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Material de apoio: interacção gravítica Lei Universal da Gravitação – Isaac Newton sec. XVII cada partícula do Universo atrai outra com uma força que.

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2 Material de apoio: interacção gravítica Lei Universal da Gravitação – Isaac Newton sec. XVII cada partícula do Universo atrai outra com uma força que é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas formam par acção/reacção constante gravítica universal Nota: Lei formulada para massas pontuais força que m 2 exerce em m 1 força que m 1 exerce em m 2

3 Material de apoio: interacção gravítica massa gravítica e massa inercial força gravítica que M exerce em m massa gravítica lei fundamental da dinâmica massa inercial experiência mostra que a razão das massa gravítica e inercial tem o mesmo valor para todos os objectos massas gravítica e inercial podem ser feitas iguais por ajuste da constante G referencial do CM de M

4 Material de apoio: interacção gravítica Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura: numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição, é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

5 Material de apoio: interacção gravítica Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura: numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior, é nula; o cancelamento de todas as forças é exacto

6 Material de apoio: interacção gravítica Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição, é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

7 Material de apoio: interacção gravítica Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade : numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior de vector posição, é equivalente à força que seria exercida uma massa M pontual colocada no seu centro, onde M é a massa contida na esfera de raio r camada que não contribui para a força gravítica

8 Material de apoio: interacção gravítica Campo gravítico,, gerado pela massa M no ponto P de vector posição - no referencial fixo ao CM de M Nota: pode ser interpretado como a força gravítica que M exerce numa massa unitária colocada em P condição criada no espaço por M, tal que uma massa m colocada em P fica sujeita à força gravítica

9 Material de apoio: interacção gravítica Peso da massa m – força gravítica que o planeta, de massa M p e raio R p, exerce em m à altura h da sua superfície correcção do peso com a altura aproximação corrente Terra - massa do planeta raio do planeta vertical do lugar horizontal do lugar

10 Material de apoio: interacção gravítica Energia potencial gravítica força gravítica conservativa deriva de uma energia potencial energia potencial da massa m sob a acção do campo gravítico criado por M no referencial fixo ao CM de M – só depende do módulo de : resulta do facto da força ser central

11 Material de apoio: interacção gravítica Energia potencial gravítica de m à altura h da superfície de um planeta de massa M p e raio R p aproximação corrente Terra - massa do planeta raio do planeta vertical do lugar horizontal do lugar

12 Material de apoio: interacção gravítica Energia mecânica de m sujeita apena à acção da força gravítica conserva-se no referencial do CM de M conserva-se energia potencial aumenta com r energia cinética diminui com r

13 Material de apoio: interacção gravítica Energia potencial do sistema de duas massas energia potencial do sistema só depende da coordenada relativa independente do sistema de referência no referencial do CM do sistema

14 Material de apoio: interacção gravítica Energia mecânica do sistema de duas massas energia mecânica do sistema conserva-se no referencial do CM do sistema m 1 >>>m 2 CM do sistema coincide aproximadamente com CM de m 1 e v 1 ~0 dinâmica do sistema é descrita pela dinâmica de m 2 no referencial do CM de m 1

15 Material de apoio: interacção gravítica potencial gravítico, V(r), gerado pela massa M no ponto P de vector posição - no referencial fixo ao CM de M Nota: V(r) pode ser interpretado como a energia potencial gravítica de uma massa unitária colocada no campo gravítico criado por M em P condição criada por M no espaço, tal que uma massa m colocada em P adquire a energia potencial gravítica E p

16 Material de apoio: interacção gravítica Campo e potencial gravítico gerado por uma distribuição de N massas no ponto P, de vector posição campo criado pela massa m i força exercida numa massa unitária força é uma grandeza aditiva campo gravítico total criado pela distribuição de N massas no ponto P potencial criado pela massa m i energia de uma massa unitária energia é uma grandeza aditiva potencial gravítico total criado pela distribuição das N massas no ponto P

17 Material de apoio: interacção gravítica Momento Angular momento angular de um objecto sob a acção de uma força gravítica conserva-se força central vectores paralelos momentos calculados relativamente ao sistema soliário com CM de M perpendicular ao plano da trajectória formado por e constante plano da trajectória constante movimento plano

18 Material de apoio: interacção gravítica Momento Angular e r variam por forma a que L permaneça constante

19 Material de apoio: interacção gravítica Força gravítica e trajectória circular ex: órbita circular de um satélite em torno de um planeta planeta e satélites esferas homogéneas referencial do CM do planeta força puramente normal norma da velocidade é constante relação entre o raio da órbita e a velocidade com que é descrita raio do planeta altitude da órbita

20 Material de apoio: interacção gravítica Força gravítica e trajectória circular satélite geoestacionário: em órbita equatorial, mantem-se sobre o mesmo ponto da superfície do planeta movimentos de rotação do planeta e satélite têm a mesma velocidade angular velocidade angular constante período do movimento de rotação do planeta Ex: satélite geoestacionário da Terra altitude de um satélite geoestacionário

21 Material de apoio: interacção gravítica Velocidade de escape - v e velocidade mínima comunicada a um objecto à superfície de um planeta por forma a escapar ao seu campo gravítico velocidade que lhe permite chegar ao infinito com velocidade nula conservação da energia mecânica raio do planeta massa do objecto massa do planeta energia à superfície do planeta energia no infinito Ex: Terra - objecto escapa - trajectória aberta objecto não escapa - trajectória fechada

22 Material de apoio: interacção gravítica Velocidade de escape - v e objecto escapa, independentemente da direcção de lançamento, desde que momento angular é conservado em qualquer das situações: lançamento radial vectores paralelos indeterminação matemática por continuidade lançamento não radial vectores não paralelos indeterminação matemática por continuidade

23 Material de apoio: interacção gravítica Distância máxima num lançamento com v i

24 Material de apoio: interacção gravítica Distância máxima num lançamento com v i

25 Material de apoio: interacção gravítica Distância máxima num lançamento com v i


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