das Equações de Transporte - Exercícios e Eq. da Energia

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1 das Equações de Transporte - Exercícios e Eq. da Energia
Parte II Formulação Integral das Equações de Transporte - Exercícios e Eq. da Energia

2 Eq. da Massa

3 Eq. da Q. Movimento As velocidades são medidas do referencial (xyz),
onde a aceleração relativa, arel é,

4 Arrasto Total numa Placa Plana
Seção a-b aproxima-se um perfil uniforme com velocidade Uo Seção c-d devido à viscosidade há um déficit de velocidade, U1 Seção b-c há um fluxo de massa cruzando b-c devido a desaceleração do fluido Seção a-d depende da escolha da S.C. pode haver atrito tauW ou o Arrasto D.

5 Superfície de Controle Deformável

6 S.C. deformável c/ interface: vr=vf -vb= 0
Ex – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo em U. Despreze o atrito. FILME h+ h- g z L Considere: S.C. deformável c/ interface: vr=vf -vb= 0 Tubo c/ seção transversal A constante Vel. líquido = taxa var. nível, V = dh/dt Ref.

7 Ex. 4. 191 – Continuação ho – nível de equilíbrio
fronteiras fixas S.C.-A fronteira deformável g z1 – segue interface SC-A V1 = dz1/dt Vol1 = (z1 + ho).A V z1 V z2 z2 – segue interface SC-B V2 = dz2/dt Vol2 = (z2 + ho).A fronteira deformável S.C.-B ho z1 = - z2 desnível = z1 - z2 S.C.-C z x L

8 S.C.-B fronteira fixa S.C.-A deformável V z1 z2 PA PB Patm z x ho g S.C.-C PB PA trecho horizontal L

9 Referencial Não Inercial

10 U/Vj = Ln[1-t*] onde t* =t/ e  = (M0/m)
O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (Vj, Aj e r) que sai de seu reservatório com velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. Determine a velocidade e a aceleração do carro em função do tempo. Ref N.I. Obs.: Vj é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro U M0 Vj Aj r Z X Ref. I. Resposta: mVj = (M0 - mt).dU/dt U/Vj = Ln[1-t*] onde t* =t/ e  = (M0/m)

11 S.C. se move junto com o carro
Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0. A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula. B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental) Ref N.I. Move com Vcarro V L h(t) h0 S.C. se move junto com o carro Z X Ref. I. Resposta: A) -rALd2h/dt2 + rA(dh/dt)^2 = -MdU/dt

12 O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r)
O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo. Ref N.I. -> U 2 U X Z Vj Aj r 1 M S.C. S.C. não deformável, Vb =0, mas S.C. desloca com velocidade U(t); A vel. relativa da fronteira e a vel. medida do ref. N.I. são iguais: Vr = Vxyz Resposta: -2(Vj – U)2.Aj = -M.dU/dt U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e  = (M/2)/( AjVj)

13 Efeitos de Superfície Livre na Quantidade de Movimento

14 Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma comporta
Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma comporta. O escoamento de água a montante da comporta possui velocidade uniforme U1 e uma lâmina d’água com altura h1. A jusante da comporta a velocidade da água é U2 e altura da água é h2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que está a pressão Po. Indique claramente na figura sua escolha da superfície de controle. Expresse a velocidade U1 em função das demais variáveis. Despreze a força de atrito na análise. Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão hidrostática que atua da superfície livre até ao fundo do canal. U1 U2 h1 h2 Po X Z g R

15 U1 U2 h1 h2 Po X Z g R

16 Equação da Energia: 1ª Lei da Termodinâmica
Manuscrito da 1ª Lei Forma integral no link: 1ª Lei

17 Q e W são, respectivamente, o calor e o trabalho que cruzam a S.C..
Lembre-se que Q e W são fenômenos de fronteira. Ao cruzarem a energia é transformada em energia interna, potencial ou cinética no sistema!

