Análise de Regressão com Dados Espaciais: Uma Breve Introdução Análise Espacial de Dados Geográficos SER-301 - 2011.

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1 Análise de Regressão com Dados Espaciais: Uma Breve Introdução Análise Espacial de Dados Geográficos SER-301 - 2011

2 Material Elaborado por Virginia Ragoni, INPE Flávia Feitosa, INPE Revisado em 2010: Antônio Miguel V. Monteiro Revisado em 2011: Flávia Feitosa

3 Análise de Regressão Análise de regressão é uma ferramenta estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis tal que uma variável possa ser explicada (variável resposta/ dependente) pela outra ou outras (variáveis indicadoras/ preditoras/ explicativas/ independentes). Y = aX + b Exemplos? NETER J. et al. Applied Linear Statistical Models. Boston, MA: McGraw-Hill, 1996.

4 Objetivos da Análise de Regressão 1. Determinar como duas ou mais variáveis se relacionam. 2. Estimar a função que determina a relação entre duas variáveis. 3. Usar a equação para projetar/estimar valores futuros da variável dependente. Lembrete importante: A existência de uma relação estatística entre a variável resposta Y e a variável explicativa X não implica na existência de uma relação causal entre elas.

5 variável preditora Um modelo de regressão contendo somente uma variável preditora é denominado modelo de regressão simples. Modelos de Regressão variável preditora Um modelo com mais de uma variável preditora é denominado modelo de regressão múltiplo.

6 Regressão Linear Simples onde: Y i é o valor da variável resposta na i-ésima observação;  0 e  1 são parâmetros; X i é uma constante conhecida; é o valor da variável preditora na i-ésima observação;  i é um termo de erro aleatório com média zero e variância constante  2 (E(  i )=0 e  2 (  i )=  2 )  i e  j são não correlacionados (independentes) para i  j (  2 (  i,  j )= 0 )

7 Modelo de Regressão Linear YiYi ii X Y 0 0 11 Coeficiente angular  Y = E(Y) =  0 +  1 X Inclinação Populacional Intercepto Populacional Erro Aleatório Variável Preditora Variável Resposta Y i =  0 +  1 X i +  i Ŷ i =b 0 +b 1 X i  i =Y i -Ŷ i Modelo estimado Resíduo

8 coeficientes de regressão Os parâmetros  0 e  1 são denominados coeficientes de regressão: inclinação da reta de regressão 1.  1 é a inclinação da reta de regressão. Ela indica a mudança na média de Y quando X é acrescido de uma unidade. intercepto em Y da equação de regressão 2.  0 é o intercepto em Y da equação de regressão (é o valor de Y quando X = 0.)  0 só tem significado se o modelo incluir X = 0. Significado de  0 e  1 X 0

9 00  x x+1  x=1 yy y i =  0 +  1 xi  0 (intercepto); quando a região experimental inclui X=0,  0 é o valor da média da distribuição de Y em X=0, cc, não tem significado prático como um termo separado (isolado) no modelo;  1 (inclinação) expressa a taxa de mudança em Y, isto é, é a mudança em Y quando ocorre a mudança de uma unidade em X. Ele indica a mudança na média da distribuição de probabilidade de Y por unidade de acréscimo em X.  0 (intercepto); quando a região experimental inclui X=0,  0 é o valor da média da distribuição de Y em X=0, cc, não tem significado prático como um termo separado (isolado) no modelo;  1 (inclinação) expressa a taxa de mudança em Y, isto é, é a mudança em Y quando ocorre a mudança de uma unidade em X. Ele indica a mudança na média da distribuição de probabilidade de Y por unidade de acréscimo em X. Fonte: Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

10 Premissas 1) Distribuição Normal Para um valor fixo da variável aleatória X, Y é uma variável aleatória com distribuição Normal (com média e variâncias finitas); Yi ~ N(E(y/x); σ 2 ) 2) Linearidade Todos os valores médios de Y (E(y/x)=μ Y/x ) permanecem sobre uma reta, para um particular valor de X. E(y/x)=μ y/x =  0 +  1 x

11 Premissas 3) Independência Os valores de Y i e Y j são estatisticamente independentes. 4) Homocedasticidade A variância de Y é igual, qualquer que seja X.

