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EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear EE-240 Análise de Tendência: Regressão Linear.

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1 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear EE-240 Análise de Tendência: Regressão Linear

2 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Sir Francis Galton ( ) Antropólogo e meteorologista britânico. Regression towards mediocrity in hereditary stature. Journal of the Anthropological Institute, v. 15, pp , A altura dos filhos tende a ser aproximar da média da população (regressão à média). Atualmente, a palavra regressão não é mais empregada com esse sentido.

3 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Cenário considerado A tendência é significativa ? Qual é o tempo predito de falha t f ? Índice associado à degradação Tempo, ou Stress Acumulado

4 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Cenário considerado A tendência é significativa ? Qual é o tempo predito de falha t f ? Índice associado à degradação Tempo, ou Stress Acumulado

5 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Cenário considerado A tendência é significativa ? Qual é o tempo predito de falha t f ? Índice associado à degradação Tempo, ou Stress Acumulado tftf

6 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Cenário considerado tftf

7 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Índice de degradação Tempo Coeficiente linear (intercept) Coeficiente angular (slope) Ruído (discrepância com relação à reta)

8 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Método de Mínimos Quadrados Notação: Valores observados:

9 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear

10 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear A reta ajustada passa no centróide do conjunto de pontos (t i, y i ): Os resíduos e i têm média zero:

11 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Os resíduos não são correlacionados com o tempo:

12 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Exemplo

13 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Exemplo

14 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Exemplo

15 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear REGRESS Multiple linear regression using least squares. b = REGRESS(y,X) returns the vector of regression coefficients, b, in the linear model y = Xb, (X is an nxp matrix, y is the nx1 vector of observations). >> t = [ ]' y = [ ]' X = [ones(5,1) t] b = regress(y,X) b = Exemplo

16 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Formulação Matricial:

17 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear >> t = [ ]' >> y = [ ]' >> X = [ones(5,1) t] >> inv(X'*X)*X'*y ans =

18 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Análise de Variância (.) 2

19 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Sum of squares about the mean S YY Dispersão dos valores de degradação observados

20 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Sum of squares due to regression SS Reg Dispersão associada ao aumento da degradação (tendência)

21 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Sum of squares about regression (Residual Sum of Squares RSS) Dispersão não explicada pelo modelo de tendência

22 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear RSS Sum of Squares about the mean S YY = Sum of Squares due to regression SS Reg + Residual Sum of Squares RSS SYYSYY SS Reg Um índice muito utilizado para avaliar a qualidade da reta ajustada é o coeficiente de determinação R:

23 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear RSS SYYSYY SS Reg Se a reta ajustada passasse por todas as observações, a soma quadrática dos resíduos RSS seria zero (caso ideal). Se o modelo descrever adequadamente o comportamento dos dados, espera-se que RSS seja pequeno. Formalmente, para que a tendência linear seja considerada significativa, RSS deve ser significativamente menor que SS Reg (teste de hipótese).

24 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Graus de Liberdade Se houvesse apenas n = 2 observações, o ajuste sempre seria perfeito (RSS = 0): Faltam graus de liberdade (degrees of freedom - df) para verificar a qualidade do modelo. Ajuste Excelente? Graus de liberdade (df) = No. observações (n) – No. parâmetros ajustados

25 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear RSS SYYSYY SS Reg Somas de quadrados devem ser comparadas levando-se em conta os graus de liberdade associados. Para isso, podem-se usar médias quadráticas: Mean Square = Sum of Squares / Degrees of Freedom (MS = SS / df)

26 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear RSS SYYSYY SS Reg

27 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear A significância da regressão (isto é, da tendência linear da degradação observada) pode ser avaliada comparando-se MS Reg e s 2

28 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear i ~ N(0, 2 ) i não correlacionado com j (i j) Pode-se mostrar que: Assumindo: Se 1 = 0 (i.e. se não houver tendência linear) a razão segue uma distribuição F com 1 e (n – 2) graus de liberdade:

29 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Teste F para Significância da Regressão Hipótese nula H 0 : 1 = 0 (não há tendência linear) Hipótese alternativa H 1 : 1 0 Se F > F crit = F 1– (1, n – 2), pode-se rejeitar a hipótese nula com 100 (1 – ) % de confiança. F crit n = 11, = 0.2 F crit = 1.91

30 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear

31 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear >> X = [ones(n,1) t] >> b = inv(X'*X)*X'*y >> yhat = X*b >> ybar = mean(y) >> SYY = (y - ybar)'*(y-ybar) >> SSReg = (yhat -ybar)'*(yhat - ybar) >> R2 = SSReg/SYY >> MSReg = SSReg >> RSS = (y - yhat)'*(y - yhat) >> s2 = RSS/(n-2) >> F = MSReg/s2 >> alpha = 0.05 >> Fcrit = finv(1-alpha,1,n-2) >> p = 1 - fcdf(F,1,n-2)

32 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear n = 11 S YY = 135 SS Reg = MS Reg = 109 R 2 = SS Reg /S YY = 0.81 RSS = 25 s 2 = RSS/(n – 2) = 2.8 F = MS Reg /s 2 = 39 = 0.05 F crit = 5.1 p = Tendência Significativa

33 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear n = 11 S YY = 3370 SS Reg = MS Reg = 849 R 2 = SS Reg / S YY = 0.25 RSS = 2520 s 2 = RSS/(n – 2) = 280 F = MS Reg /s 2 = 3.0 = 0.05 F crit = 5.1 p = 0.12 Tendência Não Significativa

34 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Intervalos de confiança para 0 e 1 Sob as hipóteses usuais, pode-se mostrar que: Estimativas não-polarizadas Variância aumenta com 2 e diminui com n e S TT ou seja, a precisão das estimativas melhora com: i) redução no ruído ii) aumento da quantidade de dados coletados iii) aumento no timespan da coleta de dados

35 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Intervalos de confiança para 0 e 1 Sob as hipóteses usuais, pode-se mostrar que: Na prática, não se conhece o valor de e, em seu lugar, pode-se usar a seguinte estimativa:

36 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Erro-padrão de b 0 e b 1 :

37 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Empregando-se os erros-padrão de b 0 e b 1 (i.e. usando s no lugar de ), os intervalos de confiança são dados com base em valores críticos da distribuição T de Student. x p(x)p(x)

38 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Com 100 (1 – ) % de confiança, 0 e 1 encontram-se entre os seguintes limites: >> s = sqrt(s2) >> tbar = mean(t) >> STT = (t - tbar)'*(t - tbar) >> sb0 = s*sqrt(1/n + tbar^2/STT) >> sb1 = s/sqrt(STT) >> Tcrit = tinv(1-alpha/2,n-2) >> b0_min = b0 - sb0*Tcrit >> b0_max = b0 + sb0*Tcrit >> b1_min = b1 - sb1*Tcrit >> b1_max = b1 + sb1*Tcrit

39 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Exemplo b 0 :[ , ] b 1 :[0.6369, ] Valores usados para gerar este exemplo: 0 = 3 1 = 0.8

40 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Estimação do RUL

41 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear t f estimado Estimação do RUL

42 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear = 0.05 Estimação do RUL

43 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Intervalo de confiança para t f Estimação do RUL

44 EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear Muito Obrigado!


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