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Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ 1º período letivo, 2014.

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1 Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ 1º período letivo, 2014

2 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades conceituais –Superposição quântica –Probabilidade subjetiva x objetiva –Complementaridade –O problema da medida –Realismo vs. localidade Dificuldades matemáticas –Vetores –Números complexos –Espaços vetoriais complexos –Operadores, autovalores, autovetores –Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 20142

3 3 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64, 31, I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20, 427, S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.

4 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12, 541, F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, , S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.

5 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, , L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic categories of description of tertiary physics students depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , G. Zhu, C. Singh, Improving students understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, G. Zhu, C. Singh, Improving students understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , G. Zhu, C. Singh, Improving students understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, , J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.

6 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Leituras recomendadas R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, B. Rosenblum, F. Kuttner, Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014 A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison- Wesley, M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.

7 Simulações Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) PhET (University of Colorado) phenomena phenomena SPINS (Oregon State University) Quantum physics (École Polytechnique) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 20147

8 Internet Quantum Physics (IoP) Quantum Mechanics (Leonard Susskind) Quantum Entanglement (Leonard Susskind) Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 20148

9 9 Sumário 1.Fenômenos quânticos 2.Princípios da mecânica quântica 3.Sistemas quânticos simples: aplicações 4.Realismo, contextualidade e não-localidade 5.Partículas idênticas 6.Operadores, autovalores e autovetores 7.Simetrias 8.Posição e momentum 9.Partícula em uma dimensão não estão nestas notas

10 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Charles Addams, New Yorker, 1940 Fenômenos Quânticos

11 Um experimento com a luz C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho detetores de luz D1D1 D2D2

12 Resultado do experimento Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D 1 ou D 2, é ativado a cada vez. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 D1D1 D2D2 ou 50% probabilidade

13 Se a luz fosse uma onda... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2

14 Se a luz é composta por partículas... ou D 1 dispara, ou D 2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / ou D1D1 D2D2 D1D1 D2D2

15 Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons. O detector que dispara aponta qual caminho o fóton tomou. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / caminho 2 caminho 1 D2D2 D1D1

16 O experimento de Grangier, Roger & Aspect Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect. A fonte luminosa de pouco intensa usada no experimento não é fácil de construir. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / ν1ν1 ν2ν2 átomo de cálcio τ = 4,7 ns

17 O experimento de Grangier, Roger & Aspect C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / w = 9 ns P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

18 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Resultado do experimento de Grangier et al.

19 Sobre o ensino do conceito de fóton Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. –G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) –E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

20 Outro experimento com a luz C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / interferômetro de Mach-Zehnder D2D2 D1D1 segundo semiespelho feixe luminoso fóton a fóton

21 Preliminares: um feixe bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 25%

22 O outro feixe bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 25%

23 Resultado fácil de entender com partículas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / = caminho do fóton % 25%

24 De volta ao interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2

25 Resultado do experimento: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 100% D1D1 D2D2

26 Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / caminho 1 caminho % 2 Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

27 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidade do detetor D n disparar apenas o caminho 1 aberto apenas o caminho 2 aberto Proposição:* Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2 consequência: * The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

28 Teste da Proposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Experimentalmente: a proposição é falsa!

29 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Repetindo: A afirmativa o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2 é falsa. … um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica. R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

30 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Por onde vai o fóton? 1 e 2 ou 1 ou 2 nem 1 nem 2 1 2

31 Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção ou 1 ou 2 é falsa. Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, nem 1 nem 2 também não é aceitável. Parece restar apenas a opção 1 e 2: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

32 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Uma resposta melhor Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2. A pergunta qual o caminho do fóton? só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras posição de um objeto, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)

33 Fácil de entender num modelo ondulatório C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 interferência construtiva interferência destrutiva

34 Comprimentos variáveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L1L1 L2L2 P D2 P D1 L 1, L 2 = comprimentos ajustáveis dos braços do interferômetro

35 Resultado experimental: Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton interfere com ele mesmo. Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L P D1 L 1 – L P D2 (linha tracejada: ou 1 ou 2 P D (1) + P D (2) )

36 O experimento de Grangier, Roger & Aspect C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

37 O experimento de Grangier, Roger & Aspect C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L 2 (λ/50)

38 Interferência de nêutrons C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

39 Interferência de átomos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / interferômetro de átomos A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)

40 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Interferência de elétrons A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

41 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / E se os caminhos forem distinguíveis? P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) diferença de caminhos (ajustável) interferência desaparece !

