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DERIVADA Taxa: relação entre duas grandezas que se verifica para determinado intervalo de tempo. (Dicionário Escolar da Língua Portuguesa / Academia Brasileira.

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1 DERIVADA Taxa: relação entre duas grandezas que se verifica para determinado intervalo de tempo. (Dicionário Escolar da Língua Portuguesa / Academia Brasileira de Letras).

2 Taxa de variação Média Dada uma função y = f(x), a taxa de variação média é dada por: Variação em y Variação em x Mas, variação = Δ ΔyΔxΔyΔx

3 Exemplo: Considere uma certa indústria que possui um determinado grupo de operários. Para este grupo, a produção P (em toneladas), depende da quantidade de horas trabalhadas q da seguinte forma: P = q 2 Determine a taxa de variação média no intervalo de tempo entre 3 e 4 horas de trabalho

4 = 7 toneladas/hora Produção em 3 horas de trabalho q = 3 => P = 3 2 = 9 Produção em 4 horas de trabalho q = 4 => P = 4 2 = 16 Taxa de variação média para este intervalo Taxa de variação = = 16 – 9 4 – 3 ΔP Δq

5 Taxa é uma relação em que se necessitam quantidades iniciais e finais. Como então determinar uma taxa exatamente em um determinado ponto (x)? Solução: determinar a taxa para um ponto muito próximo de x assumindo uma variação de x para x + Δx, tornando a taxa instantânea

6 Taxa de variação instantânea Assim, a Taxa de variação passa a ser Δy = y - y 0 = f(x 0 + Δx) – f(x 0 ) Δx Δx Δx lim Δx 0 f(x 0 + Δx) – f(x 0 ) Δx DERIVADA

7 Exemplo: Na comercialização de um produto químico, a receita R para a venda da quantidade q é dada por R(q) = 5q 2, onde a receita é dada em reais R($) e a quantidade é dada em litros ( l ).

8 a) Determine a taxa de variação média da receita para o intervalo 4 < q < 6, ou seja, quando forem vendidos entre 4 e 6 litros. Taxa de variação = ∆R = R(6) – R(4) média ∆q 6 – 4 = R(6) – R(4) = – – 4 2 = 180 – 80 = 50 R$/l 2

9 b) Determine, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita em q. lim Δq 0 ∆R = ∆q R(q + Δq) – f(q) = Δq lim Δq 0 5(q + Δq) 2 – 5q 2 ΔqΔq lim Δq 0 = lim Δq 0 5(q + 2qΔq + Δq ) – 5q 2 ΔqΔq 2 2

10 lim Δq 0 5q + 10qΔq + Δq – 5q 2 ΔqΔq 2 2 = lim Δq 0 10qΔq + Δq ΔqΔq 2 = lim Δq 0 10q + Δq = 10q

11 c) Determine a derivada de R em relação à q. A derivada da receita em q é igual à taxa de variação instantânea da receita em q, ou seja, R’(q) = 10q. d) Determine a derivada da receita em q = 1. Qual é a unidade de medida dessa derivada? R’(1) = 10.1 = 10 Unidade: R$/l

12 1) Em uma indústria, considerou-se a produção de detergente como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P(q) = 3q 2, onde a produção P é dada em milhares de litros e o capital investido q é dado em milhares de reais. a) Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo 3 < q < 5. b) Determine a taxa de variação instantânea da produção para q. c) determine a derivada de P em relação a P d) determine a derivada de P em q = 1

13 Derivadas Elementares FormaDerivada Função Constante y = k0 y = 3 y’ = 0

14 FormaDerivada Função Potênciay =x n y'= nx n-1 y = 3x 2 y’ = 3.2x 2 – 1 = 6x

15 FormaDerivada Derivada da soma f(x) = u(x) + v(x)f’(x) = u’(x) + v’(x) 1) y = 4x + 7 u(x) = 4x => u’(x) = 4.1x 1 – 1 = 4x 0 = 4 v(x) = 7 => v’(x) = 0 Então: y’ = = 4

16 1)Aplicando as regras de derivação, calcule a derivada das seguintes funções: a) y = 10 b) y = x c) y = x 8 d) y = 5x 3 e) y = x -4


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