12 A figura mostra a distribuição de Y para vários valores de X. Mostra onde cai a observação Y 1. Mostra que o erro é a diferença entre Y 1 e E(Y 1 ). Observe que as distribuições de probabilidade apresentam a mesma variabilidade. Modelos de Regressão Fonte: Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

13 Resumo da situação: para qualquer valor X i, a média de Y i é  i =  0 +  1 X i. As médias estão sobre a linha reta para todos os valores de X. Devido aos erros aleatórios, os valores de Y i se distribuem ao redor da reta. Fonte: Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

14 Regressão Linear Múltipla Y i =  0 +  1 X i1 +  2 X i2 +…+  p X ip +  i Y i é o valor da variável resposta na i-ésima observação  0, …,  p são parâmetros X i1,…,X ip são os valores das variáveis preditoras na i-ésima observação  i é um termo de erro aleatório com distribuição normal, média zero e variância constante  2 (E(  i )=0 e  2 (  i )=  2 )  i e  j são não correlacionados (independentes) para i  j

15 00 Plano de resposta (1,33;1,67) E(Y i ) = 20,00 YiYi ii Fonte: Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html Superfície de Resposta Superfície de Resposta: Função de Regressão na Regressão Linear Múltipla

16 O parâmetro  0 é o intercepto do plano de regressão. Se a abrangência do modelo inclui X 1 =0 e X 2 =0 então  0 =10 representa a resposta média E(Y) neste ponto. Em outras situações,  0 não tem qualquer outro significado como um termo separado no modelo de regressão. Significado dos Coeficientes de regressão:  0,  1,  2,..,  p Fonte: Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

17 O parâmetro  1 indica a mudança na resposta média E(Y) por unidade de acréscimo em X1 quando X2 é mantido constante. Da mesma forma  2 indica a mudança na resposta média por unidade de aumento em X2 quando X1 é mantido constante. Significado dos Coeficientes de regressão:  0,  1,  2,..,  p Fonte: Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

18 variáveis preditoras efeito aditivonão interagem Quando o efeito de X1 sobre a resposta média não depende de X2 e vice-versa, e assim, para cada X de [1 a p], dizemos que as variáveis preditoras tem efeito aditivo ou não interagem. um modelo de primeira ordem sem interação Se temos somente X1 e X2 por exemplo, dizemos que temos um modelo de primeira ordem sem interação. Significado dos Coeficientes de regressão:  0,  1,  2,..,  p Fonte: Adaptado de Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

19 Outros modelos de regressão Modelo quadrático ou de 2º grau Não é uma linha reta, mas permanece linear nos parâmetros  mesmos métodos são aplicáveis Pode ser linearizado: X 2 = (X 1 ) 2 Fonte: Adaptado de Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

20 Outros modelos de regressão Modelo não linear nos parâmetros Necessita de métodos para modelos não- lineares Fonte: Adaptado de Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html Modelo de crescimento logístico (X=tempo)

21 Superfície de Resposta Fonte: Adaptado de Slide de Paulo José Ogliari, Informática, UFSC. Em http://www.inf.ufsc.br/~ogliari/cursoderegressao.html

22 Estimação dos parâmetros Em geral não se conhece os valores de  0 e  1. Eles podem ser estimados através de dados obtidos por amostras. O método utilizado na estimação dos parâmetros é o método dos mínimos quadrados, o qual considera os desvios dos Y i de seu valor esperado (E(Y i )):  i = Y i – (  0 +  1 X i )

23 Estimação dos parâmetros Em particular, o método dos mínimos quadrados requer que a soma dos n desvios quadrados, denotado por Q, seja mínima:

24 Estimação dos parâmetros Para minimizar Q (soma dos desvios quadrados): (1) Q deve ser derivado em relação a  0 e  1: (2) Com derivadas parciais igualadas à zero, obtêm-se os valores estimados de  0 e  1 :

25 -- ++ 0 t 1-  /2;n-2 t n-2 -t 1-  /2;n-2  /2 Inferência 1. Construir intervalos de confiança para : 2. Teste de hipótese para : Se = 0, significa que não há correlação entre X e Y. Rejeitar, significa que o modelo que inclui X é melhor do que o modelo que não inclui X mesmo que a linha reta não seja a relação mais apropriada. Testando se a inclinação é zero.

