Óptica: origens e conceitos

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1 Óptica: origens e conceitos
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física MESTRANDO Patrese Vieira Porto Alegre, ABRIL de 2013

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3 SIGNIFICADO DO COTIDIANO
SIGNIFICADO DA FÍSICA ≠

4 luz

5 UMA LUZ PARA A LUZ DA FÍSICA AO COTIDIANO, E VICE-VERSA

6 E onde a luz está envolvida?
A Óptica é o ramo da Física que estuda a luz, sua origem, seu comportamento e os fenômenos da natureza na qual está envolvida. E onde a luz está envolvida?

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8 A palavra luz possui diversos sentidos, assim seu significado dependerá do meio social do qual estamos participando.

9 Luz (Dicionário Michaelis)
sf (lat luce) 1 Agente que torna as coisas visíveis ou produz a iluminação. 2 Forma de energia radiante que transmitida de um corpo luminoso, ao olho, age sobre os órgãos de visão. 3 A sensação assim produzida. 4 Forma semelhante de energia radiante, como os raios ultravioleta, que não afeta a retina. 5 Iluminação, claridade, radiação luminosa provinda de uma fonte particular como vela, tocha, lâmpada elétrica, fogueira ou qualquer substância em ignição. 6 A própria fonte de claridade, quando acesa, como vela, lâmpada, farol etc. 7 A iluminação da Terra, produzida pelo Sol; luz solar, luz do dia ou luz natural. 8 Claridade que espalham os corpos celestes, quer irradiando raios luminosos, quer refletindo a claridade recebida de outro astro: Luz da Lua. 9 Brilho, fulgor. 10 Iluminação mental ou espiritual; esclarecimento, explicação, ilustração. 11 Conhecimento público, publicidade, notoriedade: O vício receia a luz. 12 Saber, ciência, erudição: Homem de poucas luzes. 13 Certeza manifesta, evidência, verdade. 14 O que esclarece a alma. 15 Pint Os pontos em que num quadro o artista imitou a luz. 16 Turfe Distância compreendida entre a cola de um e a cabeça de outro cavalo, que um parelheiro leva de dianteira a outro. 17 Mec Espaço ou folga entre duas peças ou entre duas superfícies. 18 gír Dinheiro. 19 Abertura livre sob um arco ou abóbada; vão. 20 Diâmetro na boca de um cano, tubo etc.; diâmetro interior. sf pl A ciência; o progresso; noções, conhecimentos. L. alta, Teat: luz suplementar, proveniente de refletores instalados em planos altos, dirigida sobre o cenário. L. artificial: a que o homem produz por meio da eletricidade, gás, querosene etc., para a iluminação quando e onde não há luz solar ou quando esta é insuficiente para seus fins. L. ativa, Fot: luz capaz de provocar mudanças químicas num material, como filme; luz atuante. L. atuante, Fot: V luz ativa. L. baixa, gír: depressão, tristeza, fossa. L. borboleta, Fot: tipo de iluminação usada principalmente para retratos. Geralmente produz, em volta do nariz, uma sombra que lembra uma borboleta. L. branca: a que apresenta a cor branca, tal como a luz do Sol. L. coerente: luz que parte do mesmo ponto luminoso da mesma fonte luminosa, de modo que seus raios coincidem em comprimento de onda, fase de vibração e plano de vibração. L. chave, Fot: feixe de luz que incide diretamente sobre um objeto, produzindo uma sombra que indica a posição real da luz. L. da fé: conhecimento das doutrinas religiosas. L. da inteligência: luz intelectual, capacidade intelectual, inteligência, razão. L. da vida: a existência, a vida. L. de atividade, Inform: pequena luz ou LED no painel frontal de um computador ou unidade de disco que indica quando a unidade de disco está lendo ou gravando dados; indicador de atividade. L. de fundo, Fot: luz difusa destinada a iluminar o fundo da cena. L. difusa, Fís: a que não resulta de raios de luz diretos e que, por isso, não acusa nitidamente as sombras, como ocorre nos dias nublados. L. do dia: luz solar. L. dos olhos: a vista. L. elétrica: a) luz produzida por uma corrente elétrica que, passando por um meio resistente, aquece-o até a incandescência; b) tal luz usada para iluminação. L. estroboscópica, Teat: tipo de iluminação obtido por meio de um sistema de flashes eletrônicos que se alternam geralmente a intervalos regulares, segundo um padrão previamente programado. L. intelectual: o mesmo que luz da inteligência. L. invisível: as radiações infravermelha e ultravioleta. L. monocromática: luz de um só comprimento de onda, que portanto não pode ser decomposta em cores espectrais. L. natural: o mesmo que luz do dia. L. testemunha, Autom: pequena lâmpada adaptada ao painel, que se mantém acesa automaticamente, quando ocorre algum defeito em sistemas importantes do veículo, como no de lubrificação, no elétrico ou no arrefecimento. L. traseira, Inform: luz atrás de um monitor de cristal líquido que melhora o contraste dos caracteres na tela permitindo que esta seja lida mesmo com luz fraca. L. trêmula, Folc: crença milenar de que o fato de o morrão de uma lamparina ou candeia estalar fazendo tremer a luz, em lugar onde se presume não soprar nem a mais leve brisa, indica mudança de tempo ou constitui recado de mortos aos vivos. À luz do dia: à vista de todas as pessoas. Ao apagar das luzes: no fim da festa, na última hora. Cola e luz, Reg (Sul e Centro): vantagem oferecida no trato de uma carreira em cancha reta, e que consiste em que um competidor se compromete a soltar seu parelheiro na cola (atrás do outro) e abrir luz, no fim do laço, acepção 11. Dar à luz: a) parir; b) publicar uma obra. Luz e pelego, Reg (Centro e Sul): vantagem que consiste em oferecer luz na chegada, com liberdade de peso para o competidor. Vir à luz: surgir, aparecer.