42 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / E se os caminhos forem distinguíveis? P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) o experimento real interferômetro de Ramsey

43 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) E se os caminhos forem distinguíveis? N Massa Massa = 0 caminho identificado não há padrão de interferência Massa caminho não identificado padrão de interferência

44 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) E se a informação sobre o caminho for apagada? impossível determinar o caminho interferência

45 Quando há interferência? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência (1 e 2) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente (ou 1 ou 2) não há interferência

46 Princípios da Mecânica Quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

47 Princípios da Mecânica Quântica Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Colapso do vetor de estado Evolução unitária Sistemas de N estados Sistemas compostos. Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

48 Vetores de Estado e o Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

49 Sistemas de dois estados esquerda / direita horizontal / vertical para cima / para baixo sim / não 0 / 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

50 Sistemas de dois estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / caracoroa fóton refletido fóton transmitido

51 Sistemas de dois estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A = ? a2a2 a1a1 grandeza física observável: a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 medidor de A ou

52 Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a 1 e A = a 2. Representação dos estados: pontos no eixo A C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A a1a1 a2a2 sistema tem A = a 1 sistema tem A = a 2

53 Sistemas quânticos: vetores de estado Sistema quântico de dois estados, A = a 1 e A = a 2. Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / sistema tem A = a 2 sistema tem A = a 1

54 A notação de Dirac C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / vetor identificação exemplos:

55 O que muda? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de etiquetagem dos estados. A a1a1 a2a2 O que muda é o seguinte: ?

56 O Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Qualquer combinação linear dos vetores |a 1 e |a 2 representa um estado físico do sistema.

57 Significado de | A = a 1 e A = a 2 ? esquerda e direita? horizontal e vertical? sim e não? 0 e 1? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

58 O espaço de estados é grande Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. Os estados |a 1 e |a 2 formam uma base do espaço de estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

59 Princípio da Superposição: formulação geral C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Se | e | são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.

60 Uma complicação As constantes c 1 e c 2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo). Deve-se ter cuidado com figuras como esta: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / c2c2 c1c1

61 Outras complicações Qual o significado de ortogonalidade num espaço vetorial complexo? Como se define comprimento de um vetor nesse espaço? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / ?

62 Produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / O produto escalar | dos vetores | e | é um número complexo com as seguintes propriedades: 1.| = | 1 + | 2 | = | 1 + | 2 2.| = c | | = c | 3. | = | * (* indica o conjugado complexo) 4. | 0 (note que (3) implica em | real) 5. | = 0 | = 0 (0 é o vetor nulo)

63 Produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como 1. | = | 1 + | 2 2. | c = c |

64 Produto escalar É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto. Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento: c | = c* | C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

65 Ortogonalidade Os vetores | e | são ortogonais se seu produto escalar é zero: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

66 Norma A norma || || do vetor | é definida por || || é o comprimento, tamanho, módulo do vetor | | = c | || || = |c| || || || || = 0 | = 0 outra notação: || | || || || C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

67 O produto escalar em termos das componentes C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Usando as propriedades (1), (2) e (3): Como |a 1 e |a 2 são ortogonais, a 1 |a 2 = a 2 |a 1 = 0 e portanto Como |a 1 e |a 2 têm comprimento unitário, a 1 |a 1 = a 2 |a 2 = 1, temos finalmente que:

68 As componentes em termos do produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Usando as propriedades (1) e (2) temos Como a 1 |a 1 = 1 e a 1 |a 2 = 0, Da mesma forma, Ou seja:

69 A norma em termos das componentes C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

70 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

71 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / c2c2 c1c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = a n é (n = 1, 2)

72 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / | a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 medidor de A

73 A regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Como e a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:

74 Probabilidade total C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Só há dois resultados possíveis, ou a 1 ou a 2. A probabilidade da medida resultar ou em a 1 ou em a 2 é 1 (100%)

