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Prof. Enio Lima UECE-FECLI. O que é mesmo um número primo???? Um número inteiro p > 1 é dito ser um número primo se seus únicos divisores positivos são.

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1 Prof. Enio Lima UECE-FECLI

2 O que é mesmo um número primo???? Um número inteiro p > 1 é dito ser um número primo se seus únicos divisores positivos são o 1 e próprio p. Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89, etc... Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito composto.

3 Pitágoras de Samos ( a.C) Profeta, místico, filósofo, astrônomo e matemático grego. Possível origem 1)O número 1 era chamado de unidade (monad, do grego). 2)Demais números : 2 (dyad),3,4,8, etc... arithmós, do grego. 3)2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de protoi arithmói. 4)Deuterói arithmói: números que podem ser gerados pelo produto protoi arithmói: 4,6,24,66,etc..

4 Os Elementos de Euclides cerca. 300 AC. A Aritmética de Nicômaco cerca de 100 dC. Livros influentes

5 O De Institutione Arithmetica, do romano Boécio cerca de 500 dC. O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em torno de 1200 dC. Livros influentes

6 O Teorema Fundamental da Aritmética Todo inteiro positivo composto se fatora de maneira única como um produto de números primos. Euclides de Alexandria (360 a.C. 295 a.C.)

7 Os números primos são finitos? Há uma infinidade de números primos Euclides de Alexandria (360 a.C. 295 a.C.)

8 A demonstração de Hermite Charles Hermite ( ) foi um matemático francês. Prova: para cada número natural n>1 defina x(n)=n!+1. Como x(n) é um número natural (para cada n natural), então existe um primo p fator de x(n). Esse primo p não pode dividir um número menor do que ou igual a n, pois neste caso, dividiria n! e daí, dividiria x(n)-n!=1 Conclusão: dado qualquer natural n>1, sempre existe um primo p > n, ou seja : Há uma infinidade de números primos!

9 Descobrindo primos – O crivo de Eratóstenes (276 a.C. 194 a.C.), foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego

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11 Sobre a distribuição dos primos 2) Existem 9 números primos entre e )Como vimos no crivo existem 29 números primos entre 1 e 120 3) Mas já entre os cem números seguintes, até , existem apenas 2 : e

12 Sobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) foi um matemático francês Johann Carl Friedrich Gauss ( ) matemático alemão

13 Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos números primos Charles Poussin ( ) matemático belga Jacques Hadamard ( ) matemático francês.

14 Em 1949, Erdös ( ) e Selberg (1917-), independentemente, demonstraram o Teorema dos Números Primos sem apelo à teoria analítica dos números.

15 xpi(x)x/log x Sobre a distribuição dos primos alguns valores

16 Um pouco sobre os números de: Pierre Fermat (1601 – 1665) matemático e cientista francês.

17

18 ×

19 Um pouco sobre os primos de: Marin Mersenne ( ) foi um matemático, padre,teólogo e filósofo francês.

20 Números perfeitos e os primos de Mersenne Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios. Exemplo: 6 é perfeito, pois 1+2+3=6. A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides prova que se 2 n -1 é um número primo então 2 n-1. 2 n -1 é um número perfeito, e estes números são pares. Euler provou que todo número perfeito par tem essa forma. Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. conjectura-se

21 Alguns Primos de Mersenne = ¹-1= = ¹ -1= ²¹-1=

22 2-1=

23 10 maiores primos de Mersenne já encontrados até 2009

24 Primo de Mersenne Dígitos 1) (2008) 2) (2009) 3) (2008) 4) (2006) 5) (2005) 6) (2005) 7) (2004) 8) (2003) 9) (2001) 10) (2007)

25 Sophie Germain ( ) matemática francesa Os primos de: Um primo p é dito ser um primo de Sophie Germain quando p e 2p+1 são primos. Exemplos: 1) 3 é um deles pois: 3 e =7 são primos. 2) 5 é um deles pois: 5 e =11 são primos

26 Dígitos 1) · (2007) 2) · (2006) 3) · (2009) 4) · (2005) 5) · (2003) 05 maiores primos de Sophie Germain já encontrados até 2009

27 Alguns testes de primalidade

28 91 é composto 9901 é primoprimo é composto é primoprimo é composto é primoprimo é composto é primoprimo

29 ) Um primo com 1240 dígitos

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31 Alguns problemas em aberto sobre Primos

32 Observem os primos: 13,17,29,37,41 e 341 Todos eles são da forma 4k+1, vejam:

33 Todos eles são soma de quadrados de dois inteiros, vejam:

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36 Demonstração:

37 c.q.d

38 Relembrem!!! Conclusão:

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40 é irracional!!

41 Vendo geometricamente:

42 Conclusões:

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