10 Assim como no dia a dia, a Física também apresenta uma natureza bastante ampla para a luz.

11 No início, a luz estava relacionada ao dia e a noite.

12 Durante a noite, o fogo era utilizado para iluminação
Durante a noite, o fogo era utilizado para iluminação. Assim era possível concluir que há a necessidade de luz para que se possa enxergar.

13 Embora se tenha chegado a essa conclusão, tanto a luz quanto a visão permaneciam inexplicadas.
O que é a luz? De onde ela vem? Como enxergamos?

14 HIPÓTESES FILOSÓFICAS PARA A LUZ
GRÉCIA ANTIGA

15 PITÁGORAS (580 a.C. – 500 a.C.): a luz sai pelos olhos e toca os objetos.
PLATÃO (428 a.C. – 348 a.C.): a luz tanto sai dos olhos quanto é emitida ou resvalada pelos objetos. O encontro dessas duas formas de luz que permite a visão. ARISTÓTELES (384 a.C. – 322 a.C.): a luz vem dos objetos e então entra nos olhos.

16 A existência dessas diferentes teorias para a visão se baseava em uma única pergunta:
O QUE E A LUZ?

17 Na Grécia Antiga, havia duas concepções principais para a natureza da luz:
PITAGÓRICA/PLATÔNICA: a luz é formada por pequenas partículas (sólidos regulares). ARISTOTÉLICA: a luz é uma manifestação do meio existente entre o objeto e os olhos (espécie de onda).

18 TERRA AR Na época muitos filósofos, como Empédocles, Platão e principalmente Aristóteles, acreditavam que a matéria era constituída por quatro elementos principais: AGUA FOGO

19 Para Platão, a luz seria constituída por partículas de fogo.
LUZ FOGO

20 Porém, nem todos os pensadores concordavam com a teoria dos quatro elementos da natureza. Para eles, toda a matéria seria formada pela mesma coisa: átomos. Por tal motivo são conhecidos como filósofos atomistas. Leucipo e Demócrito entendiam a luz como uma espécie de matéria emitida, a qual chamaram de simulacro. Leucipo (480 a.C. – 420 a.C.) Demócrito (460 a.C. – 370 a.C.)

21 Platônicos e Atomistas: luz é formada por partículas.
Porém, Aristóteles discordava!

22 A Física Aristotélica se baseia no movimento
A Física Aristotélica se baseia no movimento. A luz seria uma forma de movimento puro, portanto não poderia ser formada pelas mesmas substâncias que a matéria (terra, fogo, água e ar). Dessa forma, a luz foi interpretada como uma manifestação do meio.

