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1 Curso de Nivelamento Razão, Proporção e Regra de Três Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo Recife.

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1 1 Curso de Nivelamento Razão, Proporção e Regra de Três Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo Recife

2 Contatos n Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo n Apelido: Alexandre Cordel n /gtalk: n Site: n Celular: (81)

3 Roteiro n Razão n Proporção n Proporções Especiais n Porcentagem n Escala n Regra de Três Simples (Direta e Inversa) n Regra de Três Composta

4 Razão A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”. n A razão representa-se por uma fração: n Dados dois números a e b, com b diferente de zero, a razão entre a e b representa-se por: a b a b : a b ou e lê-se razão de a para b. Termos Antecedente Consequente

5 Exemplo Razão n Uma orquestra é formada por 40 homens e 30 mulheres. n Qual a razão entre o número de homens e o número de mulheres? Qual a razão entre o número de mulheres e o número de homens? Qual a razão entre o número de mulheres e o número de homens? Numa razão é muito importante verificar a ordem pela qual estão referidas as duas grandezas

6 Exemplo Razão. n A capacidade total de um reservatório é de 1000 L. Nesse momento, o reservatório contém 750 L de água. Qual é a razão entre a quantidade que o reservatório contém nesse momento e a sua capacidade total?

7 n Qual é o número fracionário que representa a razão entre a área total e a área da região em vermelho deste retângulo? Exemplo Razão.

8 Proporção n Definição: Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. a b c d = lê-se “a está para b assim como c está para d”… a b c d = Extremo : a b : c d = Meio

9 Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. a b c d = b c adad = Meio Extremo Meio Proporção

10 Exemplos: É proporção Não é proporção Proporção

11 Exercícios de aplicação 1. Descubra o termo que falta em cada uma das proporções: 5 x 20 = ? x = ? X 25 ? = 100 : 25 ? = 4 2. A idade do Rui está para a da avó assim como 2 está para 9. O Rui tem 12 anos. Que idade tem a avó? 2 x ? = 9 x 12 2 x ? = 108 ? = 108 : 2 ? = 54 2 x ? = 3 x 6 2 x ? = 18 ? = 18 : 2 ? = 9

12 Números Diretamente Proporcionais

13 Números Inversamente Proporcionais

14 Vejamos um exemplo: n Um motorista profissional que viajava constantemente de BH para Uberlândia, fez a seguinte tabela,após calcular a velocidade média. (V=Distância/tempo) n Obs: distância aproximada

15 Chamamos escala de um desenho à razão entre as dimensões da figura e as dimensões reais. Escala = A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as correspondentes distâncias reais. Como sabes, para representar a superfície da Terra no seu todo ou em parte numa folha de papel temos de reduzir a realidade. Por exemplo, se quiseres representar Portugal Continental numa folha de papel A4 tens de reduzir a dimensão do país cerca de 1,9 milhões de vezes. Escala

16 No modelismo ferroviário existem diversas escalas, - ou, para os menos familiarizados com esta matéria, diversos "tamanhos - de representação dos objectos reais. Por exemplo, a escala 1:160, significa que um centímetro do desenho representa 160 centímetros da realidade Por exemplo, a escala 1:160, significa que um centímetro do desenho representa 160 centímetros da realidade. Nota que… Escala é uma razão entre as medidas de um desenho e as que lhes correspondem na realidade. Desenho Realidade Escala

17 Exemplo: Observemos as figuras dos barcos ao lado: Base menor barco azul / Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul / Base maior barco vermelho = 4/8 Altura do barco azul / Altura do barco vermelho = 3/6 Escala O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

18 Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins, é 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é 700km, qual a escala utilizada no mapa? Exemplo Escala

19 Proporções Especiais n Densidade Demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região. Densidade Demográfica = número de habitantes área

20 Exemplo Densidade Demográfica n De acordo com dados do IBGE ( Estimativa da população – julho de 2009), a população brasileira era de aproximadamente habitantes. Se o Brasil ocupa uma área territorial de km quadrados, qual era a densidade demográfica do Brasil em julho de 2009?

21 Proporções Especiais n Velocidade Média é a distância percorrida em determinado tempo. Velocidade Média = distância percorrida tempo gasto

22 Exemplo Velocidade Média n Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

23 Porcentagem n Toda razão onde o consequente b = 100, pode ser representada por % (por cento).

24 Calculando Porcentagens n De acordo com uma publicação da Divisão de População da Organização da Nações Unidas (ONU), a população mundial, em 2008, era de 6,8 bilhões de habitantes, aproximadamente. n Fazendo uma projeção para o ano 2050, esse mesmo órgão da ONU estimou o crescimento da população mundial em 35%, no período De acordo com essa estimativa, qual seria, aproximadamente, a população mundial em 2050? Fonte:www.un.org/esa/population. Acesso em :26 ago.2009.www.un.org/esa/population

25 Regra de Três A regra de três é simplesmente um método para resolver as proporções sem precisar de armá- las. A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles. Tabela de Valores A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

26 Faz-se assim: Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão. Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo. Pesquisa google;julho 2008

27 n Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade. n Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo? Regra de Três

28 Primeiro colocamos o problema em uma tabela:  Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas. Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou. Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.

29 No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo: Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

30 O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo? Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a: Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção: Regra de Três

31 Regra de Três composta Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior: Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m? Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

32 Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada. Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos. Obtemos então a solução: 2 meses

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