1 Equilíbrio, Arbitragem e Mercados Completos Caio Almeida

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1 1 Equilíbrio, Arbitragem e Mercados Completos Caio Almeida calmeida@fgv.br

2 Teoria de Apreçamento de Ativos 2 Conteúdo da Aula  Equilíbrio.  Estrutura dos mercados - Mercados completos.  Arbitragem.  Probabilidades neutras ao risco.  Teorema fundamental de finanças.

3 Teoria de Apreçamento de Ativos 3 Equilíbrio  Considere uma economia de dois períodos. Suponha que existam N ativos negociados “hoje” e que vencem “amanhã”. Seja X = (X 1,..., X N ) o vetor aleatório que representa o payoff desses N ativos. Cada componente de X é uma v.a. cujo valor depende de que estado da natureza ocorrerá amanhã. Seja q o vetor preço desses ativos.  Um agente da economia possui renda inicial W 0 e uma renda contingente “amanhã” W (que também é uma v.a.).  Seja z = (z 1,..., z N ) o portfolio de ativos desse agente, onde z n representa o número de unidades do ativo n negociadas por esse agente.

4 Teoria de Apreçamento de Ativos 4 Equilíbrio  Suponha que a renda inicial W 0 de um investidor i é oriunda de uma dotação inicial de ativos z 0  N. Isto é, W 0 = q z 0.  Considere que na nossa economia existem I agentes. Logo o problema do investidor i pode ser escrito como:  Até agora estávamos supondo que o vetor de preços de ativos era dado e igual a q. Na realidade, os preços são determinados pelas forças de mercado. Isso nos leva ao conceito de equilíbrio:

5 Teoria de Apreçamento de Ativos 5 Equilíbrio  Um equilíbrio é um vetor de preços dos ativos q e um conjunto de portfolios z 1,..., z I tais que: z i é solução do problema do investidor i = 1,..., I. (market clearing).  A definição acima captura a essência das forças de mercado (oferta e demanda) na formação dos preços dos ativos.  Um campo muito vasto da teoria econômica consiste em determinar quais são as condições que garantem a existência de equilíbrio em um certo modelo.

6 Teoria de Apreçamento de Ativos 6 Equilíbrio  Se um modelo não pode garantir a existência de equilíbrio então ele é inconsistente em certo sentido.  No nosso caso, se as funções de utilidades de todos os agentes forem côncavas e crescentes então existe equilíbrio (Não vamos demonstrar isso! Requer o uso do Teorema de Ponto Fixo de Kakutani!). Daqui em diante vamos supor que o equilíbrio exista.  Observe que achar os preços de equilíbrio e os portfolios dos agentes consiste em resolver um sistema. Como sabemos, um sistema pode ter solução única, não ter solução, ou ter infinitas soluções.

7 Teoria de Apreçamento de Ativos 7 Equilíbrio  Exemplo: Considere uma economia de dois períodos e com dois estados igualmente prováveis em t = 1. Existem dois agentes (A e B) ambos com utilidades u(x) = ln(x). O agente A tem fator de desconto β = 1/2 e o agente B tem β = 1/3. As dotações de renda desses agentes são: Para A (19/8, 1, 3) e para B (21/8, 5, 3). Existem dois ativos negociados em t = 0. O ativo 1 é um ativo sem risco (payoff unitário em qualquer estado da natureza). O ativo 2 paga uma unidade no estado 1 e nada no estado 2. Ache os preços de equilíbrio.

8 Teoria de Apreçamento de Ativos 8 Equilíbrio  Embora as condições de equilíbrio representem a solução teórica mais completa para apreçar ativos, na forma apresentada elas podem ser pouco útil.  Como visto no exemplo anterior, o cálculo dos preços de equilíbrio é muito laborioso mesmo em uma economia bem simples.  O nosso objetivo, a partir de agora, é estudar modos alternativos de se obter os preços dos ativos.  Para isso é necessário estudar a estrutura dos mercados em mais detalhes.