23 LOGO, O QUE É A LUZ? A dúvida a respeito da natureza da luz permaneceu em aberto por milhares de anos, mas isso não impediu o avanço da Óptica. Uma nova forma de entender a luz foi adotada, e a partir dessa ideia muitos conhecimentos passaram a ser construídos.

24 A ÓPTICA GEOMÉTRICA GRÉCIA ANTIGA, IMPÉRIO ROMANO, MESOPOTÂMIA, RENASCENÇA

25 Euclides (325 a.C a.C.), eminente matemático grego, inspirou-se em Aristóteles para decidir estudar a luz como um raio luminoso, atribuindo-lhe algumas características que o conduziram a conclusões utilizadas com sucesso ainda hoje.

26 A luz se propaga em linha reta (raio luminoso);
Um raio luminoso não possui um sentido preferencial; Um raio luminoso, ao cruzar com outro, não influencia em sua propagação.

27 Também desenvolveu o importante conceito da reflexão, inclusive chegando à versão preliminar da Lei da Reflexão: “o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão”. a a

28 Euclides descreveu a formação de imagens em diferentes tipos de espelhos e um interessante experimento realizado com um anel e água, para o qual não obteve explicação.

29 Outro cientista que estudou a formação de imagens em espelhos foi Arquimedes (287 d.C. – 212 d.C.).
Segundo a lenda, Arquimedes teria incendiado uma esquadra romana que pretendia invadir a cidade onde morava, Siracusa, na Sicília, usando somente espelhos parabólicos. Atualmente, o acendimento da chama olímpica segue os mesmos procedimentos, através de espelhos.

30 Sêneca (4 a.C – 65 d.C.), poeta romano, teria utilizado esferas de vidro preenchidas com água como um objeto de aumento (protótipo da lupa).

31 Ainda que não tivessem ciência, Euclides, com o experimento da moeda, e Sêneca, com seu objeto de aumento, estavam lidando com o importante conceito da refração, descrito por Claudius Ptolomeu (85 d.C. – 165 d.C.), mais conhecido por suas contribuições à Astronomia.

32 Na época, Ptolomeu descreveu a refração como um desvio que um raio luminoso sofre em sua trajetória quando muda seu meio de propagação. Por exemplo, relatava que a luz proveniente do Sol ou das estrelas, quando entravam na atmosfera terrestre, sofria tal desvio.

33 Ptolomeu tomou medidas do ângulo de incidência e do ângulo de refração para alguns casos, como ar-água, ar-vidro e água-vidro, buscando uma explicação matemática para a refração relacionando tais ângulos, contudo não produziu sua descrição. NORMAL AR i ÁGUA r

34 As próximas contribuições fundamentais para a Óptica Geométrica foram fornecidas cerca de mil anos após Ptolomeu, pelo físico e matemático iraquiano Abu Ali Hasan Ibn al-Haitham, conhecido como Alhazen (965 – 1040).

35 Foi Alhazen quem elaborou o modelo atual para a visão, umas das grandes questões da Óptica na Grécia Antiga. A luz vem do Sol ou de outras fontes luminosas, como o fogo, e é refletida por demais objetos; A luz emitida ou refletida pelos objetos entra em nossos olhos e assim conseguimos enxergá-los.

36 a a Alhazen elaborou a versão hoje utilizada para a Lei da Reflexão.
Também realizou estudos sobre lentes, atribuindo sua característica de ampliar ou reduzir imagens à sua curvatura. NORMAL a a

37 Alhazen também foi o primeiro a obter imagens com câmaras escuras, precursoras das câmeras fotográficas, inicialmente sem lentes.

38 Não se tem certeza de exatamente quando as lentes foram inventadas ou adaptadas da natureza, mas há registros de sua utilização no Oriente Médio, Egito e China, em período anterior ou contemporâneo à Grécia Antiga, entre 3000 e 2500 anos atrás.

39 No ocidente, os primeiros óculos surgiram por volta da década de 1280.
1352 1403

40 No período da Renascença (século XIV), técnicas de polimentos de lentes garantiram óculos com melhor qualidade, o que também permitiu a invenção de instrumentos ópticos fundamentais ao desenvolvimento da ciência, como o microscópio e o telescópio.

