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IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte II Formulação Integral das Equações de Transporte - Exercícios e Eq. da Energia.

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1 IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte II Formulação Integral das Equações de Transporte - Exercícios e Eq. da Energia

2 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. da Massa

3 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. da Q. Movimento As velocidades são medidas do referencial (xyz), onde a aceleração relativa, a rel é,

4 IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção a-b aproxima-se um perfil uniforme com velocidade Uo Seção c-d devido à viscosidade há um déficit de velocidade, U1 Seção b-c há um fluxo de massa cruzando b-c devido a desaceleração do fluido Seção a-d depende da escolha da S.C. pode haver atrito tauW ou o Arrasto D. Arrasto Total numa Placa Plana

5 IM250 Prof. Eugênio Rosa Superfície de Controle Deformável

6 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo em U. Despreze o atrito. FILME. FILME h+h+ h-h- g z L Considere: S.C. deformável c/ interface: v r =v f -v b = 0 Tubo c/ seção transversal A constante Vel. líquido = taxa var. nível, V = dh/dt Ref.

7 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex – Continuação g z x hoho L V z1z1 V z2z2 fronteira deformável S.C.-B fronteiras fixas S.C.-A fronteira deformável S.C.-C h o – nível de equilíbrio z 1 – segue interface SC-A V 1 = dz 1 /dt Vol 1 = (z 1 + h o ).A z 2 – segue interface SC-B V 2 = dz 2 /dt Vol 2 = (z 2 + h o ).A z 1 = - z 2 desnível = z 1 - z 2

8 IM250 Prof. Eugênio Rosa S.C.-B fronteira fixa S.C.-A fronteira deformável V z1z1 V z2z2 fronteira fixa PAPA PBPB P atm z x hoho g S.C.-C PBPB PAPA trecho horizontal L

9 IM250 Prof. Eugênio Rosa Referencial Não Inercial

10 IM250 Prof. Eugênio Rosa O carro com massa inicial M 0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (V j, A j e ) que sai de seu reservatório com velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. Determine a velocidade e a aceleração do carro em função do tempo. Resposta: mV j = (M 0 - mt).dU/dt U/V j = Ln[1-t*] onde t* =t/ e = (M 0 /m) U M0M0 V j A j Obs.: V j é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro Ref N.I. Z X Ref. I.

11 IM250 Prof. Eugênio Rosa Um carro com massa inicial M 0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h 0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h 0. A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula. B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental) Resposta: A) - ALd 2 h/dt 2 + A(dh/dt)^2 = -MdU/dt V L h(t) h0h0 S.C. se move junto com o carro Ref N.I. Move com Vcarro Z X Ref. I.

12 IM250 Prof. Eugênio Rosa O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (V j, A j e ). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180 o. Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo. U M V j A j X Z S.C S.C. não deformável, V b =0, mas S.C. desloca com velocidade U(t); 2.A vel. relativa da fronteira e a vel. medida do ref. N.I. são iguais: V r = V xyz Resposta: -2 (V j – U) 2.A j = -M.dU/dt U/V j = t*/(1+t*) onde t* =t/ e = (M/2)/( A j V j ) Ref N.I. -> U

13 IM250 Prof. Eugênio Rosa Efeitos de Superfície Livre na Quantidade de Movimento

14 IM250 Prof. Eugênio Rosa Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma comporta. O escoamento de água a montante da comporta possui velocidade uniforme U 1 e uma lâmina dágua com altura h 1. A jusante da comporta a velocidade da água é U 2 e altura da água é h 2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que está a pressão P o. Indique claramente na figura sua escolha da superfície de controle. Expresse a velocidade U 1 em função das demais variáveis. Despreze a força de atrito na análise. Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão hidrostática que atua da superfície livre até ao fundo do canal. U1U1 U2U2 h1h1 h2h2 Po X Z g R

15 IM250 Prof. Eugênio Rosa U1U1 U2U2 h1h1 h2h2 Po X Z g R

16 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação da Energia: 1ª Lei da Termodinâmica Manuscrito da 1ª Lei Forma integral no link: 1ª Lei1ª Lei

17 IM250 Prof. Eugênio Rosa Q e W são, respectivamente, o calor e o trabalho que cruzam a S.C.. Lembre-se que Q e W são fenômenos de fronteira. Ao cruzarem a energia é transformada em energia interna, potencial ou cinética no sistema!