75 Normalização do vetor de estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / | e | têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

76 Normalização do vetor de estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores normalizados: ou seja, Note que |a 1 e |a 2 já estão normalizados:

77 Vetores normalizados: a Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 medidor de A (normalizado) |

78 Vetores normalizados: a Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Em termos do produto escalar, se | está normalizado a probabilidade é dada por:

79 Amplitude de probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / c n = a n | amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade| 2 função de onda:

80 Amplitude de probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / De forma mais geral: | = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |, para um sistema no estado | P( ) = | | | 2 = probabilidade de uma medida resultar em |, para um sistema no estado | P( ) = P( ) embora | | ( | = | *)

81 Frequência dos resultados de medidas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / N medidas de A (N ) a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 N 1 a 1 N 2 a 2 podemos prever a frequência dos resultados:

82 Valor médio dos resultados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / valor médio de A: a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1

83 Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A bem definido c2c2 c1c1 c 1, c 2 0 impossível prever o resultado de uma medida ou Se

84 Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A = incerteza de A no estado | ou A = 0

85 Complementaridade e o Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

86 Complementaridade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 B A b2b2 b1b1 duas grandezas físicas: A e B

87 Grandezas compatíveis e incompatíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A e B compatíveis A e B incompatíveis A e B complementares: incompatibilidade máxima

88 O Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A e B incertos ( A 0, B 0) A bem definido, B incerto ( A = 0, B 0) B bem definido, A incerto ( B = 0, A 0)

89 O Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A e B incompatíveis nenhum estado | com A = 0 e B = 0

90 Exemplo: posição e momentum C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / X x1x1 x2x2 duas posições: |x 1, |x 2 (aqui, ali) dois estados de movimento: | p 1, |p 2 (repouso, movimento) impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

91 Resumo da cinemática quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / estado físico vetor no espaço de estados grandeza física sistema de eixos (uma base) no espaço de estados

92 Resumo da cinemática quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a 1 ou A = a 2 grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados projeção do vetor de estado no eixo |a n probabilidade da medida resultar em A = a n

93 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Colapso durante uma medida Evolução unitária (equação de Schroedinger) Como o vetor de estado muda com o tempo?

94 Colapso do Vetor de Estado

95 Colapso do vetor de estado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 antes da medida depois da medida

96 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Colapso do vetor de estado resultado A = a 2 resultado A = a 1 medida de A resulta em a n logo após a medida o vetor de estado do sistema é |a n

97 Colapso do vetor de estado O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = a n e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = a n novamente com 100% de probabilidade. O estado | a n é o único em que a nova medida resultará em A = a n com 100% de probabilidade. | |a n : a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do salto quântico. O colapso aplica-se a medidas ideais (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo: –Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais fóton após a primeira medida. –Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

98 Medidas simultâneas de duas grandezas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a2a2 a1a1 b2b2 b1b1 (A, B) ( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0) Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com A = 0 e B = 0. É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

99 Evolução Unitária

100 A equação de Schroedinger Evolução temporal do vetor de estado: | (0) | (t) Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

101 A (solução da) equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E 1, E 2

102 ћ = constante de Planck ( 2 ) Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas: A evolução | (0) | (t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem saltos quânticos) e determinista (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A (solução da) equação de Schroedinger

103 Propriedades da equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Linearidade: t = 0 t 0

104 Demonstração da linearidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

105 Propriedades da equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Conservação da norma do vetor de estado: Conservação da ortogonalidade entre vetores: tamanho não muda dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares

106 Conservação do produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / conservação da norma: conservação da ortogonalidade:

107 Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação da ortogonalidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Propriedades da equação de Schroedinger evolução unitária

108 Estados estacionários C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / | (0) e | (t) representam o mesmo estado físico. Estados de energia bem definida são estacionários. mesma direção que |E n Estado de energia bem definida E n :

109 Conservação da energia C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

110 Eq. de Schroedinger x Processos de medida Equação de Schroedinger: –contínua –determinista –válida enquanto não se faz uma medida Colapso do vetor de estado: –descontínuo –probabilístico –ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

111 Eq. de Schroedinger x Processos de medida Dois tipos de evolução temporal? Equação de Schroedinger: –interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. –A = a 1 e A = a 2 Colapso do vetor de estado : –interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o observador). –A = a 1 ou A = a 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

112 O problema da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger? a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 Descrição quântica do aparelho de medida: | | | equação de Schroedinger: o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! aparelho de medida:

113 O problema da medida Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? –Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. –Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.