41 TELESCÓPIO MICROSCÓPIO
CIENTISTA ESTUDOS Galileu Galilei ( ) Crateras lunares, satélites em Júpiter, manchas na superfície do Sol, ... Johannes Kepler ( ) Órbitas planetárias, ... MICROSCÓPIO CIENTISTA ESTUDOS Robert Hooke ( ) Células, insetos, folhas... Anton van Leeuwenhoek ( ) Bactérias, micro-organismos... Todos eles construíam e aperfeiçoavam seus instrumentos, assim não contribuíram apenas para a evolução da Óptica Geométrica, como também para a formação da própria Ciência.

42 A ampla utilização das lentes acompanhou os avanços em torno do conceito de refração. Em 1621, o físico holandês Willebrord van Roijen Snell ( ) propõe a hoje chamada Lei da Refração, mais conhecida como Lei de Snell, porém não publicou seus resultados.

43 O mesmo não fez o filósofo francês René Descartes (1596 – 1650), que em 1637 mostrou publicamente o mesmo resultado, razão pela qual a Lei da Refração também pode ser chama de Lei de Snell-Descartes.

44 Os estudos de Descartes para explicar a refração estavam intimamente relacionados com uma velha pergunta, cujas investigações estavam voltando a tona: O QUE É A LUZ?

45 Óptica: a ciência da luz
França, reino unido, holanda, alemanha, estados unidos

46 Na antiguidade, as especulações em torno da natureza da luz eram de caráter filosófico, ou seja, não havia o apoio em bases científicas. Os avanços proporcionados pela Óptica Geométrica proporcionaram um rol de conhecimentos que contribuíram inestimavelmente para a investigação da natureza da luz, agora analisada sob um novo olhar: a Física.

47 Partículas Vs. Ondas

48 Descartes, para explicar a refração da luz, recorreu ao seu caráter corpuscular, ou seja, postulou que a luz era formada por partículas. A luz se deslocaria através de um meio material chamado éter, que preencheria todo o espaço sideral.

49 A hipótese de Descartes para a teoria corpuscular da luz se baseava em sua velocidade. Já era sabido na época que a velocidade da luz muda quando o meio onde ela se propaga é alterado. Por exemplo, a velocidade da luz na água é diferente da velocidade da luz no ar. É a mudança da velocidade da luz, quando ela troca de meio, que provoca a refração.

50 Segundo Descartes, a luz teria velocidade maior em meios mais densos
Segundo Descartes, a luz teria velocidade maior em meios mais densos. Assim, seguindo o exemplo adotado, a velocidade da luz na água seria maior que a velocidade da luz no ar. AR ÁGUA

51 A luz seria mais rápida na água do que no ar porque as partículas formadoras da luz seriam aceleradas pelo contato com as partículas da água, o que aconteceria com maior dificuldade em um meio menos denso, como o ar.

52 Essa colocação foi questionada por Pierre Fermat (1601 - 1665).
Sendo o primeiro a demonstrar experimentalmente a Lei da Refração publicada por Descartes, Fermat concluiu que meios menos densos ofereceriam resistência menor que meios mais densos, dessa forma a velocidade da luz no ar seria maior.

53 AR ÁGUA

54 Quem tinha uma opinião em comum com Descartes quanto à natureza da luz era o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642 – 1727), que tornou-se um grande defensor da teoria corpuscular da luz.

55 Em 1666, Newton realizou um experimento que originou a hoje chamada dispersão cromática. Ele direcionou um feixe de luz branca, vinda do Sol, até um prisma feito de vidro, o que resultou em um feixe colorido sendo observado do outro lado do prisma. Em 1666, Newton realizou um experimento que originou a hoje chamada dispersão cromática. Ele direcionou um feixe de luz branca, vinda do Sol, até um prisma feito de vidro, o que resultou em um feixe colorido sendo observado do outro lado do prisma.

56 Para Newton, a luz seria formada por pequenas partículas que se combinam para formar a luz branca.
Por serem diferentes entre si, cada partícula seguiria um caminho distinto após sofrer a dupla refração ao atravessar o prisma, o que resulta em um espectro com as sete cores do arco-íris. (vídeo)

57 Um dispositivo inventado por Newton para confirmar sua teoria, hoje conhecido como disco de Newton, mostra que a luz branca é constituída por luzes de sete cores distintas.

