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Alysson M. Costa – ICMC/USP Tópicos em otimização combinatória Revisão: formulação matemática e métodos de resolução.

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1 Alysson M. Costa – ICMC/USP Tópicos em otimização combinatória Revisão: formulação matemática e métodos de resolução

2 Alysson M. Costa – ICMC/USP Modelos Modelo: estrutura construída com o intuíto de exibir/demonstrar/reproduzir características de outros objetos. 1 1 (Model building in Mathematical Programming - Williams) algumas

3 Alysson M. Costa – ICMC/USP Utilidade de modelos em Programação Matemática Permitem a obtenção de respostas (conjunto de valores para as variáveis que atendem os requisitos do modelo). Estas respostas podem ser usadas diretamente na prática ou como um indicativo do que seria uma boa solução prática. Criam insights. 4 mar :37

4 Alysson M. Costa – ICMC/USP Utilidade de modelos em Programação Matemática O processo de criação (e resolução) do modelo também é útil por si só: Exigem a obtenção de dados que (muitas vezes) estão escondidos nas empresas e situações práticas (conhecimento do processo) Exigem um formalismo que elimina (ou ajuda a eliminar) ambiguidades sobre o que se deseja de uma solução. 4 mar :37

5 Alysson M. Costa – ICMC/USP Utilidade de modelos em Programação Matemática Permitem experimentações que não seriam possíveis na prática: Por questões de custo Por questões legais... 4 mar :37

6 Alysson M. Costa – ICMC/USP Modelos de programação linear Problema da dieta: Sabendo que cada alimento tem um certo custo e uma certa quantidade de nutrientes. Qual a dieta (de menor custo) que atende as restrições nutricionais ? GrãoQtd Mínima Nutriente123 A23710 B42115 C18110 D30112 Custo/Kg2010

7 Alysson M. Costa – ICMC/USP Formulando Perguntas: O que precisamos decidir ? Variáveis Quais são as condições sobre estas decisões ? Restrições O que queremos ? Objetivo GrãoQtd Mínima Nutriente123 A23710 B42115 C18110 D30112 Custo/Kg2010

8 Alysson M. Costa – ICMC/USP Formulando Variáveis ? Quanto do grão 1 vamos incluir na dieta: x 1 Quanto do grão 2 vamos incluir na dieta: x 2 Quanto do grão 3 vamos incluir na dieta: x 3 Variáveis: x 1, x 2, x 3 x i = qtd. do grão i. GrãoQtd Mínima Nutriente123 A23710 B42115 C18110 D30112 Custo/Kg2010

9 Alysson M. Costa – ICMC/USP Formulando Restrições ? Quantas unidades do nutriente A, no mínimo: 10 Quantas unidades do nutriente B, no mínimo: 15 Quantas unidades do nutriente C, no mínimo: 10 Quantas unidades do nutriente D, no mínimo: 2 Variáveis: x 1, x 2, x 3 x i = qtd. do grão i. Restrições: N A,N c ¸ 10 N B ¸ 15 N D ¸ 2 GrãoQtd Mínima Nutriente123 A23710 B42115 C18110 D30112 Custo/Kg2010

10 Alysson M. Costa – ICMC/USP Formulando Pecisamos escrever N A...N D em função das variáveis (tudo precisa ser escrito em função das variáveis usadas) N A = 2x 1 + 3x 2 + 7x 3 N B = 4x 1 + 2x 2 + x 3 N C = x 1 + 8x 2 + x 3 N D = 30x 1 + x 2 + x 3 Variáveis: x 1, x 2, x 3 x i = qtd. do grão i. Restrições: N A,N c ¸ 10 N B ¸ 15 N D ¸ 2 GrãoQtd Mínima Nutriente123 A23710 B42115 C18110 D30112 Custo/Kg2010

11 Alysson M. Costa – ICMC/USP Formulando Objetivo Min Custo: 20x x x 3 Variáveis: x 1, x 2, x 3 x i = qtd. do grão i. Restrições: N A,N c ¸ 10 N B ¸ 15 N D ¸ 2 Objetivo: Min 20x x x 3 GrãoQtd Mínima Nutriente123 A23710 B42115 C18110 D30112 Custo/Kg2010