114 Física quântica x física clássica Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica. N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935 …o aparato não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

115 Física quântica x física clássica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / física quântica física clássica …a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

116 Sistemas de N Estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Você está em todo lugar

117 Sistemas de 3 estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / a3a3 a1a1 a2a2 Três valores possíveis para a grandeza A:

118 Sistemas de N estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / (impossível desenhar N eixos perpendiculares) N valores possíveis para a grandeza A: aNaN a1a1 a2a2...

119 Sistemas de infinitos estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / N pode ser infinito: N pode ser infinito, e a ter valores contínuos: densidade de probabilidade: probabilidade:

120 Exemplo: a = x = posição de uma partícula Sistemas de infinitos estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / densidade de probabilidade: probabilidade: função de onda: (x)

121 Sistemas de infinitos estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos: Exemplo: a = E = energia de uma partícula

122 Produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

123 Produto escalar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

124 Sistemas Compostos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

125 Sistemas compostos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / |a n I sistema I |b s II sistema II

126 Sistemas compostos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / subsistema I |a n, b s subsistema II sistema composto

127 Produto tensorial C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A notação do produto tensorial torna evidentes algumas propriedades que os estados do sistema composto devem ter.

128 Produto tensorial C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Por exemplo: sistema I no estado sistema II no estado sistema composto no estado

129 Produto tensorial C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Note que ou, de maneira geral, Uma consequência disso é

130 Estados separáveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Estados separáveis (estados produto ou fatorizáveis): sistema I no estado |, sistema II no estado | Estado geral do sistema composto: Nem todo estado é separável, pois nem sempre.

131 Estados emaranhados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Estados não-separáveis são chamados de estados emaranhados. Exemplo: o estado não é separável, do contrário deveríamos ter o que é impossível. A primeira equação diz que todos os s e s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.

132 Estados emaranhados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Outro exemplo: a função de onda de duas partículas O estado | é separável se pois nesse caso Se o estado | é emaranhado.

133 Emaranhamento Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais. O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas, Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica. O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras. - E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics (o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

134 Aplicações a sistemas simples C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Instituto de Física Quântica Você está aqui e aqui

135 Informação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

136 Aplicações a sistemas simples Interferômetro de Mach-Zehnder Medida sem interação O problema de Deutsch Molécula de H 2 + Benzeno, amônia Polarização do fóton Oscilação de neutrinos Spin ½ Informação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / ainda não estão nestas notas

137 Interferômetro de Mach-Zehnder Interferência de uma partícula Descrição quântica do interferômetro Interferência e indistinguibilidade Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

138 O interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / % 100% D1D1 D2D2 interferência construtiva interferência destrutiva ondas

139 O interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 1 e D 2 nunca disparam em coincidência partículas % 25%

140 Descrição quântica do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / (caminho 1) (caminho 2)

141 Espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidades:

142 Semiespelho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 evolução unitária

143 Semiespelho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade

144 Interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D

145 Interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial:

146 Interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é interferência destrutiva interferência construtiva P 1 = 100% P 2 = 0%

147 O que interfere? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

148 Caminho bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D2D2 D1D1

149 Caminho bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial: Bloqueio: fóton bloqueado

150 Caminho bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P 1 = 25% P 2 = 25% P = 50%

151 Por que não há interferência? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / (1-1-1) (1-1-2) não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência (1-2- )

152 Caminhos alternativos distinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 mola

153 Caminhos alternativos distinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial: 1, 2: caminho do fóton R: espelho em repouso M: espelho em movimento

154 Caminhos alternativos distinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P 1 = P(1, R) + P(1, M) = 50% P 2 = P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes

