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Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ 2º período letivo, 2013.

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1 Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ 2º período letivo, 2013

2 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades conceituais –Superposição quântica –Probabilidade subjetiva x objetiva –Complementaridade –O problema da medida –Realismo vs. localidade Dificuldades matemáticas –Vetores –Números complexos –Espaços vetoriais complexos –Operadores, autovalores, autovetores –Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 20132

3 3 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64, 31, I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20, 427, S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.

4 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12, 541, F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, , S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, , 2010.

5 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic categories of description of tertiary physics students depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , G. Zhu, C. Singh, Improving students understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, G. Zhu, C. Singh, Improving students understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , G. Zhu, C. Singh, Improving students understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013.

6 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Leituras recomendadas R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, B. Rosenblum, F. Kuttner, Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.

7 Simulações Interferômetro de Mach-Zehnder (Univ. Federal do Rio Grande do Sul) QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) PhET (University of Colorado) SPINS (Oregon State University) Quantum physics (École Polytechnique) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 20137

8 8 Sumário 1.Fenômenos quânticos 2.Princípios da mecânica quântica 3.Sistemas quânticos simples: aplicações 4.Emaranhamento 5.Realismo, contextualidade e não-localidade 6.Partículas idênticas 7.Produto escalar, operadores, autovalores e autovetores 8.Simetrias 9.Posição e momentum 10.Partícula em uma dimensão

9 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Charles Addams, New Yorker, 1940 Fenômenos Quânticos

10 Um experimento com a luz C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho detetores de luz D1D1 D2D2

11 Resultado do experimento Os detetores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D 1 ou D 2, é ativado a cada vez. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 D1D1 D2D2 ou 50% probabilidade

12 Se a luz fosse uma onda... os detetores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2

13 Se a luz é composta por partículas... ou D 1 dispara, ou D 2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / ou D1D1 D2D2 D1D1 D2D2

14 Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons. O detetor que dispara aponta qual caminho o fóton tomou. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / caminho 2 caminho 1 D2D2 D1D1

15 O experimento de Grangier, Roger & Aspect Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect. A fonte luminosa de pouco intensa usada no experimento não é fácil de construir. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / ν1ν1 ν2ν2 átomo de cálcio τ = 4,7 ns

16 O experimento de Grangier, Roger & Aspect C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / w = 9 ns P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

17 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Resultado do experimento de Grangier et al.

18 Sobre o ensino do conceito de fóton Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. –G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) –E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

19 Outro experimento com a luz C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / interferômetro de Mach-Zehnder D2D2 D1D1 segundo semiespelho feixe luminoso fóton a fóton

20 Preliminares: um feixe bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 25%

21 O outro feixe bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 25%

22 Resultado fácil de entender com partículas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / = caminho do fóton % 25%

23 De volta ao interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2

24 Resultado do experimento: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 100% D1D1 D2D2

25 Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / caminho 1 caminho % 2 Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

26 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidade do detetor D n disparar apenas o caminho 1 aberto apenas o caminho 2 aberto Proposição* Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2 consequência: * The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

27 Teste da Proposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Experimentalmente: a Proposição é falsa!

28 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Repetindo: A afirmativa o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2 é falsa. … um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica. R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

29 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Por onde vai o fóton? 1 e 2 ou 1 ou 2 nem 1 nem 2 1 2

30 Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção ou 1 ou 2 é falsa. Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, nem 1 nem 2 também não é aceitável. Parece restar apenas a opção 1 e 2: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

31 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Outra possibilidade... Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir as possibilidades 1 e 2. A pergunta qual o caminho do fóton? só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras posição de um objeto, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (1927)

32 Fácil de entender num modelo ondulatório C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 interferência construtiva interferência destrutiva

33 Comprimentos variáveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L1L1 L2L2 P D2 P D1 L 1, L 2 = comprimentos ajustáveis dos braços do interferômetro

34 Resultado experimental: Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton interfere com ele mesmo. Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L P D1 L 1 – L P D2 (linha tracejada: ou 1 ou 2 P D (1) + P D (2) )

35 O experimento de Grangier, Roger & Aspect C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

36 O experimento de Grangier, Roger & Aspect C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L 2 (λ/50)

37 Interferência de nêutrons C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

38 Interferência de átomos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / interferômetro de átomos A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)

39 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Interferência de elétrons A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

40 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / E se o caminho for observado? P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) diferença de caminhos (ajustável) interferência desaparece !

