Movimento oscilatório e Caos. Do mais simples para o mais complicado... MHS  Amortecimento  Não linearidade  Caos Só na aula que vem...

Apresentação em tema: "Movimento oscilatório e Caos. Do mais simples para o mais complicado... MHS  Amortecimento  Não linearidade  Caos Só na aula que vem..."— Transcrição da apresentação:

1 Movimento oscilatório e Caos

2 Do mais simples para o mais complicado... MHS  Amortecimento  Não linearidade  Caos Só na aula que vem...

3 Movimento Harmônico Simples  Pêndulo simples

4 Movimento Harmônico Simples  T

5  T PRPR PP

6 Decompondo P R =T P  =-mg sen(  )  F R =0  F  =P  Mas s=l 

7 P  =- mg sen (  )  -mg  Tomando  pequeno  sen(  )   1 equação diferencial ordinária homogênea de 2 a ordem

8 Onde  2 =g/l Solução conhecida  0 e   condições iniciais Também podemos calcular:

9 Como aplicar o Método de Euler? Temos 1 equação diferencial ordinária homogênea de 2 a ordem Método de Euler equações diferenciais de 1 a ordem

10 Como aplicar o Método de Euler? 2 equações de 1 a ordem

11 Iterando   i+  t =  i – (g/l)  i  t

12 Iterando   i+  t =  i +  i  t

13 O programa  i+  t =  i +  i  t  i+  t =  i – (g/l)  i  t Inicializa Itera (até n  )  0 =... e  0 =... Imprime Print, write...

14 Rodando o programa l =1m g = 9,8 m/s 2  0 = 0  0 =0,2 rad  t= 0,04 s

15 Rodando o programa Instável!

16 Na aula passada (e na lista...)  =1s  t=0.05s  Hoje  2s  t=0.04s  

17 Diminuindo  t Melhora, mas não resolve!

18 Diminuindo  t ainda mais... Por quê?

19 Análise da energia E=T+U

20 Fazendo  t =0.04s E(t) aumenta com o tempo!

21  t =0.01s  t =0.001s

22 A energia aumenta com t para qualquer valor não nulo de  t A taxa de acréscimo diminui quando  t diminui Instável!

23 Não há fonte externa de energia O Método de Euler não conserva a energia! 

24 O método de Euler-Cromer  i+  t =  i – (g/l)  i  t  i+  t =  i +  i  t Euler Euler- Cromer  i+  t =  i – (g/l)  i  t  i+  t =  i +  i +  t  t

25 O método de Euler-Cromer Euler- Cromer  i+  t =  i – (g/l)  i  t  i+  t =  i +  i +  t  t Única diferença

26 Fazendo a mudança no programa  t= 0,04 s  0 = 0  0 =0,2 rad

27 Mesmo aumentando  t  t= 0,1 s  0 = 0  0 =0,2 rad

28 De novo a energia  t= 0,1 s  t= 0,001 s

29 Conclusão O Método de Euler Euler-Cromer Decaimento Oscilação  Crescimento 

30 Referência Computational Physics Nicholas J. Giordano