9 Teoria de Apreçamento de Ativos 9 Estrutura dos Mercados  Vamos supor que a incerteza na economia é descrita por S estados da natureza em t = 1. Portanto o payoff do ativo n caso ocorra o estado s é X n (s).  Logo o payoff de todos os ativos pode ser representado por uma matriz V de dimensão S  N.  A linha s dessa matriz representa o payoff de todos os ativos caso ocorra o estado s da natureza, já a coluna n representa o payoff do ativo n em todos os estados da natureza.  Exemplo: Ativo livre de risco. Nesse caso, a coluna correspondente a esse ativo é toda formada por 1’s.

10 Teoria de Apreçamento de Ativos 10 Estrutura dos Mercados  O retorno do ativo n é uma variável aleatória definida pelo quociente entre a coluna n de V e o preço desse ativo.  Exemplo: Considere 3 estados da natureza e 2 ativos. O ativo 1 é livre de risco e o ativo 2 tem payoff (1, 2, 2). Quem é V? Se q 1 = 0,8 e q 2 = 1,25, qual é o retorno dos ativos?  Se z é um portfolio então o custo de z é qz e o seu payoff é Vz´.  Exemplo: Seja V uma matriz 2  2 formada por ativos de Arrow- Debreu. Considere o portfolio z = (2, 3). Qual seu custo e seu payoff? Suponha q 1 = 0,8 e q 2 = 0,6.  Função básica do mercado financeiro: transferir renda entre os estados da natureza. Os instrumentos para isso são os ativos.

11 Teoria de Apreçamento de Ativos 11 Estrutura dos Mercados  Suponha que um investidor queira obter 4 unidades em t = 1 se ocorrer o estado 1 e uma se ocorrer o estado 2. Qual portfolio ele deve comprar em t = 0?  Exemplo V = [1 0;1 1;1 1]. Determine z para que o payoff seja (1, 2, 3).  Se Y = {y 1,..., y k } é um conjunto de vetores do  M então o span de Y é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de Y, isto é,

12 Teoria de Apreçamento de Ativos 12 Mercados Completos  Exemplo: Sejam (1, 1, 0) e (0, 1, 0) dois vetores do  3. Determine o span desses vetores. Pergunta: (0, 0, 1) pertence a esse span? Qual a dimensão desse conjunto?  O espaço coluna de uma matriz é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz, ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas, ou ainda o span das colunas da matriz.  Para a matriz V, o espaço coluna é o conjunto de todos os vetores de  S que podem ser escritos como Vz´, para algum z de  N.

13 Teoria de Apreçamento de Ativos 13 Mercados Completos  Exemplo: Determine o espaço coluna das matrizes V dos exemplos anteriores.  Repare que se a matriz V tem S linhas a dimensão de seu espaço coluna será no máximo S.  Um mercado é dito completo se span (colunas de V) =  S. Ou seja, existe sempre um portfolio que permite aos agentes fazer qualquer transferência de renda entre os estados da natureza. Você pode fazer o hedge que você quiser!

14 Teoria de Apreçamento de Ativos 14 Mercados Completos  Observe que se o mercado é completo então N  S.  Exemplo: Suponha uma economia constituída por 3 ativos de Arrow-Debreu. Considere um agente com a seguinte renda no segundo período (3, 3, 0). Determine que portfolio ele deve comprar para homogeneizar perfeitamente a renda em t = 1.  Um ativo é dito redundante se seu payoff pode ser obtido como combinação linear dos payoffs de outros ativos.  Exemplo: Suponha V = [-1 1 1;2 –1 0]. O ativo 3 é redundante?  Se existem mais ativos do que estados da natureza (N > S) então certamente existem ativos redundantes.

15 Teoria de Apreçamento de Ativos 15 Mercados Completos  Portanto se não existem ativos redundantes e o mercado é completo então a matriz de payoff V é quadrada, isto é, N = S.  Exemplo: Verifique, para as matrizes V dos exemplos anteriores, se existem ativos redundantes.