41 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / E se o caminho for observado? P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) o experimento real interferômetro de Ramsey

42 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) E se o caminho for observado? N Massa Massa = 0 caminho identificado não há padrão de interferência Massa caminho não identificado padrão de interferência

43 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) E se a informação sobre o caminho for apagada? impossível determinar o caminho interferência

44 Quando há interferência? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência (1 e 2) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente (ou 1 ou 2) não há interferência

45 Princípios da Mecânica Quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

46 Princípios da Mecânica Quântica Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Colapso do vetor de estado A equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

47 Vetores de Estado e o Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

48 Sistemas de dois estados esquerda / direita horizontal / vertical para cima / para baixo sim / não 0 / 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

49 Sistemas de dois estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / caracoroa fóton refletido fóton transmitido

50 Sistemas de dois estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A = ? a2a2 a1a1 grandeza física observável: a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 medidor de A ou

51 Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a 1 e A = a 2. Representação dos estados: pontos no eixo A C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A a1a1 a2a2

52 Sistemas quânticos: vetores de estado Sistema quântico de dois estados, A = a 1 e A = a 2. Representação dos estados: vetores ortogonais em um espaço de duas dimensões C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

53 A notação de Dirac C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / vetor identificação exemplos:

54 O que muda? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de etiquetagem dos estados. A a1a1 a2a2 O que muda é o seguinte: ?

55 O Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Qualquer combinação linear dos vetores |a 1 e |a 2 representa um estado físico do sistema.

56 Significado de | A = a 1 e A = a 2 ? esquerda e direita? horizontal e vertical? sim e não? 0 e 1? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

57 Alguns detalhes técnicos As constantes c 1 e c 2 podem ser números complexos. O espaço de estados é um espaço vetorial complexo. Os vetores |a 1 e |a 2 são uma base do espaço (bidimensional) de estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

58 O espaço de estados é grande Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

59 Princípio da Superposição: formulação geral C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Se | e | são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.

60 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

61 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / c2c2 c1c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = a n é (n = 1, 2)

62 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / | a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 medidor de A

63 Probabilidade total C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Só há dois resultados possíveis, ou a 1 ou a 2. A probabilidade da medida resultar ou em a 1 ou em a 2 é 1 (100%)

64 Normalização do vetor de estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Norma de | : c2c2 c1c1 (tamanho do vetor | ) Com essa definição:

65 Normalização do vetor de estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / | e | têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

66 Normalização do vetor de estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores normalizados: ou seja,

67 Vetores normalizados: a Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 medidor de A (normalizado) |

68 Amplitude de probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / c n amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade| 2 função de onda:

69 Valor médio C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / N medidas de A (N ) N 1 a 1, N 2 a 2 valor médio de A no estado | a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1

70 Valor médio C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidades:

71 Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A bem definido c2c2 c1c1 c 1, c 2 0 impossível prever o resultado de uma medida ou Se

72 Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A = incerteza de A no estado | ou A = 0

73 Complementaridade e o Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

74 Complementaridade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 B A b2b2 b1b1 duas grandezas físicas: A e B

75 Grandezas compatíveis e incompatíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A e B compatíveis A e B incompatíveis A e B complementares: incompatibilidade máxima

76 O Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A e B incertos ( A 0, B 0) A bem definido, B incerto ( A = 0, B 0) B bem definido, A incerto ( B = 0, A 0)

