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Matemática Aplicada UNIDADE III RESUMO DE APOSTILA.

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Apresentação em tema: "Matemática Aplicada UNIDADE III RESUMO DE APOSTILA."— Transcrição da apresentação:

1 Matemática Aplicada UNIDADE III RESUMO DE APOSTILA

2 Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática Aplicada

3 Cronograma: Turma ADG 0096 Matemática Aplicada DataAtividade 20/12 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 13/12 1º Encontro 24/01 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 31/01 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

4 Unidade 3 MODELAGEM MATEMÁTICA

5 Objetivos da Unidade: Mostrar a aplicação da ferramenta em administração e economia; Resolver situações-problema aplicando os modelos matemáticos propostos a partir das aulas; Aplicar os conceitos compreendidos na disciplina na construção de um modelo matemático que será desenvolvido durante os estudos.

6 Teoria e Prática de Modelos Matemáticos Tópico 1 1/33

7 1 Introdução Na educação brasileira, a Modelagem Matemática teve início com os cursos de especialização para professores, em 1983, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Guarapuava – FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO. 2/33 Tópico 1 Unid. 1 71

8 1 Introdução A modelagem angariou adeptos, pois a grande preocupação consistia em encontrar formas alternativas para o ensino de Matemática que trabalhassem ou que tivessem a preocupação de partir de situações vivenciadas pelo aluno de 1º e 2º graus, atualmente Ensino Fundamental e Médio. 3/33 Tópico 1 Unid. 1 71

9 1 Introdução A modelagem matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável e o inimaginável. É livre e espontânea, ela surge da necessidade de o homem compreender os fenômenos que o cercam para interferir ou não em seu processo de construção. 4/33 Tópico 1 Unid. 1 71

10 1 Introdução Um dos corolários da modelagem matemática é que é possível tratar um problema complexo abstraindo-o para um mais simples, comensurável, isto é, com um número de variáveis determinado, com regras de relação precisas e claras e consequente capacidade de representação do problema tratado. 5/33 Tópico 1 Unid. 1 75

11 1 Introdução Entre os tipos de problemas em que pode ser utilizada a modelagem, para ajudar no processo de decisão, encontram-se: * Problemas de otimização de recursos * Problemas de localização * Problemas de roteirização 6/33 Tópico 1 Unid. 1 75

12 1 Introdução * Problemas de carteiras de investimento * Problemas de alocação de pessoas * Problemas de previsão e planejamento 7/33 Tópico 1 Unid. 1 75

13 1 Introdução A definição de modelagem aplicada às organizações nos leva a três objetivos inter- relacionados: a) converter dados em informações significativas b) Apoiar o processo de tomada de decisão de formas transferíveis e independentes c) Criar sistemas computacionais úteis para os usuários não técnicos 8/33 Tópico 1 Unid. 1 75

14 Um Estudo de Caso Detalhado de Modelagem Matemática Tópico 2 9/33

15 2 Um Estudo de Caso A empresa Giapetto fabrica 2 tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Os valores de venda, matéria- prima e mão de obra são os seguintes: 10/33 Tópico 2 Unid. 1 81

16 2 Um Estudo de Caso 11/33 Tópico 2 Unid Valores por unidade SoldadoTrem $ Venda2721 $ matéria-prima (MP)109 $ Mão de Obra (MO)1410 Mão de Obra necessária para os brinquedos – em horas SoldadoTrem Tempo de acabamento21 Tempo de carpintaria11

17 2 Um Estudo de Caso 12/33 Tópico 2 Unid Disponibilidades – Tempo disponível Acabamento100h Carpintaria80h Disponibilidades – Demanda Trens Ilimitada Soldados 40/semana (Máx.)

18 2 Um Estudo de Caso Solução Sabendo que a matéria-prima necessária é obtida sem problemas, Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal (receitas - custos). 13/33 Tópico 2 Unid. 1 82

19 2 Um Estudo de Caso Variáveis de Decisão Em qualquer modelo matemático, as variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem feitas. No caso de Giapetto: quantos soldados e trens devem ser feitos na semana? 14/33 Tópico 2 Unid X 1 = qtde soldados produzidos a cada semana X 2 = qtde de trens produzidos a cada semana

20 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo * Os custos fixos (aluguel, seguro) não dependem dos valores de X 1 e X 2, assim ele pode se concentrar em maximizar a venda da semana. * Custos de M.P: 10X 1 + 9X 2 * Custos de M.O: 14X x 2 15/33 Tópico 2 Unid. 1 82