16 Teoria de Apreçamento de Ativos 16 Arbitragem  “Máquina de fazer dinheiro”.  Definição: Uma oportunidade de arbitragem é um portfolio z tal que pelo menos uma das condições seguintes é satisfeita: qz  0 e Vz´ > 0 (todas as componentes ≥ 0; pelo menos uma estritamente positiva); qz < 0 e Vz´  0 (todas as componentes ≥ 0);  Um par (q, V) é livre de arbitragem se não existe oportunidade de arbitragem. Nesse caso o preço q é dito livre de arbitragem.  Exemplo: V = [2 1;0 –1] e q = [1 1]. Existe oportunidade arbitragem? Se sim, monte uma.  Exemplo: Faça o mesmo para V = [1 0;0 1] e q = [0,8 0,7].

17 Teoria de Apreçamento de Ativos 17 Arbitragem  E se q = [0,5 0,6] com V = [1 0;0 1] ?  Observe que os preços de equilíbrio são necessariamente preços de não arbitragem. Isto é, se q é um preço de equilíbrio então q é preço de não arbitragem. Mas não vale a volta!  Teorema: Suponha que exista equilíbrio. Se dois ativos possuem o mesmo payoff em qualquer estado da natureza em t = 1, então eles devem possuir o mesmo custo em t = 0.  Exemplo (Apreçando uma call – modelo binomial). Economia com dois ativos e dois estados da natureza. V = [1 3;1 1] e q = [0,5 1]. Qual o preço de uma call sobre o ativo 2 com strike igual a 2?

18 Teoria de Apreçamento de Ativos 18 Arbitragem  Exemplo: No exemplo anterior o mercado é completo, logo qualquer novo ativo pode ser replicado. Usando esse fato, calcule o preço de um ativo cujo payoff é c 1 no estado 1 e c 2 no estado 2.

19 Teoria de Apreçamento de Ativos 19 Neutralidade ao risco  Definição: Um vetor preços de estado para estrutura de mercado (q, V) é um vetor    S com todas as componentes estritamente positivas tal que q´ = V´  ´.  Exemplo: Considere os dados do exemplo da call. Existe vetor preço de estados? Se sim, qual?  Exemplo: Suponha V = [4,5 6;0 1] e q = [3 2]. Existe vetor preços de estado?  Portanto, não podemos sempre garantir a existência de um vetor preços de estado. Observe, no entanto, que existe algo de “estranho” com o mercado do exemplo anterior...  O ativo 2 domina o ativo 1, mas tem preço menor! Temos arbitragem nesse caso!

20 Teoria de Apreçamento de Ativos 20 Neutralidade ao risco  Já já vamos provar que a condição necessária e suficiente para que exista um vetor preços de estado é que não exista arbitragem.  Antes disso, vamos supor que para o par (q, V) exista um vetor preço de estado  = (  1,...,  S ). Seja D =  1 +...+  S logo o vetor  =  /D é um vetor de probabilidades. Para qualquer ativo temos:  Para o ativo livre de risco X rf = (1,..., 1). Logo, D = q rf.

21 Teoria de Apreçamento de Ativos 21 Neutralidade ao risco  Logo D é o fator de desconto pela taxa de juros livre de risco.  Isso mostra que, caso exista um vetor de preços de estado, o preço de qualquer ativo é o valor esperado descontado, como relação as probabilidades artificialmente construídas (  1,...,  S ), de seu payoff.  As probabilidades (  1,...,  S ) são chamadas de probabilidades neutras ao risco. A existência dessas probabilidades facilita bastante o problema de apreçamento.  Porém, sob que condições elas existem?

