Capitulo 10: Teoria das Filas

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1 Capitulo 10: Teoria das Filas
10.1 Conceitos – Teoria das Filas Elementos de uma fila: A partir de uma certa população, os clientes se colocam em fila para receber um determinado serviço Um canal ou Diversos canais População Clientes Servidor(es) Algumas características: 1) Cliente: Vem de uma população, que pode ser infinita, como por exemplo no caso de um banco, ou finita, como por exemplo, o carregamento de caminhões por uma escavadeira em uma mineradora 2) Chegada: Imaginando um grande banco onde chegam em média 5 pessoas por minuto. Sabemos que esse ritmo de chegada não será perfeitamente regular (ou seja, não entrarão exatamente 5 pessoas a cada minuto por todo o dia), por isso, utilizaremos distribuições de freqüências e diremos, por enquanto, que a “taxa média de chegada” é de 5 pessoas por minuto. A partir desse dado, também poderemos definir o “intervalo médio entre chegadas” (=60s÷5 pessoas) que será de 12s Esses dois parâmetros são identificados da seguinte maneira: λ= 5 clientes por minuto IC= 12 segundos

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3) Atendimento: Observando um dos atendentes, vamos supor que o mesmo faça o atendimento de 2 clientes a cada minuto. Assim como dissemos anteriormente, isso é uma média e devido às variações, deveremos utilizar distribuições de probabilidade para melhor caracterizar o processo. O “Ritmo médio de atendimento” é portanto de 2 clientes por minuto, de onde também poderemos concluir que o “tempo médio de atendimento” é de 30s (=60s÷2 pessoas), e os representamos da seguinte maneira: μ= 2 clientes por minuto TA=30 segundos 4) Tamanho Médio da Fila: Uma característica simples que mostra a eficiência do atendimento. Filas muito grande trazem insatisfação dos clientes, mas por outro lado, filas muito pequenas podem requerer custos excessivos de atendimento. 5) Tamanho Máximo da Fila: Essa característica está estritamente ligada à área de espera que deve ser definida pois é a mesma que irá comportar os clientes. 6) Tempo Médio de Espera: Uma característica bastante parecida com o tamanho médio da fila, onde seu valor vai depender do processo de chegada e do processo de atendimento 7) Quantidade de Servidores: Para interferir no atendimento, o sistema pode possuir um servidor (1 canal) ou vários (Diversos canais). Via de regra, um canal traz um custo menor nos servidores porem um custo maior na fila. De forma oposta, diversos canais trazem um custo maior nos servidores porem um custo menor na fila.

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Como vimos anteriormente, o processo de chegada e o de atendimento em uma fila não devem ser considerados “estáveis” ou “regulares” durante o período, e portanto deverão seguir uma distribuição de probabilidades. Nossos estudos irão considerar as seguintes características: O processo de chegada segue uma distribuição de Poisson com média λ O numero de atendimentos segue uma distribuição de Poisson com média μ O atendimento é feito por ordem de chegada

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10.2 – Sistema de uma fila com população infinita e um canal Esse sistema considera que os clientes são provenientes de uma população infinita ( um banco, por exemplo) e que há apenas um atendente (um único caixa) Equações Básicas: Nome Descrição Fórmula P (n) Probabilidade de haver n clientes no sistema P(n)= (λ / μ)n * ((μ - λ) / μ) NF Número médio de clientes na fila NF= λ² / (μ*(μ - λ)) NS Número médio de clientes no sistema NS= λ / (μ - λ) TF Tempo médio de espera na fila por cliente TF= λ / (μ*(μ - λ)) TS Tempo médio gasto no sistema por cliente TS= 1 / (μ - λ)

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Outras fórmulas importantes: Relações entre os principais parâmetros: comparando as fórmulas obtemos as seguintes relações que poderão ser úteis NF = λ * TF NS = λ * TS TF = TS – (1 / μ) NF = NS – (λ / μ) Atendimento e Chegada: Taxa Média de Chegada & Intervalo Médio de Chegada: λ = 1 / IC Ritmo Médio de Atendimento & Tempo Médio de Atendimento: μ = 1 / TA Nota: Atenção às unidades A taxa de utilização demonstra a relação entre o ritmo médio de chegada e o de atendimento: ρ = λ / μ Nota: Se ρ ≥ 1, então a fila será infinita