58 Para Newton, a luz também se moveria com velocidade maior em meios mais densos, como propôs Descartes. Porém, ao contrário da hipótese cartesiana, admitia a existência do vácuo.

59 Em 1665, foi publicado postuma-mente o livro do físico italiano Francesco Grimaldi ( ). O principal motivo foi um experimento onde demonstrava um fenômeno estranho, que ele chamou de difração.

60 Grimaldi projetou luz sobre duas folhas que possuíam um pequeno orifício cada, estando posicionados um atrás do outro. Seguindo a hipótese de que a luz viaja em linha reta, deveria haver apenas uma pequena mancha iluminada sobre o anteparo atrás das folhas, mas isso não era observado.

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62 Newton explicou o experimento de Grimaldi usando a teoria de que a luz é formada por partículas. Porém foi este experimento que possibilitou a existência de outra teoria para a natureza da luz: a ondulatória.

63 Baseado no experimento de Grimaldi e em variações do mesmo, Robert Hooke (1635 – 1703) propôs que a luz era formada por vibrações que se propagavam com velocidade bastante alta. Em outras palavras, que a luz seria uma onda.

64 O físico holandês Chistiaan Huygens (1629 – 1695) aperfeiçoou o conceito elaborado por Hooke, adicionando que a luz seria uma onda longitudinal, que se propaga na mesma direção de seu deslocamento.

65 Com essa teoria, Huygens conseguiu explicar a reflexão, a difração do experimento de Grimaldi e a refração de Snell-Descartes, indo ao encontro da hipótese de Fermat de que a luz se moveria com velocidade maior em meios menos densos (velocidade maior no ar do que na água). Com essa teoria, Huygens conseguiu explicar a reflexão, a difração do experimento de Grimaldi e a refração de Snell-Descartes, indo ao encontro da hipótese de Fermat de que a luz se moveria com velocidade maior em meios menos densos (velocidade maior no ar do que na água).

66 Newton Vs. Huygens Partículas Vs. Ondas Vácuo Vs. Éter

67 A luz é formada por partículas e o vácuo existe.
Newton A luz é formada por partículas e o vácuo existe.

68 O Experimento de Young (1801)
O físico Inglês Thomas Young (1773 – 1829) realizava experimentos com ondas sonoras e ondas produzidas na água. Seu interesse estava no fenômeno da interferência, observado quando um pulso de ondas atravessava duas fendas feitas em um anteparo. Young constatou que tais ondas interagiam causando seu reforço ou sua destruição.

69 Significado do Cotidiano

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71 Young decidiu fazer o mesmo experimento utilizando um feixe de luz, baseado na teoria ondulatória.
Confirmando sua hipótese, Young observou um padrão de interferência para a luz. A partir de seus resultados conseguiu obter um dado importantíssimo: o comprimento de onda da luz visível (assim como para cada cor).

72 Também foi Young que elaborou a chamada Teoria das Cores, na qual atesta que a fisiologia dos olhos não possui mecanismos para enxergar isoladamente cada cor, mas somente três estruturas, sensíveis ao violeta, ao verde e ao vermelho. Essa teoria foi aperfeiçoada posteriormente pelo alemão Hermann von Helmholtz, na qual as três cores definidas foram o azul, o verde e o vermelho.

73 Em 1803, Young divulgou seus resultados sobre a interferência luminosa, o que gerou certa polêmica na época, já que a teoria corpuscular da luz era amplamente aceita, principalmente devido ao prestígio de Newton.

74 O resultado também repercutiu na França, principalmente entre físicos partidários da teoria corpuscular da luz, como François Arago (1786 – 1853). Pouco tempo depois Arago se convence dos achados de Young e os indica ao também físico Augustin-Jean Fresnel (1788 – 1927).

75 Fresnel se dedicou a realização de experimentos sobre a natureza ondulatória da luz, principalmente sobre difração, assim conseguiu aperfeiçoar os resultados de Huygens para o experimento de Grimaldi.

76 Após Fresnel apresentar seus estudos à comunidade científica francesa, o debate acerca da natureza da luz foi retomado. A hipótese ondulatória, apesar de ganhar mais evidências, ainda não era totalmente aceita devido um último ponto: o meio de propagação da luz.