22 Teoria de Apreçamento de Ativos 22 Neutralidade ao risco  Como visto anteriormente, probabilidades neutras ao risco estão intimamente relacionadas com vetor preços de estado que por sua vez dependem da não existência de arbitragem. Antes de formalizarmos esse ponto, vejamos um exemplo.  Resolva o problema de apreçamento da call usando neutralidade ao risco.

23 Teoria de Apreçamento de Ativos 23 Teorema Fundamental de Finanças  “Não existe arbitragem se, e somente se, existe um vetor preço de estados (isto é, se existem probabilidades neutras ao risco)”.  A demonstração da “volta” é trivial (existência do vetor preços de estado implica não arbitragem), mas a ida requer o uso do Teorema do Hiperplano Separador!  Vejamos uma demonstração analítica em um caso mais simples. Considere dois ativos e dois estados da natureza. Um dos ativos é arriscado com retorno (u, d) onde u > d. O segundo é um ativo sem risco com retorno (r, r), onde r > 0.  Não existe arbitragem se u > r > d.

24 Teoria de Apreçamento de Ativos 24 Teorema Fundamental de Finanças  Usando q´ = V´ . Temos:  Que são estritamente positivos se, e somente se, u > r > d.  As probabilidades neutras ao risco são

25 Teoria de Apreçamento de Ativos 25 Teorema Fundamental de Finanças  Vejamos uma demonstração geométrica do TFF.  Seja z um portfolio. Considere o vetor do  S+1 cuja primeira componente é o negativo do custo de z em t = 0, isto é, -qz e as seguintes são os payoff de z em cada um dos estados da natureza em t = 1. Isto é, (-custo de z, payoff de z em s = 1,..., payoff de z em s = S).  Exemplo se V = [1 0;0 1], q = [1 1] e z = [0 1] então o vetor acima é (-1, 0, 1).  Seja M o conjunto de todos os vetores acima (faça z percorrer todos os portfolios). Esse conjunto é chamado de espaço de transferência de renda.

26 Teoria de Apreçamento de Ativos 26 Teorema Fundamental de Finanças  Observe que não existe arbitragem se, e somente, o único elemento de M com todas as componentes não negativas é o vetor nulo.  Por outro lado, da álgebra linear, sabemos que dois vetores são ortogonais quando a soma dos produtos de suas coordenadas é igual a zero. Isto é, (x 1,..., x n ) e (y 1,..., y n ) são ortogonais se x 1 y 1 +... + x n y n =0.  Exemplo: (1,1) e (1,-1) são ortogonais. Também o são (1,0) e (0,1).  Da álgebra linear também sabemos que no  2 uma reta passando pela origem é o conjunto de vetores múltiplos de um certo vetor fixo.

27 Teoria de Apreçamento de Ativos 27 Teorema Fundamental de Finanças  Já no  3, um plano passando pela origem, é o conjunto de vetores formado pela combinação linear de dois vetores não colineares.  Considere, primeiramente, uma economia sem incerteza (isto é, S = 1) com apenas um ativo (ativo sem risco) cujo preço é q. Logo M = {z(- q, 1)}. Isto é, M é uma reta passando pela origem.  Para que não exista arbitragem devemos ter q > 0. Portanto, existe uma semi-reta perpendicular a M passando pela origem situada no primeiro quadrante. Tomando o vetor dessa semi-reta com a primeira componente igual 1, (1, q), temos o vetor preço de estado, que no caso é q.

28 Teoria de Apreçamento de Ativos 28 -q-q Teorema Fundamental de Finanças 1 q 1 M (1, Vetor preço de estados)

29 Teoria de Apreçamento de Ativos 29 Teorema Fundamental de Finanças  Considere agora o caso de dois ativos e dois estados da natureza em t = 1. Suponha também que os ativos não são redundantes. Nesse caso, o espaço de transferência de renda M é: (-q 1 z 1 – q 2 z 2, X 1 (1)z 1 + X 2 (1)z 2, X 1 (2)z 1 + X 2 (2)z 2 ) = = z 1 (-q 1, X 1 (1), X 1 (2)) + z 2 (-q 2, X 2 (1), X 2 (2)) = plano formado pelos vetores (-q 1, X 1 (1), X 1 (2)) e (-q 2, X 2 (1), X 2 (2)).  Para que não haja arbitragem, esse plano não deve interceptar o primeiro octante. Portanto, existe um vetor (1,  1,  2 ) com as duas últimas componentes estritamente positivas perpendicular a esse plano. Logo (  1,  2 ) é vetor preço de estados.  Vejamos uma ilustração geométrica.

