equação indicam que a componente horizontal da velocidade sempre permanece constante durante o movimento.

Movimento vertical Visto que o eixo y positivo está direcionado para cima, então ay = – g. Obtemos A última equação pode ser formulada com base na eliminação do tempo t das duas primeiras equações, e, portanto, apenas duas das três equações anteriormente apresentadas são mutuamente independentes.

Sistema de coordenadas Estabeleça os eixos de coordenadas x, y fixos e esboce a trajetória da partícula. Entre quaisquer dois pontos sobre a trajetória, especifique os dados fornecidos pelo problema e identifique as três incógnitas. Em todos os casos, a aceleração da gravidade age para baixo e é igual a 9,81 m/s2. As velocidades iniciais e finais da partícula devem ser representadas em termos das suas componentes x e y. Lembre-se de que as componentes positivas e negativas da posição, velocidade e aceleração sempre agem de acordo com suas direções coordenadas associadas.

Equações cinemáticas Dependendo dos dados conhecidos e do que deve ser determinado, uma escolha deve ser feita quanto as três das quatro equações seguintes que devem ser aplicadas entre os dois pontos sobre a trajetória para se obter a solução mais direta para o problema. Movimento horizontal A velocidade na horizontal ou direção x é constante, ou seja, vx = (v0)x, e x = x0 + (v0)x t

Movimento vertical Na vertical ou direção y apenas duas das três equações seguintes podem ser usadas para a solução. Por exemplo, se a velocidade final da partícula vy não é necessária, então a primeira e a terceira dessas equações não serão úteis.

Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial
Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é conhecida, costuma ser conveniente descrever o movimento utilizando-se eixos de coordenadas n e t os quais atuam normal e tangente à trajetória, respectivamente, e no instante considerado tem sua origem localizada na partícula.

Movimento plano Considere a partícula mostrada na Figura acima, que se move em um plano ao longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na posição s, medida a partir do ponto O.

Movimento plano A única escolha para o eixo normal pode ser feita observando-se que geometricamente a curva é construída a partir de uma série de segmentos do arco diferenciais ds, O plano que contém os eixos n e t é referido como o plano osculador, e nesse caso ele é fixo no plano do movimento.

Velocidade A velocidade da partícula v tem uma direção que é sempre tangente à trajetória, Desse modo, onde:

Aceleração A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade. Assim,

Aceleração Como mostrado na Figura abaixo, precisamos u´t = ut + dut.

Aceleração a pode ser escrita como a soma de suas duas componentes,
onde: ou e

Aceleração Essas duas componentes mutuamente perpendiculares são mostradas na Figura abaixo. Portanto, a intensidade da aceleração é o valor positivo de:

Movimento tridimensional
Se nenhum movimento ocorre na direção ub, e essa direção e ut são conhecidos, então un pode ser determinado, onde, nesse caso, un = ub × ut. Lembre, entretanto, que un, está sempre do lado côncavo da curva.

Sistema de coordenadas Contanto que a trajetória da partícula seja conhecida, podemos estabelecer um conjunto de coordenadas n e t tendo uma origem fixa, a qual é coincidente com a partícula no instante considerado. O eixo tangente positivo age na direção do movimento e o eixo normal positivo está direcionado para o centro de curvatura da trajetória.

Velocidade A velocidade da partícula é sempre tangente à trajetória. A intensidade da velocidade é encontrada a partir da derivada temporal da função posição. Aceleração tangencial A componente tangencial da aceleração é o resultado da taxa de variação temporal na intensidade da velocidade. Essa componente age na direção s positiva se a velocidade escalar da partícula está aumentando ou na direção oposta se a velocidade escalar está diminuindo.

Aceleração tangencial As relações entre at, v, t e s são as mesmas que para o movimento retilíneo, nominalmente Se at é constante, at = (at)c, as equações anteriormente apresentadas, quando integradas, resultam em:

Aceleração normal A componente normal da aceleração é o resultado da taxa de variação temporal na direção da velocidade. Essa componente está sempre direcionada para o centro de curvatura da trajetória, ou seja, ao longo do eixo positivo n. A intensidade dessa componente é determinada por

Aceleração normal Se a trajetória é expressa como y = f (x), o raio da curvatura ρ em qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação: A derivação desse resultado é dada em qualquer texto básico de cálculo.

Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
Às vezes, o movimento da partícula está restrito a uma trajetória que é mais bem descrita utilizando-se coordenadas cilíndricas. Se o movimento é restrito ao plano, então coordenadas polares são usadas. Coordenadas polares Podemos especificar a posição da partícula utilizando uma coordenada radial r, que se estende para fora a partir da origem fixa O até a partícula, e a coordenada transversal θ, que é o ângulo no sentido anti-horário entre uma linha de referência fixa e o eixo r.