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Exercício 10.1 Em um caixa eletrônico colocado em um Shopping Center, o ritmo de chegada é de 4 clientes por hora e o tempo médio que o cliente utiliza o caixa é de 2 minutos. Assumindo que o processo obedece as leis de Poisson, pergunta-se: a) Qual a taxa de utilização do caixa eletrônico? b) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar ao caixa eletrônico e não ter que esperar para utilizá-lo? c) Qual o número médio de pessoas na fila? d) Qual o número médio de pessoas no sistema? e) Qual o número médio de pessoas no caixa eletrônico? f) Por quanto tempo em média, as pessoas ficam na fila? g) Para que o tempo médio de espera na fila fosse de 6 minutos, qual deveria ser o ritmo de chegada?

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Solução 10.1 λ = 4 chegadas por hora TA = 2 minutos Assim, IC = 1 / λ = 1 / (4/60) => IC = 15 minutos μ = 1 / TA = 1 / (2/60) => μ = 30 atendimentos por hora a) Taxa de utilização do caixa eletrônico: ρ = λ / μ = 4 / 30 ρ = 13,3 % b) Probabilidade de uma pessoa chegar ao caixa eletrônico e não ter que esperar para utilizá-lo: P(n)= (λ / μ)n * ((μ - λ) / μ) P(0)= (λ / μ)0 * ((μ - λ) / μ) = ((30-4)/30) P(0)= 0,867 ou 86,7% c) Número médio de pessoas na fila: NF= λ² / (μ*(μ - λ)) = 4² / (30*(30-4)) NF= 0,0205

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d) Número médio de pessoas no sistema: NS= λ / (μ - λ) = 4 / (30-4) NS= 0,1538 e) Número médio de pessoas usando o caixa eletrônico: NA= NS – NF= 0,1538 – 0,0205 NA= 0,1333 f) Tempo em média que as pessoas ficam na fila: TF= λ / (μ*(μ - λ)) = 4 / (30*(30-4)) TF= 0,005h ou 0,3minutos g) Ritmo de chegada para que o tempo médio de espera na fila seja de 6 minutos: TF= 6 minutos = 0,1hora TF= λ / (μ*(μ - λ)) λ= (TF*μ²) / (1+ μ*TF) = (0,1*30²) / (1+30*0,1) λ=22,5 chegadas por hora

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Exercício 10.2 O departamento de manutenção de uma industria consegue atender seus clientes internos a um ritmo de 1,5 atendimento por hora. Verificou-se através de apontamentos existentes na produção que a manutenção era acionada a cada 1 hora (taxa = 1 chegada por hora). Sabe-se que o funcionário da manutenção recebe $ 10,00 a hora e que o custo de máquina parada é de $200,00 a hora. Assumindo que o processo obedece as leis de Poisson, pede-se: a) O custo horário do sistema b) A porcentagem do dia em que o operador de manutenção fica ocioso.

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Solução 10.2 Temos: Taxa média de chegada λ = 1 chegada por hora Ritmo médio de atendimento μ = 1,5 atendimento por hora a) O custo horário do sistema O custo do sistema é a soma do custo do funcionário da manutenção (que é parte permanente do sistema) com o custo das máquinas que estão paradas (aguardando reparo), que nada mais é do que o NS NS= λ / (μ - λ) = 1 / (1,5 – 1) NS= 2 Custo hora do sistema = 10,00 + (2*200,00) = $410,00 b) A porcentagem do dia em que o operador de manutenção fica ocioso: A porcentagem do dia em que o operador de manutenção fica ocioso corresponde aquela onde não há nenhum cliente (máquina necessitando manutenção) no sistema. P(n)= (λ / μ)n * ((μ - λ) / μ) P(0)= (λ / μ)0 * ((μ - λ) / μ) = ((1,5-1) / 1,5) P(0)= 33,3%