155 Apagando a informação sobre o caminho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 1 100% D 2 0% mola

156 Apagando a informação sobre o caminho C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

157 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L 2 (λ/50) As probabilidades P 1 e P 2 dependem de diferenças entre os dois caminhos. distância percorrida densidade do material atravessado

158 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / características do caminho percorrido fase 1 2

159 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2 1 2

160 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Primeiro semiespelho: Estado inicial: Defasadores:

161 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Segundo semiespelho: ou seja,

162 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Após o segundo semiespelho: Probabilidades: 1 – P1P1 1 – P2P2

163 Defasagem C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / L 1 – L 2 (λ/50) após uma distância extra x:

164 Medida sem interação C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

165 O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / fóton fósforo bom fósforo ruim

166 O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / palitos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

167 Teste clássico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / palito ruim palito bom queimado

168 Teste quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D2

169 Palito ruim C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 1 100% D 2 0% transparente palito ruim D 2 nunca dispara

170 Palito bom C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D 2 25% D 1 25% 50% palito bom D 2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto

171 Teste quântico D 2 fósforo bom intacto D 1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim Fósforo acende fósforo bom queimado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Dos fósforos bons: 25% estão identificados e intactos 50% foram queimados 25% em dúvida Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

172 O problema de Deutsch C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Como saber se uma moeda é honesta ou viciada? 1ª lado2ª lado moeda honesta 1ª lado2ª lado moeda viciada

173 O problema de Deutsch C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Resposta clássica: olhando os dois lados 1ª lado2ª lado 4 possibilidades honesta viciada

174 O problema de Deutsch C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton? Aparentemente, não!

175 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / cara: = 0 coroa: = D1D1 D2D2 2 1

176 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / cara: = 0 coroa: = D1D1 D2D

177 Vendo os dois lados da moeda com um único fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D1D1 D2D moeda honesta: 1 2 fóton em D 2 moeda viciada: fóton em D 1

178 O início da computação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p (1985). D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p (1992). R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p (1998). x = 0x = 1 f1f1 00 f2f2 11 f3f3 01 f4f4 10 f constante f balanceada É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?

179 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Mais aplicações a sistemas simples Molécula de H2+, benzeno, corante (Feynman). Maser de amônia. (Feynman, Basdevant, Le Bellac) Oscilação de neutrinos (Basdevant 2) Exemplos - Le Bellac. Polarização do fóton. (Le Bellac, Martin, Moyses) Spin ½. Relógio de Césio (Basdevant) Canais acoplados: transmissão por barreiras. Descoerência, efeito Zeno (M. Berry)

180 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Mais aplicações (sistemas de N estados) N posições (Feynman). Molécula da benzeno (ver Le Bellac). Cristais; bandas (depois de férmions?)

181 Realismo, Contextualidade e Localidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?

182 Variáveis ocultas C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / variável oculta que determina o valor de A Medidas: revelam um valor preexistente? criam o resultado encontrado? grandeza medida no experimento

183 Experimentos com um sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / III A I = 1 A II = 1 B II = 1 B I = 1 incompatíveis compatíveis

184 Quatro experimentos com um sistema composto Quatro experimentos possíveis: 1)Medida de A I e A II A I = +1 e A II = +1 encontrado algumas vezes 2)Medida de A I e B II A I = +1 e B II = +1 nunca encontrado 3)Medida de B I e A II B I = +1 e A II = +1 nunca encontrado 4)Medida de B I e B II B I = -1 e B II = -1 nunca encontrado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

185 Quatro experimentos com um sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999) 1)P(A I, A II ) (em %) grau de emaranhamento 2)P(A I, B II ) = 0 3)P(B I, A II ) = 0 4)P(B I, B II ) = 0

186 Experimentos com um sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A I = +1A II = +1 B I = -1B II = -1 sempre Se os valores de A I, A II, B I e B II já existiam antes das medidas: !! Mas B I = B II = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!