30 Teoria de Apreçamento de Ativos 30 Teorema Fundamental de Finanças (-q 1, X 1 (1), X 1 (2)) (-q 2, X 2 (1), X 2 (2)) (1,Vetor preço de estados)

31 Teoria de Apreçamento de Ativos 31 Mercados completos e vetor preços de estado  Observando a figura anterior, notamos que se os vetores (-q 1, X 1 (1), X 1 (2)) e (-q 2, X 2 (1), X 2 (2)) forem paralelos então eles não determinam um plano e sim uma reta. Logo existirá mais de um vetor perpendicular ao espaço de transferência de renda com todas as componentes positivas. Ou seja, as probabilidades neutras ao risco podem não ser únicas.  O problema surge pelo fato de que existem ativos redundantes, implicando que os mercados não são completos.  Exemplo: Suponha V = [1 2; 1 0; 1 1] e q = [0,8 0,5]. Logo qualquer vetor da forma (x, 0,3 + x, 0,5 – 2x) com 0 < x < 0,25 é vetor preço de estado.

32 Teoria de Apreçamento de Ativos 32 Mercados completos e vetor preços de estado  Claramente, a não unicidade do vetor preços de estado no exemplo anterior está relacionada a incompletude do mercado.  Por outro lado, se os mercados são completos e desprezando ativos redundantes temos que, se existe vetor preços, então esse vetor é único, uma vez que o sistema q´ = V´  tem uma só solução dada por  = V´ -1 q´.  Podemos então enunciar o seguinte resultado: Suponha que não existe arbitragem e os mercados são completos. Logo existe um único vetor preços de estado (e portanto, as probabilidades neutras ao risco são únicas).

33 Teoria de Apreçamento de Ativos Mercados completos e Pareto eficiência  Uma alocação de portfolios entre os agentes da economia é dita factível se a soma das dotações de todos os agentes ativo a ativo é igual a dotação inicial desses ativos na economia.  Uma alocação factível é dita Pareto eficiente se não existe outra alocação factível que melhore ao menos um agente sem prejudicar em nada os outros. Em outras palavras, a alocação é Pareto eficiente quando, para melhorar alguém temos que necessariamente que piorar outrem.  Teorema: Se os mercados são completos então a alocação de equilíbrio é Pareto eficiente.  Ou seja, os mercados funcionam! 33

34 Teoria de Apreçamento de Ativos Importância de mercados completos  Em finanças: Permite transferência de rendas entre quaisquer estados da natureza. A probabilidade neutra ao risco, quando existe, é única.  Em economia: A alocação de equilíbrio é Pareto eficiente. 34

35 Teoria de Apreçamento de Ativos Um pequeno resumo 35 Existe equilíbrio Não existe arbitragem Existem probabilidades neutras ao risco Significa que, dados os preços, os agentes escolhem suas carteiras maximizando suas utilidades. A demanda por ativos se iguala à oferta, são as “forças de mercado”. Não é possível ganhar dinheiro sem correr risco. O preço de qualquer ativo é o valor esperado, calculado nessas probabilidades, de seu payoff descontado. Se os mercados são completos (podemos transferir renda entre dois estados quaisquer da natureza), então as pnr, quando existem, são únicas.

