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Acordem a aula já vai começar! Contagem e Probabilidade.

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Apresentação em tema: "Acordem a aula já vai começar! Contagem e Probabilidade."— Transcrição da apresentação:

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2 Acordem a aula já vai começar!

3 Contagem e Probabilidade

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5 Contagem Processo para se encontrar o número de elementos de um conjunto ou das possíveis respostas em uma situação problema. Sendo usado para esse fim um raciocínio matemático chamado Princípio Multiplicativo.

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7 Princípio Multiplicativo Se uma escolha E 1 possui n opções, uma escolha E 2 m opções e assim sucessivamente até uma escolha E k com p opções. Temos que o número total(contagem) de maneiras de fazermos as escolhas E 1, E 2,..., E k, será o produto das opções em cada escolha, ou seja, n.m.....p.

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9 Probabilidade Onde E é o evento e  o espaço amostral

10 Vamos aos exemplos!

11 Exemplo 1: Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

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13 E1E1 E2E2

14 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E = 6 saias blusas 6 maneiras de fazer as escolhas E 1 e E 2, ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir.

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16 Exemplo 2: Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada, salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa?

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19 E1E1 E2E2 E3E3

20 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E 2 E = 24 p. q. sal. Sobr. 24 maneiras de fazer as escolhas E 1, E 2 e E 3, ou seja, 24 modos do cliente se servir com o cardápio.

21 Exemplo 3: Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo mais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão com salada verde, de quantas maneiras você poderia se alimentar pagando menos?

22 E1E1 E2E2 E3E3

23 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E 2 E = 6 p. q. sal. Sobr. 6 maneiras de fazer as escolhas E 1, E 2 e E 3, ou seja, 6 modos do cliente se servir com o cardápio.

24 Qual é a probabilidade de nesse restaurante uma pessoa fazer uma refeição barata ?

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27 Exemplo 4: De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade X?

28 A para X

29 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E 2 E = 40 A a Y Y a B B a X 40 maneiras de fazer as escolhas E 1, E 2 e E 3, ou seja, 40 caminhos diferentes de A para X.

30 Exemplo 5: De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade Y?

31 A para Y

32 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E 2 E = 24 A a X X a B B a Y 24 maneiras de fazer as escolhas E 1, E 2 e E 3, ou seja, 24 caminhos diferentes de A para Y.

33 Exemplo 6: De quantas maneiras você pode ir da cidade B para a cidade Y?

34 B para Y

35 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E 2 E = 60 B a X X a A A a Y 60 maneiras de fazer as escolhas E 1, E 2 e E 3, ou seja, 60 caminhos diferentes de B para Y.

36 Exemplo 7: De quantas maneiras você pode ir da cidade B para a cidade X?

37 B para X

38 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E 2 E = 30 B a Y Y a A A a X 30 maneiras de fazer as escolhas E 1, E 2 e E 3, ou seja, 30 caminhos diferentes de B para X.

39 Exemplo 8: De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade B?

40 A para B

41 Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E 1 E 2 ou E 3 E = 22 A a X X a B A a Y Y a B 22 maneiras de fazer as escolhas E 1 e E 2 ou E 3 e E 4, ou seja, 22 caminhos diferentes de A para B.

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47 Exemplo 9: Considerando números formados com três digitos e usando os algarismos 0,2,3,5,6,7 e 9 responda:

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49 a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar? b) Quantos são impares ? c) Quantos são impares distintos ? d) Quantos são pares ? e) Quantos são pares distintos ?

50 Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar? Ex: 567, 336, 999, 432, 905, 562, 037, 579,... E 1 E 2 E = 294 menos nºs de três dígitos.

51 Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 b) Quantos são impares ? Ex: 567, 337, 992, 439, 905, 560, 237, 579,... E 2 E 3 E = 168 menos 0 3,5,7,9 168 nºs impares de três dígitos.

52 Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 c) Quantos são impares distintos ? Ex: 567, 337, 957, 539, 905, 565, 237, 579,... E 2 E 3 E = 100 menos 0 e E 1 3,5,7,9 100 nºs impares de três dígitos distintos.

53 Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 d) Quantos são pares ? Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 236, 579,... E 2 E 3 E 1 ou E 2 E 3 E = 126 menos 0 0 menos 0 2,6 126 nºs pares de três dígitos.

54 Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 e) Quantos são pares distintos ? Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 226, 576,... E 2 E 3 E 1 ou E 2 E 3 E = 80 menos 0 0 menos 0 e E 1 2,6 80 nºs pares de três dígitos distintos.

55 Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 ImparParTotal Ambos Distinto Repetido

56 Se todos os números formados estão em uma urna qual é a probabilidade de escolhermos um número impar distinto ?

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59 Exemplo 10: Um professor tem 15 alunos e deseja fazer uma fila com 4 alunos. Quantas filas diferentes ele pode montar?

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61 E 1 E 2 E 3 E = filas diferentes.

62 Exemplo 11: Em um país são realizadas eleições para os cargos: presidente, vice-presidente e governador. Vinte candidatos, entre eles Pedro, disputam os cargos. a)Quantos resultados diferentes pode ter essa eleição? b)Quantos resultados apresentam Pedro como vice?