26 Inferência 1. Construir intervalos de confiança para : Média: Variância estimada: Distribuição da estatística studentizada (σ é desconhecido) Intervalo de confiança

27 Inferência 2. Teste estatístico formal: feito de maneira padrão usando a distribuição de Student -- ++ 0 t 1-  /2;n-2 t n-2 -t 1-  /2;n-2  /2

28 Inferência Se a hipótese nula = 0 não for rejeitada, pode- se excluir a constante do modelo, já que a reta inclui a origem. De forma semelhante testa-se é zero

29 Análise de Variância da Regressão

30 Inferência: Análise de Variância Elevando-se ao quadrado os dois lados da igualdade e fazendo-se a soma para todas as observações de uma determinada amostra tem-se que: Soma de quadrados total (SQT) Soma de quadrados devido ao modelo (SQM) Soma de quadrados devido aos resíduos (SQR) Desvio Total Desvio Explicado pelo Modelo Desvio Não-explicado pelo Modelo

31 Particionando a soma dos quadrados Se SQT=0, então todas as observações Y são iguais. Quanto maior for SQT, maior será a variação entre os Y´s. SQT é uma medida da variação dos Y´s quando não se leva em consideração a variável independente X. Se SQR = 0, então as observações caem na linha de regressão. Quanto maior SQR, maior será a variação das observações Y ao redor da linha de regressão. Se a linha de regressão for horizontal, de modo que então SQM = 0.

32 SQT = SQM + SQR. Um modo de se saber quão útil será a linha de regressão para a predição é verificar quanto da SQT está na SQM e quanto está na SQR. Idealmente, gostaríamos que SQM fosse muito maior que SQR. Gostaríamos, portanto, que fosse próximo de 1. Particionando a Soma de Quadrados

33 Coeficiente de determinação Uma medida do efeito de X em reduzir a variabilidade do Y é: Note que: 0  R 2  1 R 2 é denominado coeficiente de determinação. Em um modelo de regressão simples, o coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação (r) entre Y e X. Note que em um modelo de regressão simples

34 Coeficiente de determinação Temos dois casos extremos: 1. R 2 = 1 todas as observações caem na linha de regressão ajustada. A variável preditora X explica toda a variação nas observações. 2. R 2 = 0 isto ocorre quando b 1 = 0. Não existe relação linear em Y e X. A variável X não ajuda a explicar a variação dos Y i.

35 Tabela ANOVA - F Graus de Liberdade (df) Soma dos quadrados (SQ) Quadrado médio QM=SQ/df Razão da variância Regressão(X) Residuo 1 (p-1) 28 (n-p) SQT-SQR= SQM= 6394.02 SQR=8393.44 6394.02 (QMM odelo ) 299.77 (QMR esíduo ) 21.33(p<0.001) Total29 (n-1)SQT = 14787.46

36 Inferência – Teste F (Adequação Global) onde F c ~ F p-1, n-p Se F * > F(  ; p-1,n-p), rejeitamos a hipótese nula, caso contrário, aceitamos a hipótese.

37 Inferência – Teste F Parcial Compara um modelo reduzido com um modelo completo Ha: X* melhora significativamente a predição de Y, dado que X 1, X 2,...X p já estão no modelo Modelo completo Y =  0 +  1 X 1 +...  p X p +  *X* Modelo reduzido Y =  0 +  1 X 1 +...  p X p Compara as somas de quadrados dos erros do modelo completo (SQR(C)) e reduzido (SQR(R)). O modelo reduzido é adequado (não rejeita H 0 ) se SQR(C) não for muito menor que (SQR(R))

38 Etapas da Análise de Regressão 1. Seleção e preparação das variáveis  Transformações podem ser necessárias  para linearizar relações  Analisar multicolinearidade  aumenta DP dos coeficientes estimados ) 2. Escolha e ajuste do modelo de regressão 3. Diagnóstico para verificar se o modelo ajustado é adequado

39 Análise dos Resíduos Se modelo for adequado, resíduos devem refletir as propriedades impostas pelo termo de erro do modelo.  Linearidade do modelo Não Linearidade 0 X Resíduo