77 O Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A e B incompatíveis nenhum estado | com A = 0 e B = 0

78 Exemplo: posição e momentum C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / X x1x1 x2x2 duas posições: |x 1, |x 2 (aqui, ali) dois estados de movimento: | p 1, |p 2 (repouso, movimento) impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

79 Resumo dos princípios já discutidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / estado físico vetor no espaço de estados grandeza física sistema de eixos no espaço de estados

80 Resumo dos princípios já discutidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a 1 ou A = a 2 grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados projeção do vetor de estado no eixo |a n probabilidade da medida resultar em A = a n

81 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Até agora: cinemática quântica. E a dinâmica quântica? Como o vetor de estado muda com o tempo?

82 Colapso do Vetor de Estado

83 Colapso do vetor de estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 antes da medida depois da medida

84 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Colapso do vetor de estado resultado A = a 2 resultado A = a 1 medida de A resulta em a n logo após a medida o vetor de estado do sistema é |a n

85 Colapso do vetor de estado Se fazemos uma medida, encontrando A = a n, e imediatamente a repetimos, temos que encontrar A = a n novamente, com 100% de probabilidade. Sem a reprodutibilidade de medidas sucessivas, o próprio conceito de medida fica comprometido. Portanto, após a medida o vetor de estado do sistema tem que ser | a n, o único estado em que uma nova medida resultará em A = a n com 100% de probabilidade. | |a n : a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do salto quântico. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

86 Medidas simultâneas de duas grandezas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 b2b2 b1b1 (A, B) ( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0) Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com A = 0 e B = 0. É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

87 A Equação de Schroedinger

88 A equação de Schroedinger Evolução temporal do vetor de estado: | (0) | (t) Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

89 A (solução da) equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E 1, E 2

90 ћ = constante de Planck ( 2 ) Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas: A evolução | (0) | (t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem saltos quânticos) e determinista (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A (solução da) equação de Schroedinger

91 Propriedades da equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Linearidade: t = 0 t 0

92 Propriedades da equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Conserva a norma do vetor de estado: Conserva o ângulo entre vetores: tamanho não muda dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares

93 Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação de ângulos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Propriedades da equação de Schroedinger evolução unitária

94 Estados estacionários C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / | (t) e | (t) representam o mesmo estado físico. Estados de energia bem definida são estacionários. mesma direção que |E n Estado de energia bem definida E n :

95 Conservação da energia C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

96 Eq. de Schroedinger x Processos de medida Equação de Schroedinger: –contínua –determinista –válida enquanto não se faz uma medida Colapso do vetor de estado: –descontínuo –probabilístico –ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

97 Eq. de Schroedinger x Processos de medida Duas dinâmicas? Equação de Schroedinger: –interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. –A = a 1 e A = a 2 Colapso do vetor de estado : –interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o observador). –A = a 1 ou A = a 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

98 O problema da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger? a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 Descrição quântica do aparelho de medida: | | | equação de Schroedinger: o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! aparelho de medida:

99 O problema da medida Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? –Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. –Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.

100 Física quântica x física clássica Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics …o aparato não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement É decisivo reconhecer que, por mais que os fenômenos transcendam o alcance da física clássica, o relato de toda evidência deve ser expresso em termos clássicos. N. Bohr, Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

101 Física quântica x física clássica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / física quântica física clássica …a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

102 Sistemas de N Estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Você está em todo lugar

103 Sistemas de N estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / estados N estados impossível desenhar N eixos perpendiculares

104 Sistemas de N estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / N pode ser infinito: N pode ser infinito e os a n contínuos: ou ainda,

105 Aplicações a sistemas simples C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Instituto de Física Quântica Você está aqui e aqui

106 Informação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

107 O interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 100% D1D1 D2D2 interferência construtiva interferência destrutiva ondas

108 O interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 1 e D 2 nunca disparam em coincidência partículas % 25%

109 Descrição quântica do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / (caminho 1) (caminho 2)

110 Espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidades:

111 Semiespelho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 evolução unitária

112 Semiespelho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade

113 Interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D

114 Interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial:

115 Interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é interferência destrutiva interferência construtiva P 1 = 100% P 2 = 0%

