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XXXVI Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional São João del-Rei, 23 a 26 de novembro de 2004 XXXVI SBPO.

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1 XXXVI Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional São João del-Rei, 23 a 26 de novembro de 2004 XXXVI SBPO

2 Modelagens Exata e Heurística para uma Generalização do Problema do Caixeiro Viajante Autores: Antonio Augusto Chaves (INPE) Fabrício Lacerda Biajoli(INPE) Otávio Massashi Mine(UFES) Marcone Jamilson Freitas Souza(UFOP)

3 Roteiro INTRODUÇÃO PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE COM COLETA DE PRÊMIOS MODELAGEM –PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA (EXATA) –HEURÍSTICA RESULTADOS COMPUTACIONAIS CONCLUSÃO

4 Introdução Justificatica do trabalho –fácil adaptação a situações da vida real –existem poucos trabalhos sobre este problema –número elevado de soluções existentes (n - 1)! / 2 Utiliza-se uma formulação matemática proposta por Egon Balas para encontrar a solução ótima para o problema Utiliza-se Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP), Variable Neighborhood Search (VNS) e Variable Neighborhood Descent (VND) para solucionar aproximadamente o problema

5 Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios (PCVCP) Dado um conjunto de clientes com um custo de deslocamento entre eles, o PCVCP consiste em determinar uma rota para um Caixeiro Viajante, sabendo-se que para cada cliente visitado é coletado um prêmio e para cada cliente não visitado é pago uma penalidade. Objetivos: –Minimizar o custo de deslocamento total –Minimizar a soma das penalidades –Coletar um prêmio mínimo pré-estabelecido

6 DEPÓSITO w 3 / p 3 w 2 / p 2 w 1 / p 1 w 5 / p 5 w 4 / p 4 C 12 C 02 C 24 C 23 C 01 C 13 C 14 C 34 C 45 C 15 C 25 C 03 C 35 C 04 C 05 Depósito: w = 0 p = Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios (PCVCP)

7 Modelagem Exata Encontrar o ótimo global Implementada a partir da formulação matemática proposta por Egon Balas em 1985 Utilizou-se o software LINGO versão 7.0 Devido à natureza combinatorial do problema, somente problemas de pequenas dimensões podem ser resolvidos através desse procedimento Importância: permite a validação das soluções obtidas pela metodologia heurística desenvolvida

8 Formulação Matemática

9 Modelagem Heurística Procura encontrar boas soluções a um custo computacional razoável, sem no entanto, garantir a otimalidade das solução finais obtidas, nem o quão próximo esta solução está da solução ótima; Utilizou-se o conceito de metaheurísticas híbridas combinando GRASP e VNS

10 Função de Avaliação Uma solução é avaliada pela seguinte função de avaliação: As demais restrições foram contempladas através da representação adotada.

11 Estruturas de Vizinhança m 1 : Retirar vértice de maior economia economia (k) = c ik + c kj – c ij – p k N 1 (s) = {s : s + m 1 } Solução (s) vértice com maior economia de remoção Solução (s) i k j

12 Estruturas de Vizinhança m 2 : Inserir vértice de maior economia economia (k) = c ij + p k – c ik – c kj N 2 (s) = {s : s + m 2 } Solução (s) vértice com maior economia de inserção k i j

13 Estruturas de Vizinhança m 3 : Trocar 2 vértices da solução; N 3 (s) = {s : s + m 3 } Solução (s)

14 Estruturas de Vizinhança m 4 : Retirar vértice aleatoriamente; N 4 (s) = {s : s + m 4 } Solução (s) vértice escolhido aleatoriamente Solução (s) 0 1 5

15 Estruturas de Vizinhança m 5 : Inserir vértice aleatoriamente; N 5 (s) = {s : s + m 5 } Solução (s) vértice escolhido aleatoriamente

16 GRASP + VNS Fase de Busca Local Aplicar VNS Lista de Candidatos LCR GRASP Fase de Construção 1.Criar uma lista de candidatos calculando a economia de inserção dos vértices que não fazem parte da rota 2.Definir a LCR como as 10 maiores economias de inserção 3.Escolher aleatoriamente um candidato da LCR e inserir na rota 4.Atualizar a lista de candidatos Este procedimento é executado enquanto o prêmio mínimo não for coletado ou existir economia positiva Aplicação de filtro na fase de construção

