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Erick Vagner Cabral Igor Lucena Vitor Baptista Exercícios Capítulo 3 – A Tese de Church-Turing Sipser – Introdução à Teoria da Informação.

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1 Erick Vagner Cabral Igor Lucena Vitor Baptista Exercícios Capítulo 3 – A Tese de Church-Turing Sipser – Introdução à Teoria da Informação

2 Exercicío 3.1 d) 000

3 Exercicío 3.2 a)

4 Exercicío 3.4 Definindo um Enumerador: 7-upla (Q,, Γ, δ, q 0, q aceita, q imprime ) δ : Q x Γ Q x Γ x {E,D} x FITA DE IMPRESSÃO FITA DE TRABALHO δ define se a cada passo, escreverá na fita de impressão δ (q 0, a) = (q 1,a, R, m) δ (q 1, b) = (q print,a, R, t) Sempre que entrar no q imprime, limpa a fita de impressão e volta o cabeçote da fita de impressão para o inicio Pará quando entrar no q aceita m a b b b a t

5 Exercício 3.6 Definição válida para enumerador? E = Ignore a entrada 1. Repita o que se segue para i = 0,1,2, Rode M sobre s i. 3. Se ela aceita, imprime s i. Se M entrar em loop para uma certa entrada s i ? E nunca irá testar as entradas posteriores à s i (s i+1, s i+2,...). Logo o enumerador irá falhar para L(M).

6 Exercício 3.7 Por que não é legítima? M = A entrada é um polinômio p sobre as x 1, x 2,..., x k 1. Tente todas as possíveis valorações de x 1, x 2,..., x k para valores inteiros. 2. Calcule o valor de p sobre todas essas valorações. 3. Se alguma dessas valorações torna o valor de p igual a 0, aceite; caso contrário, rejeite. - Não é uma descrição legítima. - O erro está no fato de que uma sequencia x 1, x 2,..., x n tem um conjunto infinito de possibilidades. E em uma MT é necessário que possamos descrever cada estágio em uma sequencia finita de passos.

7 Problema 3.9 Seja um k-AP um autômato de pilha que tem k pilhas. Portanto, um 0-AP (AFN) < 1-AP (AP convencional). a) 2-APs são mais poderosos que 1-APs? Resposta: Seja A = {a n b n c n | n 0}, pelo lema do bombeamento, provamos um autômato de pilha não é capaz de reconhecer essa linguagem. Já se temos 2 pilhas podemos reconhecer essa linguagem facilmente, fazendo os seguintes passos.

8 Problema 3.9 a) cont. 2-APs são mais poderosos que 1-APs? A = {a n b n c n | n 0} Pilha APilha B -Empilha todos os as que aparecerem no começo da cadeia na Pilha A. -Empilha todos os bs que aparecerem após os as na pilha B. -Lembre-se da ordem! Se aparecer algum a enquanto estava empilhando bs. REJEITA. -Por fim, a partir do primeiro c visto, Desempilha um a e um b para cada c. -Se restar algum a ou algum b. REJEITA. - Se as pilhas A e B estão vazias no fim, ACEITA.

9 Problema 3.9 a) cont. 2-APs são mais poderosos que 1-APs? A = {a n b n c n | n 0} Pilha APilha B -EXEMPLO: w = aabbcc a a b b ACEITA!

10 Problema 3.11 Para provarmos que uma MT M com fita duplamente infinita é semelhante a uma MT comum, basta provarmos que podemos simular uma MT comum em uma MT com fita duplamente infinita.... a b a a b b b...

11 Problema 3.11 Podemos simular uma MT com fita duplamente infinita, utilizando uma MT com 2-fitas, que é equivalente a uma MT comum. M A idéia é separar a fita duplamente infinita em 2 partes. a b a b a a......

12 Problema 3.12 Máquina de Turing com reinicialização à esquerda. δ : Q x Γ Q x Γ x {D, REINICIA} Para provarmos que uma MT M com reinicialização reconhecem a classe de linguagens Turing-recinhecíveis, basta provarmos que podemos simular uma MT comum em uma MT com reinicialização à esquerda.

13 Problema 3.12 Máquina de Turing com reinicialização à esquerda. δ : Q x Γ Q x Γ x {E, D} Prova: FITA MT COMUM a a b b c c a b a...

14 Problema 3.12 Máquina de Turing com reinicialização à esquerda. δ : Q x Γ Q x Γ x {D, REINICIA} Prova: FITA MT REINICIA a a b b c c a b a....

15 Problema 3.13 Essa variação da máquina de turing pode ser simulada por um autômato finito não-determinístico. Assim como os autômatos essa variante não pode tornar a ler símbolos que já foram lidos. A leitura do próximo símbolo é equivalente a andar para a direita. A ação de permanecer no mesmo local pode ser simulada pelos movimentos vazios que podem ocorrer nesses autômatos e dispensam a leitura do próximo símbolo.

16 Problema 3.15 – Turing-Decidíveis b) Concatenação Para quaisquer 2 linguagens decidíveis L 1 e L 2, sejam M 1 e M 2 MTs que as decidem. Contruímos uma MT M que decide a concatenação de L 1 e L 2: Sobre a entrada w: 1. Dividir w em 2 partes w 1, w 2 para cada combinação. 2. Rode M 1 sobre w 1 3. Rode M 2 sobre w 2 4. Se as duas aceitarem. Aceite. Continue com os próximos w 1, w 2 5. Se todos foram testados sem obter sucesso, Rejeite.

17 Problema 3.16 – Turing-Reconhecíveis b) Concatenação Para quaisquer 2 linguagens Turing-Reconhecíveis L 1 e L 2, sejam M 1 e M 2 MTs que as reconhecem. Contruímos uma MT M que reconhece a concatenação de L 1 e L 2: Sobre a entrada w: 1. Dividir w em 2 partes w 1, w 2 para combinação escolhida não- determiniscamente. 2. Rode M 1 sobre w 1, se parar e rejeitar, Rejeite. Se aceitar, Aceite e vá para o próximo passo. 3. Rode M 2 sobre w 2, se parar e rejeitar, Rejeite. Se aceitar, Aceite. OBS: - M aceitará porque chega a seu estado de aceitação após um número finito de passos. - Se uma delas entrarem em loop, M entrará em loop.

18 Problema 3.15 – Turing-Decidíveis DICAS: c) Estrela Dica: w = w 1, w 2,..., w n Se aceitar à cada w, no término aceitará. d) Complementação Roda M. Então se M aceita, REJEITE, Se M rejeitar, ACEITE. e) Intersecção Só aceitará se M 1 e M 2 ambos aceitarem.


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