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A pirâmide e suas formas. Definição Observe a animação. O conjunto de todos esses segmentos com extremos no ponto V e um dos pontos do polígono é um poliedro.

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1 A pirâmide e suas formas

2 Definição Observe a animação. O conjunto de todos esses segmentos com extremos no ponto V e um dos pontos do polígono é um poliedro chamado pirâmide. V

3 Elementos principais da Pirâmide A pirâmide tem dois tipos de faces A base (polígono ABCDEF). faces laterais (triângulos). Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral. V A B C D E F

4 A pirâmide tem dois tipos de arestas arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF e FA). arestas laterais (VA, VB, VC, VD, VE e VF ). V A B C D E F

5 Elementos principais da Pirâmide h A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide. V A B C D E F

6 Nomenclatura Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base. P. hexagonalhexágono P. pentagonalpentágono P. quadrangularquadrilátero P. triangulartriângulo PirâmidePolígono da base

7 Veja algumas dessas pirâmides Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

8 Pirâmide regular Pirâmide regular é aquela em que A base é um polígono regular; A projeção do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base. As arestas laterais são congruentes. Como conseqüência as faces laterais são triângulos isósceles, congruentes entre si.

9 Pirâmides regulares A base da pirâmide é um quadrado Pirâmide quadrangular regular A base da pirâmide é um hexágono regular Pirâmide hexagonal regular V h O V h O

10 V A B C D Apótema da pirâmide VM é o apótema (p) da pirâmide p M BM = MC

11 Segmentos notáveis na pirâmide regular VO = h, altura; V B A M O a h m r p b VA = a, aresta lateral; AB = b, aresta da base;

12 OM = m, apótema da base; V B A M O a h m r p b OA = r, raio da base; VM = p, apótema pirâmide;

13 A pirâmide e o teorema de Pitágoras

14 p 2 = h 2 + m 2 V B A M O h m p

15 V A O a h r a 2 = h 2 + r 2

16 a 2 = p 2 + (b/2) 2 V B A M a p b/2

17 Exemplos Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm. Calcular o raio da base, a aresta da base, a altura e o apótema da pirâmide. O V A M

18 Exemplos Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e a área da base 144 cm 2. Achar sua área lateral. V B A M a p b

19 Volume da pirâmide

20 A figura a seguir mostra um prisma e uma pirâmide regulares de mesma base e mesma altura. Qual dos dois tem maior volume? Qual a relação entre os dois volumes? Pode-se provar que a razão entre os dois volumes é exatamente igual a 3.

21 Volume da pirâmide Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma. A B.h V =V = 3 1

22 Exemplo Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 2, e a área lateral é o dobro da área da base. Obter a área total e o volume da pirâmide. V B A M h p m b

23 Tronco de pirâmide

24 Tronco de Pirâmide R C A h B D A B C D h C A h – h B D A B C D R A B C D h Tronco de pirâmide

25 Razão de semelhança - Comprimentos R C A h D R A B C D h B = RA AB =... = h h = k Razão de semelhança

26 Razão de semelhança - Áreas R C A h D R A B C D h B = ABAB ABAB ALAL ALAL = ATAT ATAT = k 2

27 Razão de semelhança - Volumes R C A h D R A B C D h B = k 3 V V

28 Exemplos A superfície de um recipiente tem forma de pirâmide regular de altura x, conforme figura. Colocam-se, dentro dele, 100 mL de água. Com isso, ela atinge o nível x/3. Achar a capacidade do recipiente. x x/3

29 Exemplos Num tronco de pirâmide quadrangular regular, a altura mede 6 m. Suas bases têm 16 m 2 e 64 m 2 de área. Calcular o volume desse tronco. 6 V h h m 2 16 m 2


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