40 Análise dos Resíduos  Normalidade dos resíduos: Suposição essencial para que os resultados do ajuste do modelo sejam confiáveis Outros diagnósticos: Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Kolmogorov-Smirnov

41 Análise dos Resíduos  Homocedasticidade (variância constante) Gráfico resíduos vs. valores ajustados 0 X Variância Não Constante Resíduo Outros diagnósticos: Teste de Breusch-Pagan, Goldfeld-Quandt

42 Análise dos Resíduos  Presença de outliers Gráfico resíduos padronizados vs. valores ajustados Pontos influentes: DFFITS, DFBETA, Distância de Cook

43 Análise dos Resíduos  Independência X 0 Erros Correlacionados Resíduo Outros diagnósticos: Teste de Durbin-Watson Autocorrelação espacial: Mapa dos resíduos, Índice de Moran

44 Análise dos Resíduos Modelo Adequado 0 Resíduo X

45 Análise dos Resíduos DADOS ESPACIAIS Caso a hipótese de independência das observações seja Falsa  Dependência Espacial Efeitos Espaciais Se existir forte tendência ou correlação espacial, os resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice- versa).

46 Análise dos Resíduos Como verificar? resíduos da regressão resíduos Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da regressão (ex. Índice de Moran dos resíduos)

47 Exemplo São José dos Campos Crescimento Populacional 91-00 X Densidade Populacional 91 1. Mapear os resíduos da regressão – índícios de correlação 2. Índice de Moran sobre mapa de resíduos I=0,45 3. Testes de pseudo- significância indicam autocorrelação espacial

48 Autocorrelação Espacial Constatada!!! As observações não são independentes espacialmente. Portanto... temos uma violação das nossas premissas (violação do MMQ). Dependendo da natureza da dependência, parâmetros estimados por mínimos quadrados será ineficiente ou inconsistente. E agora? regressão que incorporam efeitos espaciais Modelos de regressão que incorporam efeitos espaciais

49 Regressão Espacial Incorpora a estrutura de dependência espacial no modelo PREMISSA: Assumimos que conhecemos a estrutura de dependência espacial (ela não é estimada) Premissa forte? Sim! Porém não tão forte quanto assumir que todas as observações são independentes espacialmente Matrizes de ponderação tipicamente consideradas: contiguidade (queen, rook...) ou distância (k vizinhos mais próximos...)

50 Regressão Espacial Podem ser globais ou locais Globais: inclui no modelo de regressão um parâmetro/elemento para capturar a estrutura de autocorrelação espacial Locais: parâmetros variam continuamente no espaço

51 Global vs. Local GlobalLocal Estatísticas dizem respeito à região como um todo (1 valor) Disagregações locais das estatísticas globais (Muitos valores) Estatísticas globais e não mapeáveis Estatísticas locais e mapeáveis Ênfase nas similaridades da região Ênfase nas diferenças ao longo do espaço Procura regularidades ou “leis”Procura por exceções ou “hot- spots” locais Ex.: Regressão Clássica, Spatial Lag, Spatial Error Ex.: GWR, Regimes Espaciais Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.

52 Modelos com Efeitos Espaciais Globais Premissa: É possível capturar a estrutura de correlação espacial num único parâmetro (adicionado ao modelo de regressão).Alternativas: Spatial Autoregressive Modeling Spatial Lag Models (SAR): atribuem a autocorrelação espacial à variável resposta Y. ( Spatial Autoregressive Modeling ) Conditional Autoregressive Modeling) Spatial Error Models (CAR): atribuem a autocorrelação ao erro. ( Conditional Autoregressive Modeling)

53 Spatial Lag Model (LAG) Hipótese a variável Y i é afetada pelos valores da variável resposta nas áreas vizinhas a i: Y =  WY + X  +  coeficiente espacial autoregressivo  = coeficiente espacial autoregressivo - medida de correlação espacial  = 0, se autocorrelação é nula (hipótese nula) W = matriz de proximidade espacial WY expressa a dependência espacial em Y Exemplo: Valor dos imóveis

54 Spatial Error Model (CAR) Hipótese: As observações são interdependentes graças a variáveis não mensuradas, e que são espacialmente correlacionadas Ou seja: efeitos espaciais são um ruído Por que ele ocorre? Porque não conseguimos modelar todas as características de uma unidade geográfica que podem influenciar as regiões vizinhas. Assume que, se pudéssemos adicionar as variáveis certas para remover o erro do modelo, o espaço não importaria mais.