36 Teoria de Apreçamento de Ativos O que acontece em economias mais gerais?  Em economias mais gerais tais como modelos multiperíodos e de tempo contínuo, os resultados anteriores, sob certas condições técnicas, permanecem verdadeiros.  Por exemplo, para que não arbitragem seja equivalente a neutralidade ao risco em modelos de tempo contínuo, temos que fazer algumas hipóteses.  Para esse curso, e também na maioria dos trabalhos de finanças empíricas, é admitido que essas hipóteses técnicas são verdadeiras.  Vamos ver exemplos de apreçamento em situações multiperíodos e de tempo contínuo. 36

37 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo multiperíodo  Nesse caso existem T + 1 datas: t = 0, 1,..., T. Negociações ocorrem em cada t.  Definir equilíbrio nesse caso é um pouco mais complicado. Porém a intuição é a mesma do caso mais simples de dois períodos: Dados os preços os agentes escolhem suas carteiras de modo a maximizar suas utilidades. As forças de mercado atuam sobre os preços de modo a garantir que a oferta de ativos seja igual a demanda.  Mais complicado do que definir equilíbrio é calcular os preços de equilíbrio. No entanto, muitas vezes podemos fazer uso das técnicas de não arbitragem e neutralidade ao risco. 37

38 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo multiperíodo  Um modelo multiperíodo muito interessante em termos práticos é a árvore binomial. Nesse caso, a evolução da economia é tal que, em cada t dado, só podem ocorrer dois estados da natureza em t + 1. Ou seja, a árvore binomial é um seqüenciamento de economias de dois períodos.  Exemplo: Considere uma ação que não paga dividendos com preço corrente igual a R$ 40,00. Ao final de cada mês o seu retorno (preço futuro/preço a vista) será de 1,25 ou 0,80 (preço segue um movimento binomial geométrico). A taxa de juros é de 6% a.a. Determine o preço de uma opção de compra européia sobre essa ação com strike igual a R$ 40,00 e prazo 3 meses. 38

39 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo multiperíodo 39 Árvore da ação

40 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo multiperíodo 40 Árvore da opção

41 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo de tempo contínuo  Neste caso podemos imaginar que o intervalo de tempo para o qual ocorrem mudanças no preços dos ativos tende a zero. Isto é, as negociações são realizadas continuamente.  Mais uma vez a definição de equilíbrio e a matemática tornam- se imensamente complicadas. No entanto, podemos ainda, sob certas condições, fazer uso da teoria anterior.  Um caso famoso de apreçamento em tempo contínuo é o modelo de Black & Scholes (BS). Esse modelo serve para apreçamento de opções de compra européia.  BS supõem que o preço do ativo objeto segue um movimento browniano geométrico. 41

42 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo de tempo contínuo  Isso significa que o retorno do ativo obedece a seguinte equação:  Esta indica como o preço da ação evolui ao longo do tempo: ele depende de uma componente determinística que gera um rendimento contínuo à taxa , e mais um termo estocástico que depende do movimento browniano (W), que devido à volatilidade constante, apresenta distribuição normal.  Usando estratégia de não arbitragem entre o ativo sem risco (taxa de juros igual a r) e a ação, é possível replicar o payoff da opção. O que implica no seguinte preço para a opção: 42

43 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo de tempo contínuo 43 Onde K é o strike da opção, c t é seu preço, T é a data de vencimento e N representa a distribuição normal padrão acumulada.

44 Teoria de Apreçamento de Ativos Modelo de tempo contínuo  Esse mesmo resultado pode ser obtido usando probabilidades neutras ao risco. No mundo neutro ao risco, o preço do ativo obedece a seguinte equação:  Portanto o preço da opção é  Calculando esse valor esperado chegaremos na fórmula de BS. 44

45 Teoria de Apreçamento de Ativos 45 Referências e leituras adicionais  Leroy, S. e J. Werner, 2000, Principles of Financial Economics, Caps. 1, 3 e 5.  Duffie, D., 2001, Dynamic Asset Pricing Theory, 3rd edition. Princeton University Press, Cap. 1, 2 e 5.