Um passeio pelos números primos

Apresentação em tema: "Um passeio pelos números primos"— Transcrição da apresentação:

1 Um passeio pelos números primos
Numeros primos Um passeio pelos números primos Czczczczc Prof. Enio Lima UECE-FECLI

2 O que é mesmo um número primo????
Numeros primos O que é mesmo um número primo???? Um número inteiro p > 1 é dito ser um número primo se seus únicos divisores positivos são o 1 e próprio p. Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc... Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito composto.

3 Possível origem O número 1 era chamado de unidade (monad, do grego).
Demais números : 2 (dyad),3,4,8, etc... arithmós, do grego. 2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de protoi arithmói. Deuterói arithmói: números que podem ser gerados pelo produto protoi arithmói: 4,6,24,66,etc.. Pitágoras de Samos ( a.C) Profeta, místico, filósofo, astrônomo e matemático grego.

4 Livros influentes Os Elementos de Euclides cerca. 300 AC.
A Aritmética de Nicômaco cerca de 100 dC.

5 Livros influentes O De Institutione Arithmetica,
do romano Boécio cerca de 500 dC. O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em torno de 1200 dC.

6 O Teorema Fundamental da Aritmética
“Todo inteiro positivo composto se fatora de maneira única como um produto de números primos.” Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.)

7 Os números primos são finitos? “Há uma infinidade de números primos”
Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.)

8 A demonstração de Hermite
Prova: para cada número natural n>1 defina x(n)=n!+1. Como x(n) é um número natural (para cada n natural) , então existe um primo p fator de x(n). Esse primo p não pode dividir um número menor do que ou igual a n, pois neste caso, dividiria n! e daí, dividiria x(n)-n!=1 Conclusão: dado qualquer natural n>1, sempre existe um primo p > n, ou seja : Há uma infinidade de números primos! Charles Hermite (1822 —1901) foi um matemático francês.

9 Descobrindo primos – O crivo de
Eratóstenes (276 a.C. — 194 a.C.), foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego

10

11 Sobre a distribuição dos primos
Como vimos no crivo existem 29 números primos entre 1 e 120 2) Existem 9 números primos entre e                                                                        3) Mas já entre os cem números seguintes ,   até , existem apenas 2:         e    

12 Sobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre
Johann Carl Friedrich Gauss ( ) matemático alemão Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) foi um matemático francês

13 Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos números primos
Numeros primos Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos números primos Charles Poussin ( ) matemático belga Jacques Hadamard ( ) matemático francês.

14 Em 1949, Erdös ( ) e Selberg (1917-), independentemente , demonstraram o Teorema dos Números Primos sem apelo à teoria analítica dos números.

15 Sobre a distribuição dos primos
alguns valores x pi(x) x/log x 1000 168 145 10000 1229 1086 100000 9592 8686 78498 72382 664579 620420

16 Um pouco sobre os números de:
Pierre Fermat (1601 – 1665) matemático e cientista francês.

17

18 ×

19 Um pouco sobre os primos de:
Marin Mersenne ( ) foi um matemático, padre ,teólogo e filósofo francês.

20 Números perfeitos e os primos de Mersenne
Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios. Exemplo: 6 é perfeito, pois 1+2+3=6. A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides prova que se 2n-1 é um número primo então 2n-1 . 2n-1 é um número perfeito, e estes números são pares. Euler provou que todo número perfeito par tem essa forma. Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum.

21 Alguns Primos de Mersenne
219-1= ⁶¹-1= ⁸⁹-1= ¹⁰⁷-1= ⁵²¹-1=

22 2⁶⁰⁷-1=

23 10 maiores primos de Mersenne já encontrados até 2009

24 Primo de Mersenne Dígitos 1) 47(2008) 2) 46(2009) 3) 45(2008) 4) 44(2006) 5) 43(2005) 6) 42(2005) 7) 41(2004) 8) 40(2003) 9) 39(2001) 10) 38(2007)

25 Os primos de: Sophie Germain (1776 —1831) matemática francesa Um primo p é dito ser um primo de Sophie Germain quando p e 2p+1 são primos. Exemplos: 1) 3 é um deles pois: 3 e =7 são primos. 2) 5 é um deles pois: 5 e =11 são primos

26 05 maiores primos de Sophie Germain já encontrados até 2009
Dígitos 1) · 51.910 47(2007) 2) · 51.780 46(2006) 3) · 37.173 45(2009) 4) · 36.523 44(2005) 5) · 34.547 43(2003)

27 Alguns testes de primalidade

28 Uma sequência curiosa!!!! 91 é composto 9901 é primo 999001 é composto

29 Primos Curiosos! 1) Um primo com 1240 dígitos

30 2) 2⋅10²⁷-1= ) )

31 Alguns problemas em aberto sobre Primos
Numeros primos Alguns problemas em aberto sobre Primos

32 Uma conexão entre números primos e o Círculo
Observem os primos: 13,17,29,37,41 e 341 Todos eles são da forma 4k+1, vejam:

33 Todos eles são soma de quadrados de dois inteiros, vejam:

34

35 Um lindo problema! Numeros primos

36 Demonstração:

37 c.q.d

38 Relembrem!!! Conclusão:

39 Numeros primos

40 é irracional!!

41 Vendo geometricamente:

42 Conclusões:

43 Até a próxima oportunidade!
OBRIGADO!! Até a próxima oportunidade!