55 Spatial Error Model (CAR) Modelo: Y = X  +   =  W  + ξ erro com efeitos espaciais W  = erro com efeitos espaciais  = medida de correlação espacial ξ = componente do erro com variância constante e não correlacionada.

56 Spatial Lag Model X Spatial Error Model Diagnóstico: Testes Multiplicadores de Langrange (Langrange Multiplier Tests, Anselin et al. 1996)  Executa regressão dos resíduos em relação às variáveis originais e aos resíduos das áreas vizinhas  LM-Lag: testes para dependência em relação às variáveis originais nas áreas vizinhas – lag dependence /missing error  LM-Error: testes para dependência em relação aos resíduos nas áreas vizinhas - error dependence / missing lag Auxilia na escolha de um modelo ou outro !

57 Spatial Lag Model X Spatial Error Model Motivações diferentes, porém próximos em termos formais. Premissa: processo espacial analisado é estacionário e pode ser capturado em um único parâmetro.

58 Spatial Lag Model X Spatial Error Model Porém isto nem sempre é verdade! Verificar se padões diversos de associação espacial estão presentes. Uma Solução Exploratória: Indicadores Locais de Autocorrelação Espacial

59 distribuição dos valores de correlação local para o índice de exclusão Não significantes p = 0.05 [ 95% (1,96  ) ] p = 0.01 [ 99% (2,54  ) ] p = 0.001 [ 99,9% (3,2  ) ] % Exclusão Indicadores Locais de Variabilidade Espacial

60 Modelos com Efeitos Espaciais Locais Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Discretos Variações espaciais modeladas de maneira discreta. Regimes Espaciais Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Contínuos Variações espaciais modeladas de forma contínua, com parâmetros variando no espaço. “Geographically Weighted Regression” – GWR. [Regressão Geograficamente Ponderada] Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)

61 Regimes Espaciais regionalizar A idéia é regionalizar a área de estudo obtendo sub- regiões com seu padrão próprio. regressões separadas Realizar regressões separadas para cada sub-região. variáveis preditoras Utilizam-se variáveis preditoras para classificar os subconjuntos para Ind =1 para Ind=2 para Ind=3 Esses valores são estimados conjuntamente em um modelo de regressão usando as variáveis preditoras

62 Regimes Espaciais Regionalizações da área de estudo Diferentes tipos de variabilidade espacial Métricas: Diagrama de espalhamento e índices locais e globais – regionalização tipo k- medias espacial Ex: Regimes espaciais para índice de exclusão

63 Regimes Espaciais x Regiões Administrativas

64 Impacto de Regimes Espaciais Análise de Regressão Idosos = f ( Domicílios Sem Esgoto) Regressão Linear R 2 = 0,35 Regressão Espacial Regiões Adm (R 2 = 0,72) Regimes Espaciais (R 2 = 0,83) Para dados socioeconômicos: modelo de regimes espaciais tende a apresentar resultados melhores que os de regressão simples ou de regressão espacial com efeitos globais.

65 Diagnóstico de modelos de efeitos espaciais 1. Análise gráfica dos resíduos 2. Mapear os resíduos 2. Mapear os resíduos – concentração de resíduos negativos ou positivos em parte do mapa indica presença de autocorrelação espacial 3. Índice de Moran dos resíduos 4. Indicadores de qualidade de ajuste dos modelos baseados no coeficiente de determinação (R 2 ) serão incorretos. AIC – critério de informação de Akaike 5. Utilização do AIC – critério de informação de Akaike, a avaliação do ajuste é penalizada por função do # de parâmentros

66 Comparação das regressões para SP Longevidade X renda Regressão simples Spatial Lag Regimes espaciais (3) R 2 ajustado 0.2800.5860.80 Log verossimilhança (LIK) -187.92-150.02-124.04 AIC379.84306.51260.09 Indice Moran dos resíduos 0.6200.020

