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AULÃO REVISÃO DE MATEMÁTICA 2009 PROF THIAGO MORETI.

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Apresentação em tema: "AULÃO REVISÃO DE MATEMÁTICA 2009 PROF THIAGO MORETI."— Transcrição da apresentação:

1 AULÃO REVISÃO DE MATEMÁTICA 2009 PROF THIAGO MORETI

2 THIAGO DE CASTRO MORETI GRADUADO EM MATEMÁTICA PELA UNIASSELVI PÓS-GRADUANDO EM METODOLOGIAS INOVADORAS DO ENSINO DA MATEMÁTICA. PROFESSOR DO COLÉGIO FAYAL E ESCOLAS ELITE. ATUANTE EM CURSINHOS, PREPARATÓRIOS PARA CONCURSOS, NO ENSINO MÉDIO E FUNDAMENTAL. OPSSSS!!!

3 O QUE VEM POR AÍ...

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5 INSTITUIÇÃOINSCRIÇÕESPROVAS ACAFE05/10 A 10/1122/11 IFES09/10 A 25 /1128/11 UFSC15/09 A 21/1019/12, 20/12 E 21/12 UFPR24/08 A 30/09 29/11 – 1ª FASE. 12/12 E 13/12 – 2ª FASE UDESC01/09 A 01/10 01/11 – 1ª FASE 29/11 – 2 ª FASE UFRGS20/09 A 04/10 10/01, 11/01, 12/01 E 13/01/2010 USP28/08 A 11/09 22/11 – 1ª FASE 03 A 05/01/ ª FASE ENEM15/06 A 19/0705/12 E 06/12 IMPORTANTE

6 DICAS IMPORTANTES...

7 Cuidado com a alimentação nos dias das provas...

8 PERSEVERANÇA DISCIPLINA CONCENTRAÇÃO PLANEJAMENTO MOTIVAÇÃO

9 A VAGA É SUAAAAA!!!

10 VAMOS ENTÃO, AOS CONTEÚDOS...

11 MATEMÁTICA BÁSICA

12 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. PORCENTAGEM

13 Podemos representar a porcentagens de outras formas:

14 RESPOSTA: d 16) Um cofre contém apenas anéis e brincos, de ouro ou de prata. Sabe-se que 80% dos anéis são de prata e 10% das jóias são brincos. A porcentagem de jóias desse cofre que são anéis de ouro é: R: d a)90 % b)63 % c)30 % d)18 %

15 REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

16 Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação.

17 Exemplo: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? 1º) montando a tabela: Área (m 2 ) Energia (Wh) 1,2400 1,5x

18 Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

19 EXEMPLO: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) x

20 Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

21 REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3 ?

22 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). HorasCaminhõesVolume x125

23 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

24 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

25 Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

26 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias

27 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU ax² + bx + c = 0 Fórmula de Bháskara: = b² - 4ac

28 REGRA DAS TETINHAS

29 EX: X² - 5X + 6 = 0 a = 1 b = -5 c = 6 POR BHASKARA:

30 PELAS TETINHAS:

31 FUNÇÕES

32 Domínio, Contradomínio e Imagem Observe o diagrama a seguir: Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão: f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f: f(1)=2. Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4}

33 Função injetora: A função é injetora quando elementos diferentes de A correspondem a elementos diferentes de B. Função sobrejetora; A função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio da função. Im(f) = CD(f). Função bijetora: É toda função de A em B que é simultaneamente, injetora e sobrejetora.

34 Sinal de uma função de 1º grau: Sinal de uma função de 2º grau: a>0a<0 a>0a<0

35 EXEMPLO: Um botânico registrou o crescimento de uma planta, em centímetros, durante cinco meses. Os resultados estão apresentados no gráfico a seguir. Considerando que o eixo y marca a altura da planta (em centímetros) e o eixo x, o mês em que foi feita a medida, pode-se afirmar que: a) y = 1,4x. b) y = 3 + 1,4x. c) y - 1,4 = 3x. d) y + 3x = 1,4. e) y = 3x.

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38 LOGARÍTMOS

39 PROPRIEDADES:

40 MUDANÇA DE BASE: EXEMPLOS: Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule: a) log6

41 b) log9 c) log5 d)

42 P.A. E P.G. Fórmula do termo geral de uma P. G.: Fórmula da soma dos termos de uma P. G.: SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. INFINITA ( -1 < q < 1):

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45 GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Os vértices, as arestas e as faces de um sólido geométrico. Lembrando da Relação de Euler: V + F = A + 2

46 Sólidos importantes: Este sólido geométrico chama-se cubo. É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados.Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Chamamos paralelepípedo a este prisma. Todas as suas faces têm a forma de retângulos.Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

47 Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo. Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base. Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base. Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.