187 Estados de Hardy C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / estado emaranhado P(B I, B II ) = 0 experimento 4 L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz- Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992). L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

188 Estados de Hardy C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Experimentos 1, 2 e 3:

189 Estados de Hardy C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Experimentos 1, 2 e 3: 3) 2) 1)

190 Contextualidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / o que está sendo medido em 2 (A 2 ou B 2 ) a2a2 a1a1 b2b2 b1b1 (A, B)

191 Contextualidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / o que está sendo medido em II (A II ou B II ) o que está sendo medido em I (A I ou B I )

192 Não-localidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / III AIAI A II B II BIBI

193 O teorema de Bell C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica é necessariamente não-local.

194 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / A fazer: Partículas idênticas Simetrias Posição e momentum Partícula em 1 dimensão: aplicações –Partícula livre. –Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc. –Oscilador harmônico (começar com a, a+ e terminar com x,p) Soma sobre caminhos (?)

195 Citações C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

196 Dirac: colapso e salto quântico … a sudden jump from being partly in each of these two states to being entirely in one or other of them. Which of the two states it will jump into cannot be predicted, but is governed only by probability laws. (p.7) When we measure a real dynamical variable, the disturbance involved in the act of measurement causes a jump in the state of the dynamical system. From physical continuity, if we make a second measurement of the same dynamical variable immediately after the first, the result of the second measurement must be the same as that of the first. Thus after the first measurement has been made, there is no indeterminacy in the result of the second. Hence, after the first measurement has been made, the system is in an eigenstate of the dynamical variable, the eigenvalue it belongs to being equal to the result of the first measurement. This conclusion must still hold if the second measurement is not actually made. In this way we see that a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured, the eigenvalue this eigenstate belongs to being equal to the result of the measurement. (p.16) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

197 Dirac e o princípio da superposição...a new set of accurate laws of nature is required. One of the most fundamental and most drastic of these is the Principle of Superposition of States. (p.4) When a state is formed by the superposition of two other states, it will have properties that are in some vague way intermediate between those of the two original states and that approach more or less closely to those of either of them according to the greater or less 'weight' attached to this state in the superposition process. (p.13) people have tried to establish analogies with systems in classical mechanics, such as vibrating strings or membranes, which are governed by linear equations and for which, therefore, a superposition principle holds. Such analogies have led to the name 'Wave Mechanics' being sometimes given to quantum mechanics. It is important to remember, however, that the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory, as is shown by the fact that the quantum superposition principle demands indeterminacy in the results of observations in order to be capable of a sensible physical interpretation. The analogies are thus liable to be misleading. (p.14) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

198 Dirac e o vetor de estado It is desirable to have a special name for describing the vectors which are connected with the states of a system in quantum mechanics, whether they are in a space of a finite or an infinite number of dimensions. We shall call them ket vectors, or simply kets, and denote a general one of them by a special symbol |>. If we want to specify a particular one of them by a label, A say, we insert it in the middle, thus |A>. The suitability of this notation will become clear as the scheme is developed. (p.15) … a further assumption, namely the assumption that by superposing a state with itself we cannot form any new state, but only the original state over again. […] Thus a state is specified by the direction of a ket vector and any length one may assign to the ket vector is irrelevant. (p.17) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

199 Heisenberg When one wants to be clear about what is to be understood by the words "position of the object," for example of the electron (relative to a given frame of reference), then one must specify definite experiments with whose help one plans to measure the "position of the electron"; otherwise this word has no meaning. - W. Heisenberg (1927), The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.62 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

200 Heisenberg e o colapso do vetor de estado […] the act of registration of the result in the mind of the observer. The discontinuous change in the probability function […] takes place with the act of registration, because it is the discontinuous change in our knowledge in the instant of registration that has its image in the discontinuous change of the probability function. (p. 55) When the old adage Natura non facit saltus (Nature makes no jumps) is used as a basis of a criticism of quantum theory, we can reply that certainly our knowledge can change suddenly, and that this fact justifies the use of the term quantum jump. (p. 54) -- W. Heisenberg, Physics and Philosophy (Harper, 1958) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

