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Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Curso de Estatística Laís Araújo Lopes de Souza Laís Araújo Lopes de Souza Samantha Faasen.

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Curso de Estatística Laís Araújo Lopes de Souza Laís Araújo Lopes de Souza Samantha Faasen Samantha Faasen Vagner Júnio Ferreira Vagner Júnio Ferreira Prof.: Glaura Franco Prof.: Glaura Franco Belo Horizonte, 11 de junho de 2012.

2 Roteiro o Regressão Múltipla o Resíduos o Resíduos Estudentizados o Ajuste do Modelo o Exemplo o Bootstrap nos resíduos o Algoritmo Bootstrap resíduos o ANOVA o Gráficos o Coeficientes o Exercício o Bibliografia

3 Regressão Múltipla o Técnicas estatísticas para construir modelos que descrevem de maneira razoável relações entre várias variáveis explicativas de um determinado processo. o Alguns objetivos: Descrever a relação entre variáveis para entender um processo ou fenômeno Prever o valor de uma variável a partir do conhecimento de outras variáveis Substituir a medição de uma variável pelo conhecimento de outras variáveis Controlar os valores de uma variável em uma faixa de interesse

4 Regressão Múltipla o Modelo o valores das variáveis explicativas, isto é, constantes desconhecidas o são parâmetros ou coeficientes da regressão o erro aleatório do modelo, com média zero e variância

5 Suposições do Modelo Suposições: i) O erro tem média zero e variância desconhecida ii) Os erros são não correlacionados iii) Os erros têm distribuição normal iv) As variáveis regressoras assumem valores fixos

6 Significado dos coeficientes de regressão o O parâmetro 0 é o intercepto do plano de regressão o O parâmetro 1 indica a mudança na resposta média E(Y) por unidade de acréscimo em X 1 quando X 2 é mantido constante. Da mesma forma 2 indica a mudança na resposta média por unidade de aumento em X 2 quando X 1 é mantido constante e assim sucessivamente

7 7 Modelo de regressão linear múltipla em termos matriciais Modelo de regressão linear múltipla em termos matriciais A expressão do modelo linear geral de regressão é dada por: Em termos matriciais, precisamos definir:

8 8 Em termos matriciais, o modelo de regressão linear geral é dado por : é um vetor de variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com esperança (média), E( )=0 e matriz de variância- covariância dada por: Assim, o vetor das observações Y tem esperança e variância dadas por: = 2 I

9 Resíduos o Diagnóstico para a variável resposta é realizado através de uma análise de resíduos. Os resíduos são definidos como: o Os resíduos podem ser considerados como erros observados, para distingui-los do erro verdadeiro desconhecido i no modelo de regressão:

10 Resíduos o Para o modelo de regressão, temos a seguinte pressuposição: o Se o modelo é adequado, os resíduos devem refletir essas propriedades

11 Propriedades dos resíduos o Média o Variância o Se o modelo está adequado, o QME é um estimador não tendencioso da variância do erro

12 Propriedades dos resíduos o Os resíduos não são variáveis aleatórias independentes pois eles envolvem os valores os quais são baseados na mesma equação de regressão o Quando o tamanho da amostra é grande, o efeito de dependência entre os resíduos é relativamente sem importância e pode ser ignorado.

13 Resíduos Estudentizados Vantagens o Os resíduos estudentizados tem variâncias constantes e iguais a 1, o que consequentemente torna muito prática a procura por outliers o Apropriado para verificar normalidade dos erros e homogeneidade Desvantagem o Dificuldade de detectar violações do modelo, uma vez que esses resíduos são menores

14 Ajuste do Modelo o Análise Gráfica dos Resíduos o 1. Gráfico dos resíduos versus variáveis preditoras o 2. Gráfico dos resíduos absolutos ou quadráticos versus variáveis preditoras o 3. Gráficos dos resíduos versus valores ajustados (estimados) o 4. Gráfico normal de probabilidades dos resíduos. o Testes Estatísticos

15 Exemplo o Dados referentes à doença de Chagas o Variável resposta - Prazo para chegar ao hospital o Variáveis explicativas – Tempo e Distância Modelo:

16 Bootstrap nos resíduos o 1- Ajustar o modelo e reter os valores ajustados e os resíduos, i=1,...,n. o 2- Para cada par na qual x é a variável explicativa (possivelmente multivariada)adicionar um resíduo reamostrado residual, para a variável resposta aleatoriamente.Em outras palavras, criar variáveis respostas sintéticas, para a variável resposta,, onde j é selecionado aleatoriamente a partir da lista para cada i. o 3- Volte a colocar o modelo usando as variáveis de resposta fictícios e manter as quantidades de interesse (muitas vezes os parâmetros estimada a partir dos sintéticos ). o 4- Repetir os passos 2 e 3 um número estatisticamente significativo de vezes.

17 Algoritmo Bootstrap resíduos

18 ANOVA

19 Diagrama de Dispersão

20 Gráfico resíduos versus valores ajustados o Homocedasticidade isto é, constante

21 Gráfico resíduos Estudentizados versus valores ajustados o Homocedasticidade

22 Gráfico resíduos versus Casos o Independência

23 Gráfico resíduos Estudentizados versus Casos o Independência

24 Gráfico resíduos versus Distância o Independência

25 Gráfico resíduos Estudentizados versus Distância o Independência

26 Gráfico de Probabilidade Normal dos resíduos o Resíduos Normais

27 Gráfico de Probabilidade Normal dos resíduos Estudentizados o Resíduos não Normais

28 Teste de Normalidade Resíduos

29 Teste de Normalidade resíduos Estudentizados

30 Coeficientes

31 Exercício o Realize o Bootstrap conforme o procedimento descrito anteriormente e calcule o vício dos parâmetros.

32 Bibliografia o Chernick, M. R., Labudde, R. A., An Introduction to Bootstrap Methods with Applications to R. John Willey and Sons o Efron B, Tibshirani R An Introduction to the bootstrap. New York: Chapman and Hall


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