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Alysson M. Costa – ICMC/USP Tópicos em otimização combinatória Introdução.

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1 Alysson M. Costa – ICMC/USP Tópicos em otimização combinatória Introdução

2 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Otimização combinatória Otimização: De maneira informal: é a busca da melhor solução para um problema. Esta busca pode ser exata ou heurística.

3 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Otimização combinatória Combinatória: De maneira informal: combinatória é o ramo da matemática que estuda estruturas discretas finitas ou contáveis.

4 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Exemplo Problema do caixeiro viajante

5 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante

6 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Um problema fácil

7 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook Um problema fácil

8 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook Um problema nem tão fácil

9 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante (estética!) The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

10 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Polivanova, N. I. Functional and structural aspects of the visual components of intuition in problem solving Voprosy Psikhologii, 1974, 4, 41-51 - problemas representados geometricamente £ problemas onde as distâncias são dadas para cada par de cidades.

11 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Vickers, D.; Butavicius, M.; Lee, M. & Medvedev, A. Human performance on visually presented Traveling Salesman problems Psychological Research, 2001, 65, 34-45 Otimização x Estética

12 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Ormerod, T. C. & Chronicle, E. P. Global perceptual processes in problem solving: The case of the traveling salesperson. Perception & Psychophysics, 1999, 61, 1227-1238 Associar escala (1-melhor; 5-pior) a estética de soluções do TSP

13 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/tsp/

14 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

15 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

16 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante (história) Schrijver, A. Aardal, K.; Nemhauser, G. L. & Weismantel, R. (ed.) On the history of combinatorial optimization (till 1960), Handbooks in Operations Research and Management - Discrete Optimization, 2005, 12, 1–68. David Applegate, Robert Bixby,Vašek Chvátal & William Cook. The Traveling Salesman Problem: A Computational Study Princeton Series in Applied Mathematics, February 2007. http://www.tsp.gatech.edu/

17 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante (história) Século XIX Sir William Rowan Hamilton (matemático irlandês) Thomas Penyngton (matemático britânico) Hamilton Icosian game

18 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante (história) - cavaleiros... O passeio do cavalo (the Knight's tour) Leonhard Paul Euler (1707-1783) Knight's tour

19 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante (história) - cavaleiros... Euller

20 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante (história) - cavaleiros... Exercício: como transformar no TSP ? ?

21 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Caixeiro viajante (história) Século XIX - Um manual de 1832

22 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Século XIX - Um manual de 1832 Business leads the traveling salesman here and there, and there is not a good tour for all occurring cases; but through an expedient choice division of the tour so much time can be won that we feel compelled to give guidelines about this.

23 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Século XIX - Um manual de 1832 Everyone should use as much of the advice as he thinks useful for his application. We believe we can ensure as much that it will not be possible to plan the tours through Germany in consideration of the distances and the traveling back and fourth, which deserves the travelers special attention, with more economy. The main thing to remember is always to visit as many localities as possible without having to touch them twice.

24 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Solução viável O que é uma solução viável para o problema ? Respeita todas as restrições: = O caminho se inicia e termina em um nó = Cada nó é visitado uma única vez = Não existem subciclos

25 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Solução viável Note que podemos enumerar as soluções viáveis para o problema do caixeiro viajante: O primeiro nó pode ser tomado arbitrariamente. Temos as soluções viáveis: 123456 123465 123645... Quantas são ? (n-1)! = 5! = 120

26 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Cidades Número de soluções 6720 75040 840320 9362880 10 3628800... 302.6525286 × 10 32

27 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Mas...... não existem outras técnicas melhores que enumeração explícita ? Sim, existem. Mas nenhuma técnica conhecida que resolva eficientemente problemas como o caixeiro viajante. Por isso, recorremos a estratégias heurísticas, que não garantem a otimalidade mas costumam obter soluções de boa qualidade. Neste curso, tentaremos entender que problemas têm (e os que não têm) esta característica de serem difíceis, e estudar heurísticas de diversos tipos para sua resolução aproximada.

28 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar 2009. 11:37 Esboço do curso Noções de complexidade Análise da qualidade de heurísticas Heurísticas simples (construtivas) Busca Local Meta-heurísticas GRASP Simulated Annealing Busca Tabu Algoritmos evolutivos... Math-heuristics


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