201 Heisenberg sobre Bohr e a complementaridade Bohr was trying to allow for the simultaneous existence of both particle and wave concepts, holding that, though the two were mutually exclusive, both together were needed for a complete description of atomic processes. I disliked this approach. I wanted to start from the fact that quantum mechanics as we then knew it already imposed a unique physical interpretation... so that it looked very much as if we no longer had any freedom with respect to that interpretation. Instead, we would have to try to derive the correct general interpretation by strict logic from the ready-to-hand, more special interpretation. - W. Heisenberg, Physics and beyond, Harper and Row, 1971, p. 76 (ver A. Pais, Niels Bohrs times, p. 303) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

202 Heisenberg sobre Bohr e a complementaridade The main point was that Bohr wanted to take this dualism between waves and corpuscles as the central point of the problem, and to say, 'That is the center of the whole story, and we have to start from that side of the story in order to understand it.' I, in some way would say, 'Well, we have a consistent mathematical scheme and this consistent mathematical scheme tells us everything which can be observed. Nothing is in nature which cannot be described by this mathematical scheme.' It was a different way of looking at the problem because Bohr would not like to say that nature imitates a mathematical scheme, that nature does only things which fit into a mathematical scheme. (cont.) - W. Heisenberg, interview by T.S.Kuhn, 1963 (ver A. Pais, Niels Bohrs times, p ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

203 Heisenberg sobre Bohr e a complementaridade (cont.) While I would say, ' Well, waves and corpuscles are, certainly, a way in which we talk and we do come to these concepts from classical physics. Classical physics has taught us to talk about particles and waves, but since classical physics is not true there, why should we stick so much to these concepts? Why should we not simply say that we cannot use these concepts with a very high precision, therefore the uncertainty relations, and therefore we have to abandon these concepts to a certain extent. When we get beyond this range of the classical theory, we must realize that our words don't fit. They don't really get a hold in the physical reality and therefore a new mathematical scheme is just as good as anything because the new mathematical scheme then tells what may be there and what may not be there. Nature just in some way follows the scheme. - W. Heisenberg, interview by T.S.Kuhn, 1963 (ver A. Pais, Niels Bohrs times, p ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

204 Pauli The first question is... why not the p's as well as the q's can be prescribed with arbitrary precision... One can look at the world with the p-eye and one can look at it with the q-eye but when one would like to open both eyes, then one gets dizzy. W. Pauli, letter to W. Heisenberg, 19 October 1926, p. 340 (ver A. Pais, Niels Bohrs times, p. 304) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

205 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Bohr It is decisive to recognize that, however far the phenomena transcend the scope of classical physical explanation, the account of all evidence must be expressed in classical terms. The argument is simply that by the word experiment we refer to a situation where we can tell others what we have done and what we have learned and that, therefore, the account of the experimental arrangement and of the results of the observations must be expressed in unambiguous language with suitable application of the terminology of classical physics. This crucial point […] implies the impossibility of any sharp separation between the behaviour of atomic objects and the interaction with the measuring instruments which serve to define the conditions under which the phenomena appear. - N. Bohr (1949), Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.17-18

206 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Bohr … I warned especially against phrases, often found in the physical literature, such as "disturbing of phenomena by observation" or "creating physical attributes to atomic objects by measurements." Such phrases, which may serve to remind of the apparent paradoxes in quantum theory, are at the same time apt to cause confusion, since words like "phenomena" and "observations," just as "attributes" and "measurements," are used in a way hardly compatible with common language and practical definition. As a more appropriate way of expression I advocated the application of the word phenomenon exclusively to refer to the observations obtained under specified circumstances, including an account of the whole experimental arrangement. - N. Bohr (1949), Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.45-46

207 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / Bohr... a limitação fundamental, encontrada na física atômica, da existência objetiva de fenômenos independentemente dos meios para sua observação. –N. Bohr, Física Atômica e Conhecimento Humano, p.10 The argument is above all that the measuring instruments, if they are to serve as such, cannot properly be included in the domain of application of quantum mechanics. –N. Bohr, letter to Schrödinger, October 26, 1935 (ver Muynck, p.XX)