Posição Em qualquer instante, a posição da partícula é definida pelo vetor posição: Velocidade A variação temporal de ur é, então, Dur. Para ângulos Dθ pequenos esse vetor tem uma intensidade Δur ≈ 1 (Δθ) e age na direção uθ. Portanto, Δur = Δθuθ, e assim,

Velocidade A velocidade pode ser escrita na forma de componentes como:
onde:

Aceleração

Aceleração Podemos escrever a aceleração na forma de componentes como:
onde: Visto que ar e aθ são sempre perpendiculares, a intensidade da aceleração é simplesmente o valor positivo de:

Coordenadas cilíndricas
As derivadas temporais deste vetor são zero, e, portanto, a posição, velocidade e aceleração da partícula podem ser escritas em termos das suas coordenadas cilíndricas, como a seguir:

Derivadas temporais As equações anteriores requerem a obtenção das derivadas temporais , a fim de avaliarmos as componentes r e θ de v e a. Dois tipos de problemas geralmente ocorrem: Se as coordenadas polares são especificadas como equações paramétricas em função do tempo r = r(t) e θ = θ(t), então as derivadas temporais podem ser determinadas diretamente. Se as equações paramétricas em função do tempo não são dadas, então a trajetória r = f (θ) tem de ser conhecida. Utilizando a regra da cadeia do cálculo, podemos encontrar a relação entre ṙ e e entre r̈ e .

Sistema de coordenadas Coordenadas polares são uma escolha apropriada para resolver problemas quando os dados relativos ao movimento angular da coordenada radial r descrevem o movimento da partícula. Ademais, algumas trajetórias do movimento podem ser convenientemente descritas em termos dessas coordenadas. Para usar coordenadas polares, a origem é estabelecida em um ponto fixo, e a linha radial r é direcionada para a partícula. A coordenada transversal θ é medida a partir de uma linha de referência fixa até a linha radial.

Velocidade e aceleração Uma vez que r e as quatro derivadas temporais ṙ, r̈ , e tenham sido avaliadas no instante considerado, seus valores podem ser substituídos nas equações já citadas para obtermos as componentes radiais e transversais de v e a. Se for necessário calcular as derivadas temporais de r = f (θ), então a regra da cadeia do cálculo tem de ser usada. (Ver Apêndice C.) Movimento em três dimensões requer uma extensão simples do procedimento acima para incluir ż e z̈.

Análise de movimento absoluto dependente de duas partículas
Em alguns tipos de problemas, o movimento de uma partícula dependerá do movimento correspondente de outra partícula. Por exemplo, o movimento do bloco A para baixo ao longo do plano inclinado na figura ao lado vai causar um movimento correspondente do bloco B para cima no outro plano inclinado.

Análise de movimento absoluto dependente de duas
partículas

Equação das coordenadas de posição Estabeleça cada coordenada de posição com uma origem posicionada em um ponto ou referência fixa. Não é necessário que a origem seja a mesma para cada uma das coordenadas; entretanto, é importante que cada eixo coordenado escolhido esteja direcionado ao longo da trajetória do movimento da partícula.

Equação das coordenadas de posição Utilizando geometria ou trigonometria, relacione as coordenadas de posição ao comprimento total da corda, lT, ou aquela porção da corda, l, que exclui os segmentos que não variam de comprimento à medida em que a partícula se move — tal como segmentos de arco passando em volta de polias. Se um problema envolve um sistema de duas ou mais cordas passando em volta de polias, então a posição de um ponto sobre uma corda deve ser relacionada à posição de um ponto sobre a outra corda utilizando o procedimento que acabamos de descrever. Equações separadas estão escritas para um comprimento fixo de cada corda do sistema e as posições das duas partículas são, então, relacionadas por estas equações.

Derivadas temporais Duas derivadas temporais sucessivas das equações de coordenadas de posições resultam nas equações de velocidade e aceleração necessárias as quais relacionam os movimentos das partículas. Os sinais dos termos nessas equações serão consistentes com aqueles que especificam o sentido positivo e negativo das coordenadas de posição.

Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação
Posição Considere as partículas A e B, as quais se movem ao longo de trajetórias arbitrárias mostradas na Figura abaixo: Utilizando-se a adição de vetores, os três vetores mostrados na figura ao lado podem ser relacionados pela equação:

Velocidade Aceleração
Uma equação que relaciona as velocidades das partículas é determinada calculando-se as derivadas temporais da equação anteriormente apresentada; ou seja, Aceleração A derivada temporal da equação acima produz uma relação vetorial similar entre as acelerações absoluta e relativa das partículas A e B.

Quando aplicando as equações de velocidade e aceleração relativa, é primeiro necessário especificar a partícula A que é a origem dos eixos de translação x´, y´, z´. Normalmente, esse ponto tem uma velocidade ou aceleração conhecida. Visto que a soma de vetores forma um triângulo, pode haver no máximo duas incógnitas representadas pelas intensidades e/ou direções das quantidades vetoriais. Estas incógnitas podem ser determinadas graficamente, utilizando-se trigonometria (lei dos senos, lei dos cossenos), ou decompondo cada um dos três vetores em componentes retangulares ou cartesianos, gerando dessa maneira um conjunto de equações escalares.

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