116 O que interfere? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

117 Caminho bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D2D2 D1D1

118 Caminho bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial: Bloqueio: fóton bloqueado

119 Caminho bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P 1 = 25% P 2 = 25% P = 50%

120 Por que não há interferência? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / (1-1-1) (1-1-2) não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência (1-2- )

121 Caminhos alternativos distinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 mola

122 Caminhos alternativos distinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial: 1, 2: caminho do fóton R: espelho em repouso M: espelho em movimento

123 Caminhos alternativos distinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P 1 = P(1, R) + P(1, M) = 50% P 2 = P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes

124 Apagando a informação sobre o caminho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 1 100% D 2 0% mola

125 Apagando a informação sobre o caminho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

126 O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

127 O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / fóton fósforo bom fósforo ruim

128 O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / palitos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

129 Teste clássico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / palito ruim palito bom queimado

130 Teste quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2

131 Palito ruim C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 1 100% D 2 0% transparente palito ruim D 2 nunca dispara

132 Palito bom C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 2 25% D 1 25% 50% palito bom D 2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto

133 Teste quântico D 2 fósforo bom intacto D 1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim Fósforo acende fósforo bom queimado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Dos fósforos bons: 25% estão identificados e intactos 50% foram queimados 25% em dúvida Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

134 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L 2 (λ/50) As probabilidades P 1 e P 2 dependem de diferenças entre os dois caminhos. distância percorrida densidade do material atravessado

135 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / características do caminho percorrido fase 1 2

136 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 1 2

137 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial: Defasadores:

138 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja,

139 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Após o segundo semiespelho: Probabilidades: 1 – P1P1 1 – P2P2

140 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L 2 (λ/50) após uma distância extra x:

141 O problema de Deutsch C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Como saber se uma moeda é honesta ou viciada? 1ª lado2ª lado moeda honesta 1ª lado2ª lado moeda viciada

142 O problema de Deutsch C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Resposta clássica: olhando os dois lados 1ª lado2ª lado 4 possibilidades honesta viciada

143 O problema de Deutsch C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton? Aparentemente, não!

144 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / cara: = 0 coroa: = D1D1 D2D2 2 1

145 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / cara: = 0 coroa: = D1D1 D2D

146 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D moeda honesta: 1 2 fóton em D 2 moeda viciada: fóton em D 1

147 O início da computação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p (1985). D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p (1992). R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p (1998). x = 0x = 1 f1f1 00 f2f2 11 f3f3 01 f4f4 10 f constante f balanceada É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?

148 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Mais aplicações a sistemas simples Molécula de H2+, benzeno, corante (Feynman). Maser de amônia. (Feynman, Basdevant, Le Bellac) Oscilação de neutrinos (Basdevant 2) Exemplos - Le Bellac. Polarização do fóton. (Le Bellac, Martin, Moyses) Spin ½. Relógio de Césio (Basdevant) Canais acoplados: transmissão por barreiras. Descoerência, efeito Zeno (M. Berry)

149 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Mais aplicações (sistemas de N estados) N posições (Feynman). Molécula da benzeno (ver Le Bellac). Cristais; bandas (depois de férmions?) Spin > ½ Duas partículas (com 2 estados cada); produto de estados.

150 Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

151 Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / | sistema I | sistema II | subsistema I | subsistema II sistema composto

152 Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Estados do sistema composto: sistema I no estado |, sistema II no estado | Superposição estado emaranhado: Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais. Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica.