17 Algoritmo GRASP + VNS Procedimento GRASP+VNS f* ; // Fase de Construção para j = 1,..., MaxIter faça s ; Inserir a origem em s; para todo k não pertencente a s faça Calcule a economia de inserção; fim-para; enquanto prêmio < w min ou existir economia positiva faça LCR Lista dos vértices com maior economia; Selecione aleatoriamente um vértice v LCR; s s {v}; Atualizar Lista de Candidatos; fim-enquanto; se f(s) < f* então s* s; f* f(s); fim-para; s s*; // Fase de Busca Local Aplicar VNS(s); fim GRASP+VNS

18 VNS Aplicado ao PCVCP Procedimento VNS(s) r Número de vizinhanças (no caso, r=5); enquanto tempo sem melhora < MaxTempo faça k 1; enquanto k r faça Selecione um vizinho s qualquer na vizinhança N k (s); s VND(s); se f(s) < f(s) então s s; k 1; senão k k + 1; fim-enquanto; Retorne s; fim VNS

19 VND Aplicado ao PCVCP Procedimento VND(s) r = Número de procedimentos de refinamento; k 1; enquanto k r faça Seja s um ótimo local segundo o k-ésimo procedimento de refinamento; se f(s) < f(s) então s s; k 1; senão k k + 1; fim-enquanto Retorne s; fim VND

20 Procedimentos de Refinamento Método AddDrop Consiste em inserir o vértice que possuir a maior economia de inserção e retirar o vértice que possuir a maior economia de remoção. Solução (s) vértice com maior economia de inserção e(k) = c ik + c kj – c ij – p k vértice com maior economia de remoção e(k) = c ij + p k – c ik – c kj 5 2

21 Procedimentos de Refinamento Método SeqDropSeqAdd Método iterativo, que consiste em duas fases. –Na primeira fase, retira-se, a cada iteração, o vértice que fornecer a maior economia de remoção, sendo executado enquanto houver vértices com economia de remoção positiva. –Na segunda fase, insere-se, a cada iteração, o vértice que fornecer a maior economia de inserção, sendo executado enquanto houver vértices com economia de inserção positiva.

22 Procedimentos de Refinamento Método Descida 2-Optimal Examina todas as possíveis trocas de 2 arestas, realizando a que fornecer o maior ganho na função de avaliação, sendo executado enquanto existir movimento de melhora

23 Experimentos Computacionais Não existe nenhuma biblioteca pública de problemas-teste para o PCVCP; Todas as instâncias foram geradas aleatoriamente: Custo de deslocamento: [50, 1000] Prêmio: [1, 100] Penalidade: [1, 750] Instâncias disponíveis em: Ambiente computacional: Linguagem C++ (C++ Builder 5.0) PC Athlon XP 1.53 GHZ, 256 MB RAM

24 Experimentos Computacionais Desvio =

25 Experimentos Computacionais

26 Conclusões Os algoritmos heurísticos sempre atingiram o ótimo global para instâncias onde este é conhecido; A metaheurística híbrida proposta mostrou-se robusta; Os resultados obtidos validam a utilização desta metodologia para a resolução do Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios;

27 Referências Bibliográficas BALAS, E., The prize collecting traveling salesman problem. ORSA/Tims Meeting in Los Angeles, (1986). CHAVES, A. A., Modelagens Exata e Heurística para Resolução do Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios. Relatório Técnico em Ciência da Computação – DECOM, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto (2003). Dell Amico, M., Maffioli, F., sciomachen, A., A Lagrangian heuristic for the Prize Collecting Travelling Salesman Problem. Annals of Operations Research, 81: , (1998). MELO, V. A., Metaheurísticas para o Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios, Dissertação de Mestrado, Instituto de Computação, Universidade Federal Fluminense, Niterói, Rio de Janeiro (2001);


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