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64 a)Quantos resultados diferentes pode ter essa eleição? E 1 E 2 E = 6840 presi. vice gov resultados diferentes.

65 b) Quantos resultados apresentam Pedro como vice? E 2 E 1 E = 342 presi. vice gov. 342 resultados com Pedro como vice.

66 Qual é a probabilidade de Pedro ganhar como vice ?

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69 Exemplo 12: Quinze seleções disputam o torneio olímpico de vôlei masculino, entre elas Brasil e França. a) Quantos resultados diferentes pode ter esse torneio? b) Em quantos resultados o Brasil recebe medalha, mas a França não?

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71 a)Quantos resultados diferentes pode ter esse torneio? E 1 E 2 E = 2730 ouro prata bronze 2730 resultados diferentes.

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73 b) Em quantos resultados o Brasil recebe medalha, mas a França não? E 1 E 2 E = 156 ou Brasil = 156 ou Brasil = 156 Brasil 468 resultados ouro prata bronze

74 Qual é a probabilidade do Brasil ganhar medalha e a França não?

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78 Você sabe o que é um anagrama?

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80 Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra palavra.

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82 Exemplo ploexem mexeplo pemexol loepemx xopemel..

83 Exemplo 13: Considerando os anagramas da palavra vestibular, responda:

84 a) Quantos são? b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal? c) Quantos apresentam as letras VESTI juntas nessa ordem ? d) Quantos começam por E, a quarta letra é T e terminam por consoante ?

85 V e s t i b u l a r a) Quantos são? E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 E 9 E = = anagramas.

86 b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal? E 1 E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 E 9 E 10 E = cons. vog. v,s,t,b,l,r e,i,u,a = anagramas.

87 c) Quantos apresentam as letras VESTI juntas nessa ordem ? VESTI B U L A R E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E = VESTI = 720 anagramas.

88 d) Quantos começam por E, a quarta letra é T e terminam por consoante ? E 1 E 4 E 5 E 2 E 6 E 7 E 8 E 9 E 10 E = E T cons. v,s,t,b,l,r = anagramas.

89 Exemplo 14: A senha de um computador é formada por 5 letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto. a)Quantas senhas podemos formar ? b)Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por consoante ?

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91 a) Quantas senhas distintas podemos formar? E 1 E 2 E 3 E 4 E = = senhas.

92 b) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por consoante ? E 1 E 3 E 4 E 5 E = cons. cons. = senhas.

93 Qual é a probabilidade de um chipanzé brincando com um teclado digitar uma senha com letras distintas começando e terminando por consoante?

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97 Exemplo 15: Quantos carros podem circular em um país em que as placas são formadas por 2 letras seguidas de 4 dígitos ?

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100 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E = L L N N N N = de placas.

101 A questão da ordem Todo problema de contagem deve decidir se será...

102 Com ordem

103 A ordem é importante e produz resultados diferentes

104 Ou

105 Sem ordem

106 A ordem não é importante e produz resultados repetidos

107 Então como saber se é Com ordem sem ordem ou

108 Quando as escolhas são feitas em conjuntos distintos por gênero dos elementos (opções), basta-se apenas aplicar o Princípio Multiplicativo sem preocupação com a ordem! Como foi feito no caso das vestis de Maria ou da refeição no restaurante.

109 Mas, quando as escolhas são feitas em conjuntos semelhantes pelo gênero dos elementos (opções), é necessário : - aplicar o Princípio Multiplicativo no caso do problema ser com ordem. (Arranjo) Ou - aplicar o Princípio Multiplicativo dividido pela Permutação do nº de escolhas no caso do problema ser sem ordem. (Combinação) Exemplo de permutação: P 5 = = 120 Como foi feito nos casos dos anagramas, competições ou na formação de nºs com dígitos. Todos casos de arranjo.

110 Exemplo de Combinação (sem ordem) Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos?

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112 Exemplo de Combinação (sem ordem) Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos?

113 Exemplo de Combinação (sem ordem) Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos? = _________________________

114 Exemplo de Combinação (sem ordem) Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos? = = _______________________________________

115 Exemplo de Combinação (sem ordem) Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos? = = grupos _______________________________________

116 Exemplo de Combinação (sem ordem) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando- se 5 frutas distintas.

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118 Exemplo de Combinação (sem ordem) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando- se 5 frutas distintas

119 Exemplo de Combinação (sem ordem) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando- se 5 frutas distintas = _______________________

120 Exemplo de Combinação (sem ordem) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando- se 5 frutas distintas = = _______________________ ______________

121 Exemplo de Combinação (sem ordem) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando-se 5 frutas distintas = = sabores _______________________ ______________

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123 Exemplo de Combinação (sem ordem) Qual é a probabilidade de ganhar na mega- sena marcando-se 3 cartões?

124 Exemplo de Combinação (sem ordem) Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões?

125 Exemplo de Combinação (sem ordem) Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões? = _____________________________________

126 Exemplo de Combinação (sem ordem) Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões? = 720 _____________________________________

127 Exemplo de Combinação (sem ordem) Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões? = resultados

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129 Então temos:

130 Vai sonhando!!!!!

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132 Qual a probabilidade de pegar o ratinho?


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