153 Emaranhamento O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes... - E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics, 1935 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

154 Realismo, Contextualidade e Localidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?

155 Variáveis ocultas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / variável oculta que determina o valor de A Medidas: revelam um valor preexistente? criam o resultado encontrado? grandeza medida no experimento

156 Experimentos com um sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / III A I = 1 A II = 1 B II = 1 B I = 1 incompatíveis compatíveis

157 Quatro experimentos com um sistema composto Quatro experimentos possíveis: 1)Medida de A I e A II A I = +1 e A II = +1 encontrado algumas vezes 2)Medida de A I e B II A I = +1 e B II = +1 nunca encontrado 3)Medida de B I e A II B I = +1 e A II = +1 nunca encontrado 4)Medida de B I e B II B I = -1 e B II = -1 nunca encontrado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

158 Quatro experimentos com um sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999) 1)P(A I, A II ) (em %) grau de emaranhamento 2)P(A I, B II ) = 0 3)P(B I, A II ) = 0 4)P(B I, B II ) = 0

159 Experimentos com um sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A I = +1A II = +1 B I = -1B II = -1 sempre Se os valores de A I, A II, B I e B II já existiam antes das medidas: !! Mas B I = B II = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!

160 Estados de Hardy C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / estado emaranhado P(B I, B II ) = 0 experimento 4 L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz- Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992). L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

161 Estados de Hardy C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Experimentos 1, 2 e 3:

162 Estados de Hardy C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Experimentos 1, 2 e 3: 3) 2) 1)

163 Contextualidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / o que está sendo medido em 2 (A 2 ou B 2 ) a2a2 a1a1 b2b2 b1b1 (A, B)

164 Contextualidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / o que está sendo medido em II (A II ou B II ) o que está sendo medido em I (A I ou B I )

165 Não-localidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / III AIAI A II B II BIBI

166 O teorema de Bell C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica é necessariamente não-local.

167 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A fazer: Partículas idênticas Simetrias Posição e momentum Partícula em 1 dimensão: aplicações –Partícula livre. –Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc. –Oscilador harmônico (começar com a, a+ e terminar com x,p) Soma sobre caminhos (?)

168 Citações e Cartoons C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

169 Dirac: colapso e salto quântico … a sudden jump from being partly in each of these two states to being entirely in one or other of them. Which of the two states it will jump into cannot be predicted, but is governed only by probability laws. (Dirac, p.7) When we measure a real dynamical variable, the disturbance involved in the act of measurement causes a jump in the state of the dynamical system. From physical continuity, if we make a second measurement of the same dynamical variable immediately after the first, the result of the second measurement must be the same as that of the first. Thus after the first measurement has been made, there is no indeterminacy in the result of the second. Hence, after the first measurement has been made, the system is in an eigenstate of the dynamical variable, the eigenvalue it belongs to being equal to the result of the first measurement. This conclusion must still hold if the second measurement is not actually made. In this way we see that a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured, the eigenvalue this eigenstate belongs to being equal to the result of the measurement. (Dirac, p.16) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

170 Dirac...a new set of accurate laws of nature is required. One of the most fundamental and most drastic of these is the Principle of Superposition of States. (p.4) When a state is formed by the superposition of two other states, it will have properties that are in some vague way intermediate between those of the two original states and that approach more or less closely to those of either of them according to the greater or less 'weight' attached to this state in the superposition process. (p.13) people have tried to establish analogies with systems in classical mechanics, such as vibrating strings or membranes, which are governed by linear equations and for which, therefore, a superposition principle holds. Such analogies have led to the name 'Wave Mechanics' being sometimes given to quantum mechanics. It is important to remember, however, that the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory, as is shown by the fact that the quantum superposition principle demands indeterminacy in the results of observations in order to be capable of a sensible physical interpretation. The analogies are thus liable to be misleading. (p.14) It is desirable to have a special name for describing the vectors which are connected with the states of a system in quantum mechanics, whether they are in a space of a finite or an infinite number of dimensions. We shall call them ket vectors, or simply kets, and denote a general one of them by a special symbol |>. If we want to specify a particular one of them by a label, A say, we insert it in the middle, thus |A>. The suitability of this notation will become clear as the scheme is developed. (p.15) … a further assumption, namely the assumption that by superposing a state with itself we cannot form any new state, but only the original state over again. […] Thus a state is specified by the direction of a ket vector and any length one may assign to the ket vector is irrelevant. (p.17) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

