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Modelos 2D/3D Estimativa por Técnicas de Krigagem Eng. de Minas João Felipe C.L. Costa Prof. Dr. do DEMIN/PPGEM, UFRGS Eng. de Minas Luis Eduardo de Souza.

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1 Modelos 2D/3D Estimativa por Técnicas de Krigagem Eng. de Minas João Felipe C.L. Costa Prof. Dr. do DEMIN/PPGEM, UFRGS Eng. de Minas Luis Eduardo de Souza Doutorando do PPGEM, UFRGS

2 Introdução Introdução Objetivos Objetivos Interpoladores clássicos Interpoladores clássicos Mecanismo de interpolação Mecanismo de interpolação Estimativas por combinação linear ponderada Estimativas por combinação linear ponderada Krigagem Krigagem Krigagem Simples (KS) Krigagem Simples (KS) Variância de Krigagem Simples Variância de Krigagem Simples Krigagem Ordinária (KO) Krigagem Ordinária (KO) Estrutura da Apresentação

3 Ao contrário dos últimos módulos apresentados, puramente descritivos, as técnicas que serão abordadas daqui em diante envolvem estimativas. Nosso principal objetivo passa a ser não mais meramente descrever as características estatísticas ou de continuidade espacial de nosso banco de dados, mas utilizar a informação fornecida pelas amostras para prever valores em áreas não amostradas. Dentre os vários tipos de estimadores disponíveis, será dada ênfase àqueles que fazem uso das medidas de continuidade espacial previamente obtidas, comumente conhecidas como técnicas de krigagem. Introdução

4 Algumas das principais técnicas de krigagem são apresentadas, cada uma delas útil para um tipo particular de problema. Dessa forma, se torna importante compreender que tipo de método é aplicável para que tipo de problema. Nesse sentido, algumas questões básicas precisam ser respondidas, antes de selecionar a técnica de estimativa mais apropriada: i. Queremos uma estimativa global ou local? ii. Nosso objetivo é estimar apenas a média ou a distribuição completa dos dados? iii. Queremos estimar valores pontuais ou blocos?

5 Determinar o valor do atributo z em posições u do espaço não amostradas z(u)? Objetivos

6 Interpolação Atribuição de pesos para as amostras (weighted average interpolation algorithms); Pesos entre 0.0 e 1.0, sendo que o somatório dos pesos deve ser 1.0; Quanto mais perto um dado estiver de um nó do grid, maior seu peso.

7 Diferentes técnicas disponíveis: Polígonos: define zonas/áreas de influência, sendo o peso dado de acordo com a área que corresponde a cada amostra; Inverso da distância: valor estimado a partir de combinações lineares dos dados vizinhos, com o peso dado pela distância que separa as amostras; Spline: polinomiais de uma dada ordem que melhor se ajustam aos dados de forma suavizada. Interpoladores clássicos

8 Desvantagens Desvantagens dos métodos clássicos: não consideram o suporte amostral; não consideram o padrão de variabilidade espacial; não fornecem medida do erro da estimativa. Vantagens Vantagens dos métodos clássicos: simples; intuitivos; facilmente implementáveis em rotinas computacionais. ???

9 A idéia básica é estimarmos um atributo qualquer em uma posição usando: onde u refere-se a uma localização qualquer Z*(u) é o valor estimado nessa localização u, onde existem n dados Z(u i ), i = 1,..., n na circunvizinhança de u e i refere-se aos pesos calculados. Estimativas por combinação linear ponderada

10 Quais os fatores que devem ser considerados para calcular os pesos? Proximidade das amostras; Redundância entre dados amostrais; Anisotropia; Magnitude da continuidade.

11 A krigagem é um estimador linear a partir da informação disponível, onde temos z(u) posições desconhecidas e dados nas posições z(u ) como realizações da variável regionalizada em estudo. onde:Z*(u) = valor estimado; m(u) = média do atributo z(u); (u) = pesos a serem determinados. Krigagem

12 Dessa forma, nosso objetivo é determinar os pesos de krigagem (u), tal que: Essa variância deve ser minimizada sob a condição de não- tendenciosidade:

13 Média local m(u) conhecida e constante dentro da área de estudo A. Estimador não-tendencioso; Minimiza a variância de krigagem; Gera um sistema de n(u) equações com n(u) incógnitas. Krigagem simples

14 Notação de matrizes do sistema de krigagem simples:

15 Dessa forma, é possível: obter-se um parâmetro de variabilidade espacial, onde amostras além do alcance do variograma irão receber pesos nulos; considerar proximidade dos dados em relação ao ponto a estimar u 0, onde amostras mais distantes irão receber menos peso; considerar redundância de dados, onde dados aninhados terão o peso filtrado (ex.: u 2 e u 3 ).