208 Bell I mean too, by serious, that apparatus should not be separated off from the rest of the world into black boxes, as if it were not made of atoms and not ruled by quantum mechanics. Information? Whose information? Information about what? There can be no question – without changing the axioms of getting rid of the shifty split. Sometimes some authors of quantum measurement theories seem to be trying to do just that. It is like a snake trying to swallow itself by the tail. It can be done - up to a point. But it becomes embarrassing for the spectators even before it becomes uncomfortable for the snake. [descoerência?!] The idea that elimination of coherence, in one way or another, implies the replacement of and by or, is a very common one among solvers of the measurement problem. It has always puzzled me. To restrict quantum mechanics to be exclusively about piddling laboratory operations is to betray the great enterprise. (Against measurement, Physics World, August 1990) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

209 Landau e Lifshitz... the classical object is usually called apparatus and its interaction with the electron is spoken of as measurement. However, it must be emphasised that we are here not discussing a process... in which the physicist-observer takes part. By measurement, in quantum mechanics, we understand any process of interaction between classical and quantum objects, occurring apart from and independently of any observer. The importance of the concept of measurement in quantum mechanics was elucidated by N Bohr. (p.2)... Thus quantum mechanics occupies a very unusual place among physical theories: it contains classical mechanics as a limiting case, yet at the same time it requires this limiting case for its own formulation... " (p.3) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

210 Gottfried e Yan It is natural to take it for granted that a particular value a displayed by a particular measurement of an observable A simply reveals a pre-existing value possessed by that individual specimen S, just as your head has a definite circumference before the tape measure is unfurled in a statistical study of the egos of physicists. This entirely sensible supposition is not valid, however: Values cannot be ascribed to observables prior to measurement; such values are only the outcomes of measurement. The common-sense inference that measurements reveal pre-existing values leads to implications that are contradicted by experiment, and are also incompatible with the Hilbert space structure of quantum mechanics. This conclusion is not obvious, and was not established firmly until some three decades after the discovery of quantum mechanics. The reasoning and experiments that lead to it will be given in chapter 12, but the conclusion is stated here to abort seductive misconceptions. p C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

211 Schlosshauer Whereas such superpositions of states have been experimentally extensively verified for microscopic systems (for instance, through the observation of interference effects), the application of the formalism to macroscopic systems appears to lead immediately to severe clashes with our experience of the everyday world. A book has never been observed to be in a state of being both here and there (i.e., to be in a superposition of macroscopically distinguishable positions), nor does a Schrödinger cat that is a superposition of being alive and dead bear much resemblance to reality as we perceive it. The problem is, then, how to reconcile the vastness of the Hilbert space of possible states with the observation of a comparatively few classical macroscopic states, defined by having a small number of determinate and robust properties such as position and momentum. Why does the world appear classical to us, in spite of its supposed underlying quantum nature, which would, in principle, allow for arbitrary superpositions? (M. Schlosshauer, RMP v. 76, p. 1268, 2004) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

212 tHooft Quantum mechanics is not a theory about reality, it is a prescription for making the best possible predictions about the future if we have certain information about the past. -G. tHooft. Journ. Stat. Phys. 53, 323 (1988) (ver Muynck p. xxi) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

213 Weinberg As Bohr acknowledged, in the Copenhagen interpretation a measurement changes the state of a system in a way that cannot itself be described by quantum mechanics. This can be seen from the interpretive rules of the theory. If we measure an observable represented by an Hermitian operator A, and the system is initially in a normalized superposition […] of orthonormal eigenvectors […] of A with eigenvalues a n, then the state will collapse during the measurement to a state in which the observable has a definite one of the values a n, and the probability of finding the value a n is given by what is known as the Born rule […]. This interpretation of quantum mechanics entails a departure from the dynamical assumptions of quantum mechanics during measurement. In quantum mechanics the evolution of the state vector described by the time-dependent Schrödinger equation is deterministic. If the time-dependent Schrödinger equation described the measurement process, then whatever the details of the process, the end result would be some definite state, not a number of possibilities with different probabilities. This is clearly unsatisfactory. If quantum mechanics applies to everything, then it must apply to a physicists measurement apparatus, and to physicists themselves. On the other hand, if quantum mechanics does not apply to everything, then we need to know where to draw the boundary of its area of validity. Does it apply only to systems that are not too large? Does it apply if a measurement is made by some automatic apparatus, and no human reads the result? -- S. Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics (2013) p. 82 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

214 Cartoons C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

215 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica /

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