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MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2. TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las.

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1 MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2

2 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

3 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 3 Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

4 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Escalares e Vetores Escalar é uma grandeza caracterizada por um número positivo ou negativo; exemplos: massa, volume e comprimento. Vetor é uma grandeza que possui módulo, direção e sentido; exemplos: posição, força e momento. Escalar = A = A =A Vetor = A = A

5 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Operações com Vetores Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar: Multiplicação do vetor A pelo scalar a aA Módulo = aA Mesmo sentido de A se a > 0; contrário se a < 0 Divisão do vetor A pelo escalar a (1/a)A ; a 0

6 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Operações com Vetores Adição Vetorial: Dois vetores adicionados formam o vetor resultante R A + B = B + A = R

7 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Operações com Vetores Adição Vetorial: Vetores colineares

8 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Operações com Vetores Subtração Vetorial: A diferença entre dois vetores produz o vetor resultante R A - B = A + (-B) = R´

9 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Operações com Vetores Decomposição Vetorial: Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo. R = A + B

10 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de Forças Vetoriais Uma força é uma grandeza vetorial pois tem módulo, direção e sentido e pode ser adicionada de acordo com a regra do paralelogramo.

11 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de Forças Vetoriais Se mais do que duas forças precisam ser adicionadas, sucessivas aplicações da regra do paralelogramo devem ser utilizadas para obter a resultante. F 1 + F 2 + F 3 = (F 1 + F 2 ) + F 3

12 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 12 Procedimento de Análise A + B = C Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos

13 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 13 Problema 2.2 Determine o módulo da força resultante se: (a) F R = F 1 + F 2 (b) F R = F 1 – F 2

14 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 14 Problema 2.2 (a) Adição Vetorial: Usando a regra do paralelogramo: 100 N 60° 45° 105° 80 N R 75°

15 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 15 Problema 2.2 Usando a lei dos cosenos: 100 N 80 N FRFR 75° 100 N 60° 45° 105° 80 N R 75°

16 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 16 Problema 2.2 (b) Subtração Vetorial: F 1 = 100 N 60° 45° 105° F 2 = 80 N F R - F 2

17 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 17 Problema 2.2 Usando a lei dos cosenos: F 1 = 100 N 105° F R - F 2 F 1 = 100 N 60° 45° 105° F 2 = 80 N F R - F 2

18 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 18 Problema 2.A Dadas as duas forças mostradas pela figura. a. Calcule a resultante das duas forças. b. Decomponha as duas forças nas direções u e v

19 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 19 Procedimento de Análise A + B = C Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos

20 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 20 Problema 2.A a. Calcule a resultante das duas forças

21 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 21 Problema 2.A b. Decomponha as duas forças nas direções u e v

22 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Operações com Vetores Decomposição Vetorial: Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo. R = A + B

23 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 23 Problema 2.A Decompondo F 1 nas direções u e v

24 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 24 Problema 2.A Decompondo F 1 nas direções u e v

25 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 25 Problema 2.A Decompondo F 2 nas direções u e v

26 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 26 Problema 2.A Decompondo F 2 nas direções u e v

27 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 27 Exemplo 2.2 Decomponha a força de 200-lb atuando no tubo em componentes (a) direções x e y, e (b) direções x e y.

28 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 28 Exemplo 2.2 Usando a regra do paralelogramo para decompor F A adição vetorial é dada por F = F x + F y

29 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 29 Exemplo 2.2 Parte (a) Do triângulo abaixo: F x = 200 lb cos 40° = 153 lb e F y = 200 lb sin 40 ° = 129 lb

30 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 30 Exemplo 2.2 Parte (b): A adição vetorial é dada por F = F x + F y

31 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 31 Exemplo 2.2 Aplicando a regra do paralelogramo:

32 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 32 Exemplo 2.2 Aplicando a lei dos senos:

33 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 33 Problema 2.30 Três cabos puxam um tubo criando uma resultante de módulo igual a 900 lb. Se dois destes cabos são sujeitos a forças conhecidas, mostradas pela figura, determine a direção do terceiro cabo para que o módulo da força F neste cabo seja mínimo. As forças são coplanares, plano x-y. Qual é o módulo de F? Dica: primeiro encontre a resultante das forças conhecidas.

34 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 34 Problema 2.30 F 105° 400 lb 600 lb Usando a regra do paralelogramo para encontrar a resultante dos vetores conhecidos:

35 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 35 Problema 2.30 F 105° 400 lb 600 lb F 105° 400 lb 600 lb F

36 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 36 Problema 2.30 – simulando F com angulo de F F F F 180°- F 900 lb

37 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 37 Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

38 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Escalar: As componentes de F são F x e F y As componentes de F são F x e –F y Esta notação é usada somente para efeito de cálculos, não para representação gráfica nas figuras Graficamente, a ponta da seta determina o sentido do vetor.

39 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Vetorial Cartesiana: Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente i e j possuem módulo unitário adimensional Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos F = F x i + F y j

40 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 40 F = F x i + F y (- j ) ou F = F x i - F y j 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Vetorial Cartesiana: Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente i e j possuem módulo unitário adimensional Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos

41 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: Decomponha cada força nas direções x e y F 1 = F 1x i + F 1y j F 2 = - F 2x i + F 2y j F 3 = F 3x i - F 3y j

42 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: Adicione os respectivos componentes usando algebra escalar simples pois eles são colineares F R = F 1 + F 2 + F 3 = F 1x i + F 1y j - F 2x i + F 2y j + F 3x i - F 3y j = ( F 1x - F 2x + F 3x ) i + ( F 1y + F 2y - F 3y ) j = ( F Rx ) i + ( F Ry ) j

43 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: F R = ( F Rx ) i + ( F Ry ) j onde (+ ) F Rx = F 1x - F 2x + F 3x (+ ) F Ry = F 1y + F 2y - F 3y

44 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: De uma forma geral

45 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 45 Problema 2.33 Determine o módulo da força F tal que a resultante F R das três forças seja a menor possível.

46 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 46 Problema Solução A regra do paralelogramo é usada para decompor F, F 1 e F 2 y 45º F FxFx FyFy F 2 =12kN F 1 =20kN F 1x F 1y x

47 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 47 Problema Solução Notação Escalar: Somando os componentes algebricamente: y 45º F FxFx FyFy F 2 =12kN F 1 =20kN F 1x F 1y x

48 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 48 Problema Solução O módulo da resultante F R é:

49 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 49 Problema Solução

50 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 50 Problema Solução

51 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 51 Problema Solução

52 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 52 Problema 2.33 – Solução pelo Excel O módulo da resultante FR é: Utilizando o Excel coloque F numa célula (A2) e a fórmula de F R em outra (B2). Se Dados/Solver não estiver disponível, ative o mesmo em Arquivo/Opções/Suplementos/G erenciar Suplementos do Excel ver arquivo incluso

53 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 53 Problema 2.33 – Solução pelo Excel Defina B2 como Objetivo (Target), selecione Min como valor do objetivo e A2 como a célula variável. Clique em Resolver (Solve) e o problema estará resolvido. A solução será: F = 11.3 kN com F R = kN


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