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Matemática Aplicada UNIDADE I RESUMO DE APOSTILA.

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Apresentação em tema: "Matemática Aplicada UNIDADE I RESUMO DE APOSTILA."— Transcrição da apresentação:

1 Matemática Aplicada UNIDADE I RESUMO DE APOSTILA

2 Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática Aplicada

3 Cronograma: Turma ADG 0096 Matemática Aplicada DataAtividade 20/12 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 13/12 1º Encontro 24/01 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 31/01 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

4 Objetivos da Disciplina: Situar a Matemática Aplicada dentro do vasto campo da Matemática e relacioná-la com a área da Administração, servindo de aporte e ferramental para outras disciplinas específicas do curso; Formatar e calcular funções de duas ou mais variáveis, variáveis aleatórias e discretas e programação linear, sistemas e vetores compreendendo sua importância no desempenho de suas atividades no cotidiano; Aplicar as funções de duas ou mais variáveis, assim como a teoria dos jogos e a modelagem matemática na resolução de problemas que envolvam o cotidiano do(a) acadêmico(a); Perceber a importância da Matemática Aplicada como uma disciplina que pode ser suporte nas mais diferentes áreas da Administração e que nos ajuda a resolver problemas contextuais;

5 Unidade 1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

6 Objetivos da Unidade: Compreender a definição de função de duas ou mais variáveis; Conhecer os tipos de funções, suas operações e suas aplicações; Resolver problemas do cotidiano envolvendo funções de duas ou mais variáveis; Aplicar o conceito de funções de duas ou mais variáveis em problemas do cotidiano;

7 Conceito de Função de várias Variáveis e suas aplicações Tópico 1 1/44

8 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Uma função f(x) = y de duas variáveis é uma regra que associa um número a cada variável. A sua forma é f(x) = ax + b, onde a é a parte variável e b a parte fixa. No cotidiano das organizações utilizamos muito os termos custo, receita e lucro. 2/44 Tópico 1 Unid. 1 5

9 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis a) Função Custo: Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo de produção depende de x, e a relação entre eles chamamos função custo. Existem custos que não dependem da quantidade produzida (aluguel, seguros, etc). Estes são denominados custos fixos (C f ). 3/44 Tópico 1 Unid. 1 5

10 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis O custo que depende de x chamamos de custo variável (C y ), mão de obra, material etc. O custo total em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo e do custo variável neste nível de produção: 4/44 Tópico 1 Unid. 1 5 C 1 = C f + C v

11 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis b) Função Receita: Seja x a quantidade vendida de um produto. É a quantidade que o fabricante recebe pela venda de x unidades. Seu gráfico é crescente a taxas constantes e seu gráfico é uma reta que passa pela origem. 5/44 Tópico 1 Unid. 1 5 R = px p = preço e x = quantidade

12 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis c) Função Lucro: A função Lucro (L) descreve o lucro para qualquer quantidade x, isto é, deve ser a diferença entre a receita e o custo para qualquer quantidade x. 6/44 Tópico 1 Unid. 1 5 L = R - C

13 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis d) Ponto de Nivelamento (break-even point): É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e o custo total. Ele indica a quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima que o produtor começará a ter lucro positivo. 7/44 Tópico 1 Unid. 1 6 R = C L = 0

14 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis e) Função Demanda: É a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano). A função Demanda descreve o comportamento do consumidor que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o preço sobe (Lei da Demanda). 8/44 Tópico 1 Unid. 1 6

15 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis f) Função Oferta: Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado. 9/44 Tópico 1 Unid. 1 6

16 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis g) Ponto de Equilíbrio: O Ponto de Equilíbrio é o ponto de intersecção do gráfico da oferta com o da demanda. Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. 10/44 Tópico 1 Unid. 1 6

17 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Exemplo: Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais: Empresa A – Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida; Empresa B – Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida. 11/44 Tópico 1 Unid. 1 7

18 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial. Para avaliarmos a melhor proposta, temos que descobrir o ponto de equilíbrio, ou seja, o ponto em que as duas propostas são iguais. 12/44 Tópico 1 Unid. 1 7

19 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Empresa A CA = x 13/44 Tópico 1 Unid. 1 7 Empresa B CA = x

20 Até 40 coleções, a melhor proposta é a A; a partir de 40 coleções, a melhor proposta passa a ser a B. 2 Conceito 2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis CA = CB x = x 800 – 600 = 20x – 15x 200 = 5x x = 200/5 = 40 coleções 14/44 Tópico 1 Unid. 1 7

21 2 Conceito 2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis Uma função f (x,y) de duas ou mais variáveis x e y é uma regra que associa um número a cada par de valores das variáveis. Ex.: a) Sendo f (x,y) = 2x + 3y 15/44 Tópico 1 Unid. 1 9

22 2 Conceito 2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis A cada par de valores (x,y) teremos um valor para a função, por exemplo para (3,5) teremos: f (3,5) = = 21 16/44 Tópico 1 Unid. 1 9

23 2 Conceito 2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis b) Uma mercearia vende um pote de manteiga a R$ 3,50 e um pote de margarina a R$ 2,50. 17/44 Tópico 1 Unid. 1 9

24 2 Conceito 2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis O faturamento com a venda de x potes de manteiga e y potes de margarina, sendo x e y da mesma referência, é dado por: f (x,y) = 3,50x + 2,50y, onde x é o número de potes de manteiga vendidos e y o número de potes de margarina vendidos, temos para x = 20 e y = 30 um faturamento de: 18/44 Tópico 1 Unid. 1 9

25 2 Conceito 2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis f (20,30) = 3, , = R$ 145,00 19/44 Tópico 1 Unid. 1 9

