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RESUMO DE APOSTILA Matemática Aplicada UNIDADE III.

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Apresentação em tema: "RESUMO DE APOSTILA Matemática Aplicada UNIDADE III."— Transcrição da apresentação:

1 RESUMO DE APOSTILA Matemática Aplicada UNIDADE III

2 Educação a Distância – EaD
Matemática Aplicada Professor: Flávio Brustoloni

3 Matemática Aplicada Cronograma: Turma ADG 0096 Data Atividade 13/12
1º Encontro 20/12 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 24/01 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 31/01 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

4 Unidade 3 MODELAGEM MATEMÁTICA

5 Objetivos da Unidade: Mostrar a aplicação da ferramenta em administração e economia; Resolver situações-problema aplicando os modelos matemáticos propostos a partir das aulas; Aplicar os conceitos compreendidos na disciplina na construção de um modelo matemático que será desenvolvido durante os estudos.

6 Teoria e Prática de Modelos Matemáticos
Tópico 1 1/33

7 1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 Na educação brasileira, a Modelagem Matemática teve início com os cursos de especialização para professores, em 1983, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Guarapuava – FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO. 71 2/33

8 1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 A modelagem angariou adeptos, pois a grande preocupação consistia em encontrar formas alternativas para o ensino de Matemática que trabalhassem ou que tivessem a preocupação de partir de situações vivenciadas pelo aluno de 1º e 2º graus, atualmente Ensino Fundamental e Médio. 71 3/33

9 1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 A modelagem matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável e o inimaginável. É livre e espontânea, ela surge da necessidade de o homem compreender os fenômenos que o cercam para interferir ou não em seu processo de construção. 71 4/33

10 1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 Um dos corolários da modelagem matemática é que é possível tratar um problema complexo abstraindo-o para um mais simples, comensurável, isto é, com um número de variáveis determinado, com regras de relação precisas e claras e consequente capacidade de representação do problema tratado. 75 5/33

11 1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 Entre os tipos de problemas em que pode ser utilizada a modelagem, para ajudar no processo de decisão, encontram-se: * Problemas de otimização de recursos * Problemas de localização * Problemas de roteirização 75 6/33

12 1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 * Problemas de carteiras de investimento * Problemas de alocação de pessoas * Problemas de previsão e planejamento 75 7/33

13 1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 A definição de modelagem aplicada às organizações nos leva a três objetivos inter-relacionados: a) converter dados em informações significativas b) Apoiar o processo de tomada de decisão de formas transferíveis e independentes c) Criar sistemas computacionais úteis para os usuários não técnicos 75 8/33

14 Um Estudo de Caso Detalhado de Modelagem Matemática
Tópico 2 9/33

15 2 Um Estudo de Caso Tópico 2 Unid. 1 A empresa Giapetto fabrica 2 tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Os valores de venda, matéria-prima e mão de obra são os seguintes: 81 10/33

16 Mão de Obra necessária para os brinquedos – em horas
2 Um Estudo de Caso Tópico 2 Unid. 1 Valores por unidade Soldado Trem $ Venda 27 21 $ matéria-prima (MP) 10 9 $ Mão de Obra (MO) 14 Mão de Obra necessária para os brinquedos – em horas Soldado Trem Tempo de acabamento 2 1 Tempo de carpintaria 81 11/33

17 2 Um Estudo de Caso Acabamento 100h Carpintaria 80h Trens Soldados
Tópico 2 Unid. 1 Disponibilidades – Tempo disponível Acabamento 100h Carpintaria 80h Disponibilidades – Demanda Trens Ilimitada Soldados 40/semana (Máx.) 82 12/33

18 2 Um Estudo de Caso Solução
Tópico 2 Unid. 1 Sabendo que a matéria-prima necessária é obtida sem problemas, Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal (receitas - custos). 82 13/33

19 2 Um Estudo de Caso Variáveis de Decisão
Tópico 2 Unid. 1 Em qualquer modelo matemático, as variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem feitas. No caso de Giapetto: quantos soldados e trens devem ser feitos na semana? X1 = qtde soldados produzidos a cada semana X2 = qtde de trens produzidos a cada semana 82 14/33

20 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 * Os custos fixos (aluguel, seguro) não dependem dos valores de X1 e X2, assim ele pode se concentrar em maximizar a venda da semana. * Custos de M.P: 10X1 + 9X2 * Custos de M.O: 14X1 + 10x2 82 15/33

