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Áreas e volumes de sólidos geométricos Aprofundar.

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Apresentação em tema: "Áreas e volumes de sólidos geométricos Aprofundar."— Transcrição da apresentação:

1 Áreas e volumes de sólidos geométricos Aprofundar

2 Exemplo 1 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: - a base da pirâmide tem 12 m de perímetro; - a pirâmide tem 7 m de altura. Qual o volume da pirâmide? R: Representa-se por A b a área da base da pirâmide e por h a sua altura. O volume V da pirâmide é dado por. Como o perímetro da base é 12 m, conclui-se que a aresta da base mede 3m. Sendo a base um quadrado com 3 m de lado, resulta que A b =. Assim, tem-se:. O volume da pirâmide é de. Volume da Pirâmide

3 EX 2: Qual é a área lateral da pirâmide? R: O esquema da figura facilita a compreensão e a resolução. O triângulos [VOP] é rectângulo em O. Sabe-se que: Recorrendo ao Teorema de Pitágoras e atendendo a que, tem-se: A área do triângulo [ABV], que representa uma face lateral é dada por: O valor exacto da área lateral é: Um valor aproximado da área lateral é

4 Sólidos de Revolução São sólidos gerados por uma superfície plana que roda em torno de uma recta, até dar uma volta completa. Quais serão ? Cilindro Cone Esfera des_interactivas/solidos_int.html

5 CILINDRO DE REVOLUÇÃO Elementos do cilindro: - As bases – círculos iguais e paralelos: -A-A superfície lateral – superfície curva; - a- altura – distância entre as bases; - g- geratriz – segmento que une dois pontos opostos das bases; -R-Raio do cilindro – raio das bases.

6 Ex 3: Na figura está representado um reservatório desenhado em computador. Como foi uma imposição do dono da obra, este tem a forma de um cilindro. Admite que tem 25 m de altura e o raio das bases tem 6 m de comprimento. Qual a área lateral do reservatório, que vai ser construído em aço inox. R: A área lateral de um cilindro é dada pela expressão:, dro_plan.htm Se quiseres ver a planificação do cilindro: sendo P b o perímetro da base e h a altura. Sabe-se que h = 25 m e r = 6 m. A área lateral do reservatório é, aproximadamente

7 Cone de revolução O cone de revolução é um sólido gerado por um triângulo rectângulo, que roda em Torno de um dos seus catetos, eixo de revolução, até dar uma volta completa. Elementos do cone -B-Base – é um círculo; - s- superfície lateral – é uma superfície curva que com a base limita o cone; - v- vértice; - g- geratriz – é um segmento de recta que une o vértice com qualquer ponto da circunferência da base; - Altura – é a distância do vértice à base.

8 ESFERA Uma esfera é gerada por uma semi-circunferência que roda em torno do seu diâmetro, até dar uma volta completa. É um sólido de centro O e raio R cujos conjuntos de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R.

9 Ex 4 Construiu-se uma esfera em aço assente num edifício com a forma de um paralelepípedo rectângulo com as dimensões de 46 x 36 x 15 metros, como é sugerido na figura. Qual deve ser o valor do raio da esfera, arredondado às unidades, para que tenha um volume igual ao do edifício da base? R: O volume do paralelepípedo é dado por Assim, o volume do edifício é O volume da esfera é dado por, sendo r o raio da esfera. Pretende-se determinar o valor de r para que o volume da esfera seja. Então resolvemos a equação em ordem a r: m Arredondando à unidades temos

10 Ex 5 Na Fig. 1 está representado um molde com a forma de um prisma que foi construído a partir do paralelepípedo representado na Fig.2. As bases do molde têm a forma de trapézios isósceles. a)O molde é de um frasco de perfume. A espessura do vidro é desprezível. Determina a capacidade e apresenta o resultado em mililitros. b) Determina a área lateral do molde. Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. Fig.1 Fig.2

11 R: a)As bases do molde são trapézios. A capacidade do frasco é. b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: A área da superfície lateral do molde é: Já chega!

12 Volume da Pirâmide Temos uma pirâmide e um prisma com a mesma altura e a mesma base, como mostra a figura. Haverá alguma relação entre os volumes?

13 Vamos encher a pirâmide de água e despejá-la no prisma. Para encher por completo, necessito de encher a pirâmide 3 vezes Ora, o Então Logo

14 Bom, por agora Termino! Mas…


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