18 Convenção dos sinais de Q e W e definição de trabalho

19 O Calor: lei de Fourier

20 O Trabalho na Fronteira
Ti,j dAj VI é a velocidade absoluta do fluido na fronteira medida de um ref. Inercial.

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22 Partição do Termo de Trabalho

23 Partição do Termo de Trabalho
Trabalho de eixo representa todas as outras formas de trabalho a exceção do trabalho de fluxo e das tensões ‘viscosas’

24 Eq. Energia: Referencial Inercial e Estacionário

25 Trabalho de fluxo Trabalho recebido (entra) ou realizado (sai) pelo quando um volume de fluido (entra ou sai) do sistema.

26 Eq. Energia: Referencial Não- Estacionário

27 Termos de Trabalho devido ao Referencial Não- Estacionário

28 Eq. da Energia Expressando em termos das componentes de ‘e’, utilizando a lei de Fourier e decompondo os termos de trabalho chega-se a: Nota: um engano comum para quem está iniciando no assunto é confundir a definição de Vr para um referencial não inercial. Ela não muda pois ela é uma velocidade relativa dada pela diferença entre as velocidades do fluido e da fronteira, isto é, Vr = Vf - Vb. Ela é invariante em relação ao referencial.

29 altura de líquido h0 constante
S.C. Um tanque grande contendo um fluido incompressível tem a válvula aberta para atmosfera em t = 0. ho ~ const. Z X Ref. I. U(t) Considere: altura de líquido h0 constante velocidade no interior do tanque é desprezível e escoamento se dá sem atrito. Modele o escoamento no trecho horizontal do tubo.

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31 D reserv. >> d tubulação Vel. Reserv.  0
Uma bomba retira água de um resevatório através de um tubo de aspiração de 150 mm de diâmetro. A extremidade do tubo de aspiração está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2m acima da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de descarga é de 3 m/s. Se a eficiência da bomba for de 75% , determine a potência necessária para acioná-la. Z1=2 m weixo d1=150mm d2=75mm 170kPa V2=3m/s Z X Ref. I. Considerações: D reserv. >> d tubulação Vel. Reserv.  0 perdas por atrito desprezíveis

32 Bernoulli : um caso especial
Regime permanente, d/dt = 0 Uma entrada e uma saída Referencial estacionário, WVNI = WPNI = 0 Ausência de trabalho de eixo Fronteira não deformável, Vb = 0

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34 A igualdade é válida somente se o termo de irreversibilidade for nulo, isto é, se não houver transferência de calor nem atrito viscoso

35 Bernoulli

36 Um jato de água emerge de um orifício com área A0 e possui uma velocidade V0. A componente horizontal do jato permanece constante a medida que o jato é defletido pela gravidade. Determine a velocidade resultante do jato Ve, a distância h e a sua área transversal Ae numa seção com 45º de inclinação.

37 (i) Jato de líquido com dens.  No bocal: (A, Vj) definidos.
Um disco de massa M é solto de uma altura H > h0 (alt. equilíbrio). Determine h0. Considere que: (i) Jato de líquido com dens.  No bocal: (A, Vj) definidos. O jato atinge o disco com V0 e é defletido radialmente ao longo da direção X. M V0 h0  Vj

38 Veja exercícios resolvidos no link: Exercícios Resolvidos de Q
Veja exercícios resolvidos no link: Exercícios Resolvidos de Q. Mov e 1ª Lei

39 Eq. Energia x Q. Movimento
Para escoamentos incompressíveis, sem transferência de calor (adiabáticos) e em regime permanente, a Equação da Energia e a Equação de Quantidade de Movimento são Linearmente dependentes. Consequência: pode-se usar tanto uma quanto outra para resolver os problemas.

40 Ex– O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração. U M Vj Aj r X Z S.C. 1 2 S.C. não deformável, Vb =0, mas que se desloca com velocidade U(t) Resposta: A) U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/t e t = (M/2)/(rAjVj)

41 Velocidades Relativas x Absolutas
M Vj Aj r X Z S.C. 1 2 x z Velocidade de um referencial que se move com o carro: Velocidades Relativas x Absolutas Relação entre Vr e VI -> VI = Vr + U Velocidades inerciais V1 e V2:

42 Isotérmico (u=0), P = Patm sem transferência de calor e trabalho na S
Isotérmico (u=0), P = Patm sem transferência de calor e trabalho na S.C.: Variação E.K. dentro do V.C.: Fluxo E.K. cruza a S.C. Eq. Final