12 Alysson M. Costa – ICMC/USP De maneira geral De maneira geral, um problema de otimização modelado linearmente pode ser escrito na forma abaixo: Min cx s.a. Ax · b x ¸ 0 4 mar :37

13 Alysson M. Costa – ICMC/USP Testando soluções (Solver do Microsoft Excel – também presente em distribuições similares open-source, como o OpenOffice )

14 Alysson M. Costa – ICMC/USP O que está por trás do solver ? Algoritmo Simplex (Dantzig, 1947) 4 mar :37 Créditos da imagem: Wikimedia commons

15 Alysson M. Costa – ICMC/USP O que está por trás do solver ? Algoritmo Simplex: maneira matemática de expressar os pontos extremos de uma região formada por restrições lineares e estratégia para passar de um ponto a outro (de melhor função objetivo que o ponto inicial). "If one would take statistics about which mathematical problem is using up most of the computer time in the world, then... the answer would probably be linear programming. (Laszlo Lovasz)"Laszlo Lovasz 4 mar :37

16 Alysson M. Costa – ICMC/USP Limitação importante do simplex 4 mar :37

17 Alysson M. Costa – ICMC/USP Exercício (Móveis I) Uma indústria moveleira dispõe de dois tipos de peças de madeira, A e B, usadas para construir mesas e cadeiras. A B Mesas (Lucro $90): usa duas peças do tipo A e duas do tipo B Cadeiras (Lucro $60): usa duas peças do tipo A e uma peça do tipo B Total disponível: 14 peças A, 8 peças B.

18 Alysson M. Costa – ICMC/USP Solução x 1 - quantidade produzida de mesas x 2 - quantidade produzida de cadeiras Max 90x x 2 s.a. 2x 1 + 2x 2 · 14 (restrição nas peças do tipo A) 2x 1 + x 2 · 8 (restrição nas peças do tipo B)

19 Alysson M. Costa – ICMC/USP 4 mar :37

20 Alysson M. Costa – ICMC/USP Muitos problemas necessitam variáveis inteiras Seja porque as variáveis... são inteiras por natureza. Seja porque variáveis inteiras são necessárias para modelagem do problema 4 mar :37

21 Alysson M. Costa – ICMC/USP Ex: Utilização de variáveis binárias Decisão sobre uma atitude (fazer ou não fazer, comprar ou não comprar...).

22 Alysson M. Costa – ICMC/USP Caso 1: implicações se-então A) Custo fixo: A produção de um item (o envio de uma mercadoria, a decisão de se tomar um taxi, etc) implica em um custo fixo, por exemplo, de preparação da máquina (de pagamento do custo mínimo de envio, da taxa inicial do taxi, etc). Antigamente tínhamos: x = quantidade produzida do ítem

23 Alysson M. Costa – ICMC/USP Custo de produção: Como modelar de maneira linear ? Dica: precisamos do auxílio de uma variável binária.

24 Alysson M. Costa – ICMC/USP Seja uma variável binária y, tal que y vale 1 se x>0 e y vale 0 caso contrário. Como associar x e y ? M é um valor suficientemente grande (produção máxima x)

25 Alysson M. Costa – ICMC/USP O modelo geral fica De maneira geral, um problema de otimização modelado linearmente pode ser escrito na forma abaixo: Min cx s.a. Ax + Dy · b x ¸ 0, y ¸ 0 e inteiro 4 mar :37

26 Alysson M. Costa – ICMC/USP O que acontece com o simplex ? Região factível:

27 Alysson M. Costa – ICMC/USP Uma solução (branch-and-bound) factível! ¸ 2

28 Alysson M. Costa – ICMC/USP No pior caso teríamos que ramificar até as folhas da árvore......

29 Alysson M. Costa – ICMC/USP Muito comum para problemas reais... Apesar dos avanços dos computadores e dos métodos de resolução, ainda é muito comum encontrar problemas para os quais: Dias de simulação transcorrem sem que se encontre sequer uma solução factível. A memória (por maior que seja) se torna insuficiente. (estes fatos são boas justificativas – entre outras – para a utilização de métodos como os que serão vistos neste curso) 4 mar :37


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