67 GWR – Geographically Weighted Regression Ajusta um modelo de regressão a cada ponto observado, ponderando todas as demais observações como função da distância a este ponto. Y(s) =  (s)X +  Y(s): variável que representa o processo no ponto s.  (s): parâmetros estimados no ponto s. Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)

68 y = b 0 + b 1 x 1 + e  regressão simples com um preditor b 0, b 1 é o mesmo para toda área Se existe alguma variação geográfica na relação essa variação fica incluída como erro. GWR – Geographically Weighted Regression

69 GWR y(u,v) = b 0 (u,v) + b 1 (u,v) x 1 + e(u,v)  GWR b 0 (u,v), b 1 (u,v)  para cada ponto do espaço há um b 0 e b 1 diferentes kernel) Existe uma função (kernel) sobre cada ponto do espaço que determina todos os pontos da regressão local que é poderada pela distância. Pontos mais próximos do ponto central tem maior peso. kernel Assim como no kernel – a escolha da largura da banda é importante (pode ser fixa ou adaptável à densidade dos dados) GWR – Geographically Weighted Regression

70 Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley. LARGURA DE BANDA FUNÇÃO DE PONDERAÇÃO

71 Modelos locais vs. Modelos Globais Mesmas técnicas de análise do ajuste do modelo, porém comparação é problemática GWR apresentará sempre melhores ajustes pois envolve o ajuste de muito mais parâmetros Sugestão: medida AIC, que leva em consideração a complexidade do modelo. Ajuste do Modelo GWR

72 GWR – Geographically Weighted Regression Os parâmetros podem ser apresentados visualmente para identificar como se comportam espacialmente os relacionamentos entre as variáveis. Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora)

73 GWR – Geographically Weighted Regression Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora) Mapa de resíduos (I = 0,04) :

74 GWR – Geographically Weighted Regression Outros modelos GWR Regressão Poisson (GWPR) Regressão Logística (GWLR)

75 Softwares para o Curso Com R, aRT + TerraView É possível testar tudo que vimos nestes slides! Um tutorial está disponível na Wiki R-Spatial Project: http://cran.r-project.org/web/views/Spatial.html

76 Outros Tutoriais Spatial Regression Analysis: A Workbook (Luc Anselin): http://geodacenter.asu.edu/system/files/rex1.pdf http://geodacenter.asu.edu/system/files/rex1.pdf Fitting and Interpreting Spatial Regression Models: An Applied Survey (Roger Bivand): http://www.nek.lu.se/ryde/NordicEcont09/Papers/bivand.pdf http://www.nek.lu.se/ryde/NordicEcont09/Papers/bivand.pdf Spatial Econometrics functions in R: Classes and Methods: http://www.springerlink.com/content/xkmdbdk9jtfwbg9v/ http://www.springerlink.com/content/xkmdbdk9jtfwbg9v/ Introduction to Geographically Weighted Regression (GWR) and to Grid Enabled GWR (Daniel Grose, Chris Brunsdon, Richard Harris): http://www.esrc.ac.uk/my- esrc/grants/RES-149-25-1041/outputs/Read/d68adfdb-50d5-4104- 882e-a7028549ee37 http://www.esrc.ac.uk/my- esrc/grants/RES-149-25-1041/outputs/Read/d68adfdb-50d5-4104- 882e-a7028549ee37 http://www.esrc.ac.uk/my- esrc/grants/RES-149-25-1041/outputs/Read/d68adfdb-50d5-4104- 882e-a7028549ee37

77 Softwares Específicos São Sw Livres disponíveis na WEB GeoDa Índice de Moran, LISA maps, Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) SPRING e Terraview Índice de Moran, LISA map CrimeStat Índices de Autocorrelação, Taxas e Regressões SAM (Spatial Analysis in Macroecology, www.ecoevol.ufg.br/sam ) Índices de Autocorrelação, Taxas e Regressões (inclui GWR) Rangel, T.; Diniz-Filho, J; Bini, L. (2010) SAM: a comprehensive application for Spatial Analysis in Macroecology. Ecography, 33:46-50 Não é Livre: Não é Livre: GWR 3.0 Regressão Clássica e Espacial (GWR) Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.