171 Heisenberg When one wants to be clear about what is to be understood by the words "position of the object," for example of the electron (relative to a given frame of reference), then one must specify definite experiments with whose help one plans to measure the "position of the electron"; otherwise this word has no meaning. - W. Heisenberg (1927), The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.62 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

172 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Bohr It is decisive to recognize that, however far the phenomena transcend the scope of classical physical explanation, the account of all evidence must be expressed in classical terms. The argument is simply that by the word experiment we refer to a situation where we can tell others what we have done and what we have learned and that, therefore, the account of the experimental arrangement and of the results of the observations must be expressed in unambiguous language with suitable application of the terminology of classical physics. - N. Bohr (1949), Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.17

173 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Bohr... a limitação fundamental, encontrada na física atômica, da existência objetiva de fenômenos independentemente dos meios para sua observação. –N. Bohr, Física Atômica e Conhecimento Humano, p.10

174 Bell I mean too, by serious, that apparatus should not be separated off from the rest of the world into black boxes, as if it were not made of atoms and not ruled by quantum mechanics. Information? Whose information? Information about what? There can be no question – without changing the axioms of getting rid of the shifty split. Sometimes some authors of quantum measurement theories seem to be trying to do just that. It is like a snake trying to swallow itself by the tail. It can be done - up to a point. But it becomes embarrassing for the spectators even before it becomes uncomfortable for the snake. [descoerência?!] The idea that elimination of coherence, in one way or another, implies the replacement of and by or, is a very common one among solvers of the measurement problem. It has always puzzled me. (Against measurement, Physics World, August 1990) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

175 Landau e Lifshitz... the classical object is usually called apparatus and its interaction with the electron is spoken of as measurement. However, it must be emphasised that we are here not discussing a process... in which the physicist-observer takes part. By measurement, in quantum mechanics, we understand any process of interaction between classical and quantum objects, occurring apart from and independently of any observer. The importance of the concept of measurement in quantum mechanics was elucidated by N Bohr. (p.2)... Thus quantum mechanics occupies a very unusual place among physical theories: it contains classical mechanics as a limiting case, yet at the same time it requires this limiting case for its own formulation... " (p.3) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

176 Gottfried e Yan It is natural to take it for granted that a particular value a displayed by a particular measurement of an observable A simply reveals a pre-existing value possessed by that individual specimen S, just as your head has a definite circumference before the tape measure is unfurled in a statistical study of the egos of physicists. This entirely sensible supposition is not valid, however: Values cannot be ascribed to observables prior to measurement; such values are only the outcomes of measurement. The common-sense inference that measurements reveal pre-existing values leads to implications that are contradicted by experiment, and are also incompatible with the Hilbert space structure of quantum mechanics. This conclusion is not obvious, and was not established firmly until some three decades after the discovery of quantum mechanics. The reasoning and experiments that lead to it will be given in chapter 12, but the conclusion is stated here to abort seductive misconceptions. p C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

177 Schlosshauer Whereas such superpositions of states have been experimentally extensively verified for microscopic systems (for instance, through the observation of interference effects), the application of the formalism to macroscopic systems appears to lead immediately to severe clashes with our experience of the everyday world. A book has never been observed to be in a state of being both here and there (i.e., to be in a superposition of macroscopically distinguishable positions), nor does a Schrödinger cat that is a superposition of being alive and dead bear much resemblance to reality as we perceive it. The problem is, then, how to reconcile the vastness of the Hilbert space of possible states with the observation of a comparatively few classical macroscopic states, defined by having a small number of determinate and robust properties such as position and momentum. Why does the world appear classical to us, in spite of its supposed underlying quantum nature, which would, in principle, allow for arbitrary superpositions? (M. Schlosshauer, RMP v. 76, p. 1268, 2004) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

178 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

179 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

180 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

181 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1


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