FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Apresentação em tema: "FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS"— Transcrição da apresentação:

1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
↔ → ┐ ( ) ∀ ∃ V ^ FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Lógica de Primeira Ordem Ou Lógica de Predicados

2 SUMÁRIO SUMÁRIO ORIGEM SINTAXE E E SEMÂNTICA
ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM REGRAS DE FORMAÇÃO AXIOMAS QUANTIFICADORES CÁLCULO DE PREDICADOS

3 ORIGEM Historicamente, lógica surgiu com o filósofo grego Aristóteles ( A.C.)

4 Lógica Proposicional x Lógica de Primeira Ordem

5 SINTAXE e SEMÂNTICA

6 ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM
• Constantes: ReiJoao, 2, ... • Predicados: Irmaos, >,... • Funções: Raiz, PernaEsquerdaDe,... • Variáveis: x, y, a, b,... • Conectivas: ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔ • Igualdade : = • Quantificadores: ∀, ∃

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8 Explicação: Modelo (LPO)
Constantes: RicardoCoracaoLeao, ReiJoao, PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao, PernaEsqDeReiJoao, Coroa; Predicados: Aridade=2; Irmãos: (RicardoCoracaoLeao, ReiJoao), (ReiJoao, RicardoCoracaoLeao); NaCabeca: (Coroa, ReiJoao); Aridade=1 (propriedades); Pessoa: (RicardoCoracaoLeao), (ReiJoao); Rei: (ReiJoao); ECoroa: (Coroa); Na matemática a aridade de uma função ou operação é o número de argumentos ou operandos tomados.

9 Explicação: Modelo (LPO)
Funções: PernaEsqDe: (RicardoCoracaoLeao,PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao), (ReiJoao,PernaEsqDeReiJoao), (PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao,INV), (PernaEsqDeReiJoao,INV), (Coroa,INV); INV é uma perna “invisível”! Funções em LPO são totais, e estão definidas para todos os objetos:

10 QUANTIFICADORES Quantificador Universal (∀): “Para todo...” ∀x P, onde P é qualquer expressão lógica. Exemplo: ∀x Rei(x) ⇒ Pessoa(x) Quantificador Existencial (∃): “Para algum...” ∃x P Exemplo: ∃x Rei(x)

11 ALGUMAS REGRAS DE FORMAÇÃO
Qualquer constante é um termo (variáveis livres). Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela mesma). Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti.

12 AXIOMAS Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas não-lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração.

13 Três dos axiomas lógicos que caracterizam a lógica de primeira ordem:

14 CÁLCULO DE PREDICADOS O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas.

15 Exercícios 1 Todos os As são Bs: Nenhum A é B: Alguns As são Bs:
Alguns As não são Bs: Somente os As são Bs: Nem todos os As são Bs Todos os As não são Bs

16 Exercícios 1 : Respostas
Todos os As são Bs: ∀x A(x) ⇒ B(x) Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x) Alguns As são Bs: ∃x A(x) ∧ B(x) Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x) Somente os As são Bs: ∀x B(x) ⇒ A(x) Nem todos os As são Bs – Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x) Todos os As não são Bs – Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x)

17 Exercícios 2 Todas as pessoas gostam de outra pessoa
Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as duas) O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das duas) A Ana tem no máximo uma irmã A Ana tem exatamente uma irmã A Ana tem pelo menos duas irmãs

18 Exercícios 2: Respostas
Todas as pessoas gostam de outra pessoa – ∀x Pessoa(x) ⇒ ∃y Pessoa(y) ∧ Gosta(x,y) ∧ ¬(x=y) Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam – ∃x Pessoa(x) ∧ ∀y Pessoa(y) ∧ ¬(x=y) ⇒ Gosta(y,x) O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as duas) – Frequenta(João,IA) ∨ Frequenta(João,PE) O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das duas) – Frequenta(Rui,IA) ⇔ ¬Frequenta(Rui,PE)

19 COMPONENTES JUCIELE SACRAMENTO FREITAS VÍVIAN MARIA NUNES DOS SANTOS
JHONE SESTO DAMICO