21 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Giapetto não deve produzir mais soldados que ele possa vender, assim assumimos que todos os brinquedos produzidos podem ser vendidos. 82 16/33

22 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Receita da semana = receita dos soldados + receita dos trens Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana 82 17/33

23 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Acabamento trem Então Giapetto quer maximizar: (27X1+21X2) – (10X1+9X2) – (14X1+10X2) = 3X1 + 2X2 Receita Matéria-prima Mão de obra Acabamento soldado 82 18/33

24 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Maximizar Z = 3X1 + 2X2 ou max Z = 3X1 + 2X2 Variável usualmente utilizada. 83 19/33

25 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Em todo modelo matemático existem restrições (por semana): 1. Não mais que 100h de acabamento; 2. Não mais de 80h de carpintaria; 3. Limitação de demanda: não mais de 40 soldados; 4. M.P sem restrições (ilimitada). 83 20/33

26 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Restrição 1: Não mais de 100h de acabamento/semana Total horas de acabamento/semana = horas de acab./soldado * soldados/semana + horas de acab./trem * trens/semana Total horas de acabamento/semana = 2*X1 + 1*X2 Restrição 1 = 2X1 + X2 <=100 84 21/33

27 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Restrição 2: Não mais de 80h de carpintaria/semana Total horas de acabamento/semana = horas de carp./soldado * soldados/semana + horas de carp./trem * trens/semana Total horas de carpintaria/semana = 1*X1 + 1*X2 Restrição 2 = X1 + X2 <= 80 84 22/33

28 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Restrição 3: Venda máxima de soldados: 40 Restrição 3 = X1 <= 40 84 23/33

29 2 Um Estudo de Caso Função Objetivo
Tópico 2 Unid. 1 Conjunto das Restrições 1. 2x1 + X2 <= X1 + X2 <= X1 <= X1 e X2 >= 0 84 24/33

30 Programação Linear Tópico 3 25/33

31 1 Introdução Tópico 3 Unid. 1 Diremos que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma maximização da função objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não negativos. 93 26/33

32 2 Definição Tópico 3 Unid. 1 Segundo Lachtermacher (2004, p.25), programação linear é a programação matemática em que todas as funções objetivo e restrições são representadas por funções lineares. 93 27/33

33 3 Exemplificando a Programação Linear
Tópico 3 Unid. 1 Um exemplo de programação linear pode ser verificado na página 94 28/33

34 3 Exemplificando a Programação Linear
Tópico 3 Unid. 1 a) Faz-se o gráfico das retas referentes às restrições; b) Marcam-se suas intersecções; c) Delimita-se a região de possível solução; d) Trata-se a reta que representa a da função objetivo. Neste caso, isocusto genérica; e) Movimentam-se retas isocusto paralelas à genérica. O vértice antes de sair da região de possibilidade é a isocusto solução. 95 (*) Linha de isocusto. 1. Econ. Representação gráfica das diferentes combinações de fatores de produção que têm o mesmo custo para a empresa. 29/33

35 3 Exemplificando a Programação Linear
Tópico 3 Unid. 1 Neste caso, a isocusto solução contém o vértice formado pelas retas: 5X1 + 5X2 = 20 e 2X1 + 6X2 = 12 96 30/33

36 3 Exemplificando a Programação Linear
Tópico 3 Unid. 1 Resolvendo-se este sistema de equações, pelo método da adição multiplicamos o primeiro termo por 2 e o segundo por -5: 5X1 + 5X2 = 20 (*2) 2X1 + 6X2 = 12 (*-5) 10X1 + 10X2 = 40 -10X1 - 30X2 = -60 / X2 = -20 X2 = -20/-20 = 1 96 31/33

37 3 Exemplificando a Programação Linear
Tópico 3 Unid. 1 Substituindo X2 na equação (1), teremos: 5X1 + 5X2 = 20 5X = 20 5X1 = 20 – 5 X1 = 15/5 = 3 Logo teremos: X1 = 3 e X2 = 1 96 32/33

38 3 Exemplificando a Programação Linear
Tópico 3 Unid. 1 Decorre que, substituindo-se na função objetivo, resulta que o custo será de: c = 0,60X1 + X2 c = 0, c = 2,80 ou R$ 2,80 por dia. 96 33/33

39 Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

40 4º Encontro da Disciplina 3ª Avaliação da Disciplina (Avaliação FINAL)
Matemática Aplicada PRÓXIMA AULA: 4º Encontro da Disciplina 3ª Avaliação da Disciplina (Avaliação FINAL)


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