16 A variância de krigagem é dada por: A variância de krigagem é dependente do modelo de covariância escolhido um aumento da covariância reflete em diminuição da variância de krigagem. A variância de krigagem é dependente da configuração dos dados diminuição da covariância acarreta aumento na variância de krigagem. Variância de krigagem simples

17 Independente dos valores dos dados: duas configurações de dados idênticas geram a mesma variância de krigagem quaisquer que sejam os dados. índice da configuração dos dados. parâmetro inadequado para medir a precisão da estimativa?

18 Definições preliminares: Consideremos os resíduos: Y( u i ) = Z( u i ) - m( u i ), i = 1,.....,n onde m(u) pode ser constante, variar localmente ou ser considerado constante, porém desconhecido. O variograma é definido como: 2(h) = E {[Y (u) - Y(u+h)] 2 } A covariância é definida como: C(h) = E {Y(u). Y(u+h)}

19 A relação entre variograma e covariância é dada por: 2(h) = [E{Y 2 (u)}] + [E{Y 2 (u+h)}] -2. [E{Y(u). Y(u+h)}] 2(h) = Var{Y(u)} + Var{Y(u+h)} - 2.C(h) 2(h) = 2[C(0) - C(h)] então: C(h) = C(0) - (h)

20 Krigagem simples Considere um estimador linear: onde: Y(u i ) = resíduos dos dados (dados menos a média); Y*(u) = resíduo (ao qual a média será re-adicionada).

21 A variância do erro é definida como:

22 Pesos ótimos i, i = 1,....,n podem ser determinados tomando as derivadas parciais da variância do erro em relação aos pesos: Igualando as derivadas a zero, temos: krigagem simples (KS) Este sistema de n equações com n pesos como incógnitas é conhecido como sistema de krigagem simples (KS).

23 Comentários sobre krigagem Todas as versões de krigagem são modificações do algorítmo básico de regressão e do estimador correspondente: KS [ (u)] Os pesos da KS [ (u)] são dados pelas equações normais gerais não estacionárias: (u) Os pesos (u) levam em conta: proximidade dos dados à localização a ser estimada.

24 Krigagem ordinária Estacionaridade da média limitada à vizinhança local, invariante nesta vizinhança, porém desconhecida: Estacionaridade: Estimador não tendencioso se: Minimiza a variância de krigagem sob a condição da construção de um sistema de (n+1) equações.

25 Prova da ausência de viés para a função aleatória estacionária, então, gerando assim a condição para que o método de estimativa não apresente viés:

26 Parâmetros para KT3D START OF PARAMETERS:../data/cluster.dat -file with data columns for DH,X,Y,Z,var,sec var -1.0e21 1.0e21 - trimming limits 0 -option: 0=grid, 1=cross, 2=jackknife xvk.dat -file with jackknife data columns for X,Y,Z,vr and sec var 3 -debugging level: 0,1,2,3 kt3d.dbg -file for debugging output kt3d.out -file for kriged output nx,xmn,xsiz ny,ymn,ysiz nz,zmn,zsiz x,y and z block discretization 4 8 -min, max data for kriging 0 -max per octant (0-> not used) maximum search radii angles for search ellipsoid =SK,1=OK,2=non-st SK,3=exdrift drift: x,y,z,xx,yy,zz,xy,xz,zy 0 -0, variable; 1, estimate trend extdrift.dat -gridded file with drift/mean 4 - column number in gridded file nst, nugget effect it,cc,ang1,ang2,ang a_hmax, a_hmin, a_vert

27 Krigagem ordinária versus krigagem simples OKSK OK é usualmente preferida em relação a SK porque esta não pressupõe o conhecimento da média nem estacionaridade da média no campo amostral. OK OK permite estimar a média local m* OK (u), dentro da vizinhança de busca SK Aplicando SK usando a estimativa da média ao invés da média estacionária m, isto é:

28 Onde a média local é dada por: OK e os pesos do sistema de OK são dados por: ;

29 Ambos estimadores são exatos A discrepância entre as duas estimativas aumenta conforme a posição a ser estimada se distancia dos dados amostrais (extrapolação)


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