21 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Giapetto não deve produzir mais soldados que ele possa vender, assim assumimos que todos os brinquedos produzidos podem ser vendidos. 16/33 Tópico 2 Unid. 1 82

22 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Receita da semana = receita dos soldados + receita dos trens Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana 17/33 Tópico 2 Unid. 1 82

23 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Então Giapetto quer maximizar: (27X 1 +21X 2 ) – (10X 1 +9X 2 ) – (14X 1 +10X 2 ) = 3X 1 + 2X 2 18/33 Tópico 2 Unid ReceitaMatéria-primaMão de obra Acabamento soldado Acabamento trem

24 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Maximizar Z = 3X 1 + 2X 2 ou max Z = 3X 1 + 2X 2 Variável usualmente utilizada. 19/33 Tópico 2 Unid. 1 83

25 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Em todo modelo matemático existem restrições (por semana): 1. Não mais que 100h de acabamento; 2. Não mais de 80h de carpintaria; 3. Limitação de demanda: não mais de 40 soldados; 4. M.P sem restrições (ilimitada). 20/33 Tópico 2 Unid. 1 83

26 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Restrição 1: Não mais de 100h de acabamento/semana 21/33 Tópico 2 Unid Total horas de acabamento/semana = horas de acab./soldado * soldados/semana + horas de acab./trem * trens/semana Total horas de acabamento/semana = 2*X 1 + 1*X 2 Restrição 1 = 2X 1 + X 2 <=100

27 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Restrição 2: Não mais de 80h de carpintaria/semana 22/33 Tópico 2 Unid Total horas de acabamento/semana = horas de carp./soldado * soldados/semana + horas de carp./trem * trens/semana Total horas de carpintaria/semana = 1*X 1 + 1*X 2 Restrição 2 = X 1 + X 2 <= 80

28 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Restrição 3: Venda máxima de soldados: 40 23/33 Tópico 2 Unid Restrição 3 = X 1 <= 40

29 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo Conjunto das Restrições 1. 2x 1 + X 2 = 0 24/33 Tópico 2 Unid. 1 84

30 Programação Linear Tópico 3 25/33

31 1 Introdução Diremos que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma maximização da função objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não negativos. 26/33 Tópico 3 Unid. 1 93

32 2 Definição Segundo Lachtermacher (2004, p.25), programação linear é a programação matemática em que todas as funções objetivo e restrições são representadas por funções lineares. 27/33 Tópico 3 Unid. 1 93

33 3 Exemplificando a Programação Linear Um exemplo de programação linear pode ser verificado na página /33 Tópico 3 Unid. 1 94

34 3 Exemplificando a Programação Linear a) Faz-se o gráfico das retas referentes às restrições; b) Marcam-se suas intersecções; c) Delimita-se a região de possível solução; d) Trata-se a reta que representa a da função objetivo. Neste caso, isocusto genérica; e) Movimentam-se retas isocusto paralelas à genérica. O vértice antes de sair da região de possibilidade é a isocusto solução. 29/33 Tópico 3 Unid (*) Linha de isocusto. 1. Econ. Representação gráfica das diferentes combinações de fatores de produção que têm o mesmo custo para a empresa.

35 3 Exemplificando a Programação Linear Neste caso, a isocusto solução contém o vértice formado pelas retas: 5X 1 + 5X 2 = 20 e 2X 1 + 6X 2 = 12 30/33 Tópico 3 Unid. 1 96

36 3 Exemplificando a Programação Linear Resolvendo-se este sistema de equações, pelo método da adição multiplicamos o primeiro termo por 2 e o segundo por -5: 31/33 Tópico 3 Unid X 1 + 5X 2 = 20 (*2) 2X 1 + 6X 2 = 12 (*-5) 10X X 2 = X X 2 = -60 / -20X 2 = -20 X 2 = -20/-20 = 1

37 3 Exemplificando a Programação Linear Substituindo X 2 na equação (1), teremos: 32/33 Tópico 3 Unid X 1 + 5X 2 = 20 5X = 20 5X 1 = 20 – 5 X 1 = 15/5 = 3 Logo teremos: X 1 = 3 e X 2 = 1

38 3 Exemplificando a Programação Linear Decorre que, substituindo-se na função objetivo, resulta que o custo será de: 33/33 Tópico 3 Unid c = 0,60X 1 + X 2 c = 0, c = 2,80 ou R$ 2,80 por dia.

39 Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

40 PRÓXIMA AULA: Matemática Aplicada 4º Encontro da Disciplina 3ª Avaliação da Disciplina (Avaliação FINAL)


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