18 IM250 Prof. Eugênio Rosa Convenção dos sinais de Q e W e definição de trabalho

19 IM250 Prof. Eugênio Rosa O Calor: lei de Fourier

20 IM250 Prof. Eugênio Rosa V I é a velocidade absoluta do fluido na fronteira medida de um ref. Inercial. O Trabalho na Fronteira T i,j dA j

21 IM250 Prof. Eugênio Rosa

22 Partição do Termo de Trabalho

23 IM250 Prof. Eugênio Rosa Trabalho de eixo representa todas as outras formas de trabalho a exceção do trabalho de fluxo e das tensões viscosas Partição do Termo de Trabalho

24 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Energia: Referencial Inercial e Estacionário

25 IM250 Prof. Eugênio Rosa Trabalho de fluxo Trabalho recebido (entra) ou realizado (sai) pelo quando um volume de fluido (entra ou sai) do sistema.

26 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Energia: Referencial Não- Estacionário

27 IM250 Prof. Eugênio Rosa Termos de Trabalho devido ao Referencial Não- Estacionário

28 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. da Energia Expressando em termos das componentes de e, utilizando a lei de Fourier e decompondo os termos de trabalho chega-se a: Nota: um engano comum para quem está iniciando no assunto é confundir a definição de V r para um referencial não inercial. Ela não muda pois ela é uma velocidade relativa dada pela diferença entre as velocidades do fluido e da fronteira, isto é, V r = V f - V b. Ela é invariante em relação ao referencial.

29 IM250 Prof. Eugênio Rosa Um tanque grande contendo um fluido incompressível tem a válvula aberta para atmosfera em t = 0. Considere: (i)altura de líquido h 0 constante (ii)velocidade no interior do tanque é desprezível e (iii)escoamento se dá sem atrito. Modele o escoamento no trecho horizontal do tubo. S.C. ho ~ const. U(t) Z X Ref. I.

30 IM250 Prof. Eugênio Rosa

31 Uma bomba retira água de um resevatório através de um tubo de aspiração de 150 mm de diâmetro. A extremidade do tubo de aspiração está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2m acima da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de descarga é de 3 m/s. Se a eficiência da bomba for de 75%, determine a potência necessária para acioná-la. Considerações: 1.D reserv. >> d tubulação 2.Vel. Reserv perdas por atrito desprezíveis Z 1 =2 m w eixo d 1 =150mmd 2 =75mm 170kPa V 2 =3m/s Z X Ref. I.

32 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli : um caso especial Regime permanente, d/dt = 0 Uma entrada e uma saída Referencial estacionário, W VNI = W PNI = 0 Ausência de trabalho de eixo Fronteira não deformável, V b = 0

33 IM250 Prof. Eugênio Rosa

34 A igualdade é válida somente se o termo de irreversibilidade for nulo, isto é, se não houver transferência de calor nem atrito viscoso

35 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli

36 IM250 Prof. Eugênio Rosa Um jato de água emerge de um orifício com área A 0 e possui uma velocidade V 0. A componente horizontal do jato permanece constante a medida que o jato é defletido pela gravidade. Determine a velocidade resultante do jato V e, a distância h e a sua área transversal A e numa seção com 45º de inclinação.

37 IM250 Prof. Eugênio Rosa h0h0 M VjVj V0V0 Um disco de massa M é solto de uma altura H > h 0 (alt. equilíbrio). Determine h 0. Considere que: (i) Jato de líquido com dens. (i) No bocal: (A, V j ) definidos. (ii) O jato atinge o disco com V 0 e é defletido radialmente ao longo da direção X.

38 IM250 Prof. Eugênio Rosa Veja exercícios resolvidos no link: Exercícios Resolvidos de Q. Mov e 1ª LeiExercícios Resolvidos de Q. Mov e 1ª Lei

39 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Energia x Q. Movimento Para escoamentos incompressíveis, sem transferência de calor (adiabáticos) e em regime permanente, a Equação da Energia e a Equação de Quantidade de Movimento são Linearmente dependentes. Consequência: pode-se usar tanto uma quanto outra para resolver os problemas.

40 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex– O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (V j, A j e ). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180 o. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração. U M V j A j X Z S.C. 1 2 S.C. não deformável, V b =0, mas que se desloca com velocidade U(t) Resposta: A) U/V j = t*/(1+t*) onde t* =t/ e = (M/2)/( A j V j )

41 IM250 Prof. Eugênio Rosa Velocidades Relativas x Absolutas Velocidade de um referencial que se move com o carro: Relação entre V r e V I -> V I = V r + U Velocidades inerciais V 1 e V 2 : U M V j A j X Z S.C. 1 2 x z

42 IM250 Prof. Eugênio Rosa Isotérmico ( u=0), P = P atm sem transferência de calor e trabalho na S.C.: Fluxo E.K. cruza a S.C. Variação E.K. dentro do V.C.: Eq. Final


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