48 A base da pirâmide pentagonal é um pentágono. Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base. A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva. A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.

49 O cone está limitado por uma superfície curva. Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice. O cilindro está limitado por uma lateral curva. Tem duas bases iguais na forma de circunferência e nenhum vértice.

50 Fórmulas importantes das figuras planas: S = π.r²

51 Área TotalVolume Prisma Cilindro At = A l + 2A b V = A b. h Pirâmide Cone A t = A l + A b V = (A b. h)/ 3 Esfera4 π r 2 (4 π r 3 ) /3

52 Aumenta o expoente Diminui o expoente NOTAÇÃO CIENTÍFICA Forma de apresentação de números ou muito pequenos ou muito grandes. Consiste em apresentar esses número como um produto de um número compreendido entre 1 e 10 por uma potência de base 10. Exemplos: = 4,73 x 10 4 ; 1 MIL = 10³ 0, = 2,1 x MILHÃO = 1 BILHÃO = Se a vírgula vai para:

53 1 dm³ = 1 litro 1 l = cm³ 1 cm³ = 1 ml 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 l 1 km = 1000 m / 1 km² = m² 1 m = 100 cm / 1 m² = cm ² 1 m³ = cm ³ 1 dm = 10 cm / 1 dm² = 100 cm ² Algumas conversões

54 (SIMULADO ENEM) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Dadas estas informações, analise as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta: I - Existem 60 átomos nessa molécula. II - Essa molécula é constituída por 180 ligações entre seus átomos. III – A figura mostra uma das formas alotrópicas do Carbono, estrutura esta do diamante. IV – Este poliedro possui 60 vértices, 32 faces e 90 arestas. Esta correto o que se afirma somente em: a)I e II. b) II e III. c) I e III. d) II e IV. e) I e IV

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56 EXEMPLO: Uma máquina fotográfica digital tem uma capacidade máxima que permite armazenar 120 fotos na memória, para que sejam reveladas no formato 20 centímetros por 30 centímetros. Ao optar-se por uma revelação no formato 10 centímetros por 15 centímetros, mantendo a mesma qualidade, é possível armazenar na memória dessa máquina: a) 120 fotos b) 160 fotos. c) 240 fotos. d) 360 fotos. e) 480 fotos.

57 20 CM 30 CM 15 CM 10 CM 4 X 120 = 480

58 B A T E U O D E S E S P E R O ? ? ? ? ? ? ? ?

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60 EXEMPLO: Uma pista de atletismo oficial tem um perímetro de 400m na raia interna e é formada por duas partes retas e por duas curvas de 180º (veja a figura a seguir). Cada parte reta tem 90m de comprimento. Assim, sabendo que o comprimento de uma circunferência é dado pela expressão c = 2R, o raio de curvatura da raia interna será de:

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62 ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial: Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial. Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo: n! = n.(n-1). (n-2) Exemplos: a) 6! = = 720 b) 4! = = 24. Casos especiais: 0! = 1 1! = 1

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64 ARRANJO X COMBINAÇÃO QUANDO A ORDEM IMPORTA QUANDO A ORDEM NÃO IMPORTA

65 PERMUTAÇÃO SIMPLES: (UM TIPO ESPECIAL DE ARRANJO, MUITO UTILIZADO EM ANAGRAMAS) PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO:

66 Exemplos: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA: P = 10! / (2!.3!.2!) = Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? P = 5!/2! = = 60 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10

67 (ANEEL 2004)Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos é igual a: a) 2! 8! b) 0! 18! c) 2! 9! d) 1! 9! e) 1! 8!

68 PROBABILIDADES Por exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto: P = 3/6= 1/2 = 0,5 = 50% P = 3/6= 1/2 = 0,5 = 50%

69 ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex- alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é: (A) 1/3. (B) 1/4. (C) 7/15. (D) 7/23. (E) 7/25

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71 MATRIZES DETERMINANTES DE ORDEM 3: REGRA DE SARRUS:

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73 SISTEMAS LINEARES

74 REGRA DE CRAMER

75 Discutindo o sistemas, temos então: Possível e determinado: Possível e indeterminado: Impossível: e pelo menos um

76 SISTEMAS HOMOGÊNEOS D 0: O sistema é SPD (A admite apenas a solução trivial) D = 0: o sistema é SPI (A admite outras soluções, isto é, soluções próprias). A SI nunca ocorrerá, pois o sistema homogêneo é sempre possível

77 É isso aí, para vocês só desejo muito, mas muito sucesso !!!


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