Processos Estocásticos

Apresentação em tema: "Processos Estocásticos"— Transcrição da apresentação:

1 Processos Estocásticos
EE-240 Probabilidade e Processos Estocásticos

2 1. Espaço de Probabilidades: É uma Tripla
2. Espaço Amostral: É o conjunto dos resultados possíveis 3. Classe de Eventos: É a classe de sub-conjuntos de que satisfaz: 4. Medida de Probabilidade: É uma função P: tal que, para

3 5. Probabilidade Condicional:
M Exemplo:

4 5. Probabilidade Condicional:
M 6. Fórmula de Bayes:

5 ( ) 7. Independência: tes independen B e A P ® = Ç
8. Variáveis Aleatórias: R

6 Exemplo: $ -20 +35

7 9. Função Distribuição de Probabilidade:

8 9. Função Distribuição de Probabilidade:
10. Propriedades da Função Distribuição: 11. Função Densidade de Probabilidade:

9 ( ) { } 12. Distribuição Condicional de Probabilidade: Exemplo: a F x
= w Þ Ç > 1 Fx 1 a

10 13. Funções de uma variável aleatória:

11 14. Média: fx

12 14. Média: fx R

13 14. Média: fx R

14 15. Estatística conjunta de duas variáveis aleatórias:
y x 16. Propriedades de Fx,y:

15 17. Distribuição Marginal:
18. Independência de Variáveis Aleatórias: As variáveis aleatórias x e y são ditas independentes se, para A,B são independentes, ou seja,

16 19. Função de duas variáveis aleatórias:
z = g(x,y) z y x g(.,.) g(x,y)

17 19. Função de duas variáveis aleatórias:
z = g(x,y) z y x g(.,.) g(x,y) Dz

18 Conexão Série S1 S2 t2  T2() t t1 T1() Na área sombreada,
o sistema conectado em série ficou inoperante antes do instante t

19 Conexão Paralela S1 S2 t2  T2() t t1 T1() Na área sombreada,
o sistema conectado em paralelo ficou inoperante antes do instante t

20 em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t
Conexão Stand By S1 S2 t2  t T2() t1 T1() t Na área sombreada, o sistema conectado em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t

21 20. Covariança: 21. Distribuição Normal: x ~ N(m,Q),

22 22. Processos Estocásticos:
Coleção de variáveis aleatórias indexadas por parâmetro t

23 23. Caracterização de Processos Estocásticos:
Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de

24 Caracterização de Processos Estocásticos:
Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de x t1 x t2 x t3 x t4 x t5

25 23. Caracterização de Processos Estocásticos:
Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de 24. Processos Estacionários (no Sentido Estrito) Um processo xt(.) é dito ser estacionário se,

26 Processo Não-Estacionário
Exemplo: 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 Processo Não-Estacionário tempo x

27 Processo Não-Estacionário
Exemplo: 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -4 -2 2 4 6 8 10 Processo Não-Estacionário tempo x

28 Estacionário no Sentido Amplo
25. Processos Estacionários no Sentido Amplo Um processo xt(.) é dito ser estacionário no sentido amplo se, Estacionário no Sentido Amplo Estacionário no Sentido Estrito

29 26. Função de Auto-Correlação
No caso de processo estacionário no sentido amplo:

30 Função de Auto-correlação e Densidade Espectral de Potência

31 26. Função de Auto-Correlação
No caso de processo estacionário no sentido amplo: 27. Ruído Branco 28. Ruído Gaussiano

32 Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0,
26. Ruído Branco Gaussiano Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0, Portanto, no caso do Ruído Branco Gaussiano Padrão Observação: independência  não-correlação não-correlação  independência

33 Exemplo: Ruído em Sistemas Lineares
uk yk hk

34 uk yk hk * E (.) hi

35

36 Processos Estocásticos
Exemplos de Processos Estocásticos

37 Ruído Branco Gaussiano

38 Ruído Branco Gaussiano
Nova Variança

39 Outlier ?

40 Novelty ? ?

41 Alteração Brusca de Tendência

42 ?

43 Sinal dependente de variável manipulada...
y(t) y(t) u(t) S u(t)

44 Ausência de Resposta pode ser Falha ...
y(t) y(t) u(t) S u(t)

45 Saturação

46 Modelo AR: y(k)=0.8*y(k-1) + ruído
Nova Variança do Ruído

47 Qual a distribuição do ruído?
N(0,2) U(-2,2)

48 Ruído aumentando com o tempo...

49 Falhas Intermitentes ...

50 Muito Obrigado!