77 Fresnel, baseado na concepção de Huygens, defendia a a existência do éter, pois o comportamento comum a todas as ondas era o de propagar-se em um meio material.

78 Em 1865, o físico inglês James Clerk Maxwell (1831 – 1879) demonstrou matematicamente uma importantíssima hipótese para a natureza da luz: que ela se tratava de uma onda eletromagnética. Dessa forma, Maxwell conseguiu unificar Óptica com Eletricidade e Magnetismo.

79 Ondas eletromagnéticas são produzidas pela movimentação de cargas elétricas. São compostas tanto por um campo elétrico quanto por um campo magnético, estando um perpendicular ao outro.

80 A teoria de Maxwell também podia predizer teoricamente qual a velocidade da luz, cujo resultado entrava concordava com as medidas obtidas experimentalmente por Fizeau (1849) e Foucault (1850). Ambos também mediram a velocidade da luz na água e no ar, constatando que a velocidade no ar era maior, o que alicerçava a teoria ondulatória.

81 Mesmo possuindo este resultado poderoso em mãos, Maxwell não abriu mão da hipótese do éter, que para ele continuava sendo necessário para a propagação da luz. A motivação para Maxwell desenvolver sua teoria estava justamente na existência do éter, embora, no final das contas, ela tenha atestado que essa forma de matéria não deveria existir.

82 A partir de 1881, o físico alemão Albert Michelson (1852 – 1931) e o químico estadunidense Edward Willian Morley (1838 – 1923) começaram a desenvolver experimentos para detectar a existência do éter, culminando com o experimento de 1887. (vídeos)

83 Significado do Cotidiano

84 Resultado: o éter não foi detectado pelo experimento...
Então, como poderia a luz ser uma onda se o meio de propagação necessário teoricamente não existiria?

85 Em 1887 (mesmo ano do experimento de Michelson-Morley), o físico alemão Heinrich Hertz (1857 – 1894) conseguiu detectar experi-mentalmente ondas eletromagnéticas pela primeira vez, corroborando a teoria eletromagnética de Maxwell.

86 Dessa forma, no final do século XIX, foi adotado o consenso de que a luz é uma onda eletromagnética, com velocidade finita e definida e que não necessita de um meio material para se propagar.

87 ? FIM

88 POREM... Durante seus estudos com ondas eletromagnéticas, Hertz se deparou com um fato curioso...

89 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BASSALO, J.M.F (1986). A Crônica da Ótica Clássica. Caderno Catarinense de Ensino de Física. v. 3, n. 3, p , dez. Florianópolis. BASSALO, J.M.F (1987). A Crônica da Óptica Clássica. Caderno Catarinense de Ensino de Física. v. 4, n. 3, p , dez. Florianópolis. BASSALO, J.M.F (1989). A Crônica da Ótica Clássica (Parte III: ). Caderno Catarinense de Ensino de Física. v. 6, n. 1, , abr. Florianópolis. CARUSO, F.; OGURI, V. (2006). Física Moderna – Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos. Campus. Rio de Janeiro.

90 CARVALHO, S. H. M. de (2005). Einstein – Uma Luz sobre a Luz
CARVALHO, S.H.M. de (2005). Einstein – Uma Luz sobre a Luz. Disponível em <fisica.cdcc.usp.br/Professores/Einstein- S HMCarvalho/index.html>. Acessado em 18 fev 2012. HEWITT, P.G. (2009). Fundamentos de Física Conceitual. Bookman. Porto Alegre. MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. (2009). Física: Volume 2. Scipione. São Paulo. MOREIRA, M.A. (2011). Teorias de Aprendizagem (2ª edição). E.P.U. São Paulo.

91 CRÉDITOS DAS IMAGENS E ANIMAÇÕES
A numeração seguida de cada fonte se refere à ordem de apresentação do slide e as imagens nele contidas. Autor: slides 11, 18, 26, 27, 32, 33, 36, 50, 53, 60, 61, 64 (animação), 72. Google Earth: slides 69. Wikipedia: slides 02, 07, 12, 15, 20, 25, 29, 30, 31, 35, 37, 39, 42, 43, 52, 54, 55, 56, 57, 59, 63, 64 (gravura), 65, 70, 71, 75, 78, 79, 82, 83, 85.