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Fractais I José Garcia Vivas Miranda. 1º Dia Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los;

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1 Fractais I José Garcia Vivas Miranda

2 1º Dia Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

3 ... final século XIX e inicio do XX, Henrí Poincaré abre um caminho comum entre o simples (previsível) e o complexo (caótico)... Dinâmicas simples poderiam gerar formas complexas.... em paralelo, matemáticos como, Cantor, Peano, Hilbert iniciaram mudanças profundas nos conceitos de topologia, os Monstros matemáticos Richardson em 1961 se pergunta: Quanto mede um costa litorânea... (exemplo da fronteira ES-PT) Mandelbrot junta tudo ecunha o termo FRACTAL Histórico

4 TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

5 Que são fractais Definições formais: Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão Hausdorff Um fractal é uma figura feita de partes similares ao todo de alguma forma Mandelbrot CONCEITOS

6 Que são fractais Idéia de autosemelhança

7 Semelhança entre escalas (autosemelhança) Cada tipo de árvore tem um padrão de autosemelhança próprio. Que são fractais

8 Autosemelhança em estruturas naturais Que são fractais

9 Autosemelhança em estruturas naturais Que são fractais

10 Fractais e a Natureza NATUREZA

11 Fractais e a Natureza Exemplo de autosemelhança

12 Fractais e a Natureza Fractais estão por todas as partes. Nuvens; Montanhas; Árvores; Pulmões; Rochas; Coração; Chuvas; Música; Estrelas; Passag. do Ferry; Ruídos; etc..

13 Fractais e a Natureza Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ? Para responder temos que conhecer os Monstros Matemáticos.

14 TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

15 Monstros Matemáticos O Conjunto de Cantor

16 Monstros Matemáticos A Curva de Koch

17 Monstros Matemáticos A Curva de Peano

18 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings. F == Passo a frente + == Gira a direita de um ângulo A - == Gira a esquerda de um ângulo A Gerador F F-F++F-F Ângulo de 60º. Exemplo da curva de Koch F (F – F ++ F – F) (F-F++F-F)- (F-F++F-F)++ (F-F++F-F)- (F-F++F-F)...

19 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings. F F FF F

20 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II (Os fantasmas) F== Passo a frente +== Gira a direita de um ângulo A -== Gira a esquerda de um ângulo A X== Não faz nada Y== Não faz nada FX F X + Y F + F (X + Y F +) + (- F X - Y) F +... Gerador F X X+YF+ Y -FX-Y Ângulo de 90º. Exemplo do dragão

21 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II (Os fantasmas) Exemplo do dragão

22 F== Passo a frente +== Gira a direita de um ângulo A -== Gira a esquerda de um ângulo A X== Não faz nada Y== Não faz nada [== Salva posição corrente. ]== Recupera posição corrente. Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte III (As Arvores) Exemplo da Arvore Gerador F FF-[-F+F+F+F]+[+F-F-F] Ângulo de 22º.

23 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Exemplo da Arvore

24 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR OBSERVAÇÃO Não sei se deu para perceber, mas até aqui todos as figuras são, perfeitamente DETERMINÍSTICAS!!!! Conceito de simples complexo de Poincaré

25 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade. A curva de Koch aleatória Ângulos aleatórios.

26 Monstros Matemáticos COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade. Arvore aleatória Ângulos aleatórios.

27 TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;

28 Monstros Matemáticos CARACTERIZANDO Qual o comprimento da curva de Koch ? Mas antes, o que é comprimento ? L = N( ) Se medimos o N( ) para diferentes escalas: N( ) = 1/ 111 0,521 0,2541 0,12581 N( ) L

29 Dimensão Fractal Fazendo o mesmo para áreas... L = N( ) N( ) = 1/

30 Dimensão Fractal E para a Curva de Koch ? Que utilizar? Segmentos ou ladrilhos? Se utilizamos segmentos N( ) = 1 N( ) = 4 N( ) = 16 N( ) = 64 N( ) = 1/ 111 0,33341,3 0,111161,8 0,037642,4 N( ) L

31 Dimensão Fractal Juntando tudo... Topologicamente a curva de Koch esta entre uma reta e um plano. Generalizando... N( ) = 1/ D onde D é a dimensão Fractal do objeto Este método é conhecido como contagem de caixas. (box counting)

32 Dimensão Fractal Método de contagem de caixas Calcular a dimensão fractal de sua assinatura!!! Calcular a dimensão fractal de uma imagem (programa Robson).

33 Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ? Dimensão Fractal Resp.: Uma questão de economia!!

34 Dimensão Fractal Conceito topológico de Dimensão Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão Hausdorff

35 Dimensão Fractal Prática, Calcular a dimensão fractal de uma bolinha de papel!!!

36 Dimensão Fractal Dever de casa, Construir um novo Fractal! Pensar em um método para calcular D para papeis rasgados.


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