26 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis Tópico 2 20/44

27 1 Introdução Uma importante utilização dos máximos e mínimos de uma função é a sua otimização. Otimizar uma função significa encontrar seu ponto de máximo ou de mínimo. O estudo do melhor ponto de uma determinada função nos permite obter mais instrumentos na tomada de decisão, da formação de um preço, por exemplo. 21/44 Tópico 2 Unid. 1 19

28 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Vejamos o conceito: se f (x,y) tem um máximo ou mínimo relativo no ponto (x,y) = (a,b), então: df/dx (a.b) = 0 e df/dy (a.b) = 0 22/44 Unid Tópico 2

29 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Exemplo: a função f (x,y) = 3x2 – 4xy + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado valores positivos que serão pontos de mínimo. 23/44 Unid Tópico 2

30 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Exemplo: a função f (x,y) = 3x 2 – 4xy + 3y 2 + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado valores positivos que serão pontos de mínimo. 24/44 Unid Tópico 2

31 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Devemos encontrar valores de x e y para os quais ambas as derivadas parciais são zero. As derivadas parciais primeiras são calculadas diminuindo-se um grau do expoente de x e y e passando o mesmo a ser coeficiente. 25/44 Unid Tópico 2

32 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis f (x,y) = 3x 2 – 4xy + 3y 2 + 8x – 17y + 30 df/dx = 3.2x – 4.1y = 6x – 4y + 8 df/dy = -4.1x + 3.2y – 17.1 = -4x + 6y /44 Unid Tópico 2

33 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Determinando df/dx = 0 e df/dy = 0: 6x – 4y + 8 = 0 (isolando o y) y = (6x + 8)/4 -4x + 6y – 17 = 0 (isolando o y) y = (4x + 17)/6 27/44 Unid Tópico 2

34 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis (6x + 8)/4 = (4x + 17)/6 20x = 20 x = 1 28/44 Unid Tópico 2

35 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis y = (6x + 8)/4 y = ( )/4 y = 7/2 Se f(x,y) tem um mínimo, ele deve ocorrer quando df/dx (a,b) = 0 e df/dy (a,b) = 0. 29/44 Unid Tópico 2

36 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Determinamos que as derivadas parciais são simultaneamente iguais a zero quando x = 1 e y = 7/2. Portanto f(x,y) tem um mínimo que deve ocorrer no ponto (1, 7/2). 30/44 Unid Tópico 2

37 O Método dos Mínimos Quadrados Tópico 3 31/44

38 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados A equação de uma reta é dada pela expressão: y = ax + b que é uma relação linear ajustada aos pontos não colineares do problema em questão. 32/44 Tópico 3 Unid. 1 27

39 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Portanto o método dos mínimos coloca os pontos não alinhados em uma reta através do método dos mínimos quadrados que, por dedução, define a e b como sendo os coeficientes angular e linear. 33/44 Tópico 3 Unid. 1 27

40 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Esses coeficientes a e b são dados pelas expressões: a = Ʃ xi.yi – [( Ʃ xi).( Ʃ yi)]: n/ [ Ʃ xi 2 – (( Ʃ xi) 2 :n)] b = Ʃ yi : n – [a.(( Ʃ xi):n)] 34/44 Tópico 3 Unid. 1 27

41 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Exemplo: Um comerciante deseja obter empiricamente uma equação de demanda para seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada (y) relaciona-se com seu preço unitário (x) por meio de uma função de 1º grau. 35/44 Tópico 3 Unid. 1 27

42 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Para estimar esta reta, fixou os preços em vários níveis e observou a quantidade demandada, obtendo os dados a seguir: 36/44 Tópico 3 Unid. 1 27

43 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados 37/44 Tópico 3 Unid Preço Unitário (x)Qtde Demandada (y) R$ 1,009,5 R$ 2,008,5 R$ 3,005,5 R$ 4,003,5

44 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Com base nos dados, calcule: a) a equação da reta dos mínimos quadrados; b) a quantidade demandada para um preço unitário de R$ 5,00; 38/44 Tópico 3 Unid. 1 27

45 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Vamos resolver utilizando as expressões acima dos coeficientes angular e linear: a) Inicialmente, vamos criar uma planilha para cálculos dos valores a serem utilizados na fórmula: 39/44 Tópico 3 Unid. 1 28

46 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados 40/44 Tópico 3 Unid Xiyixi.yixi 2 19,5 1 28, ,516,59 43,51416 Ʃ

47 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Usando a fórmula da reta dos mínimos quadrados, teremos: a = Ʃ xi.yi – [( Ʃ xi).( Ʃ yi)]: n/ [ Ʃ xi 2 – (( Ʃ xi) 2 :n)] a = 57 – [(10.27):4] = 57 – (270:4) 30 – [(10) 2 :4] 30 – (100:4) 41/44 Tópico 3 Unid. 1 28

48 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados a = 57 – (270:4) = 57 – 67,5 = -10,5 = -2,1 30 – (100:4) /44 Tópico 3 Unid b = Ʃ yi : n – [a.(( Ʃ xi):n)] b = 27:4 – [-2,1.((10):4)] = 6,75 – (-5,25) = 12 a = -2,1 b = 12

49 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Portanto a equação da reta ajustada é: y = ax + b y = -2,1x /44 Tópico 3 Unid. 1 28

50 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados b) Para encontrar a quantidade para um preço de R$ 5,00, teremos: y = -2,1x + 12 x = 5 y = -2, = -10, = 1,50 44/44 Tópico 3 Unid. 1 28

51 Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

52 PRÓXIMA AULA: Matemática Aplicada 2º Encontro da Disciplina 1ª Avaliação da Disciplina (Redação com Consulta)


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