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Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 1 www.acreo.se Problema: descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra conhecendo o pulso inicial E (z=0,

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1 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 1 Problema: descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra conhecendo o pulso inicial E (z=0, t) Solução: determine E / z (i.e., como E varia ao longo de z) ρ f = 0 E = - B/ t H = J f + D/ t D = B = 0 Equações constitutivas: D = ε o E + P B = µ o H + M D, H fluxo elétrico e magnético P descreve a resposta do material à presença do campo elétrico Óptica não-linear em fibras

2 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 2 E) = - / t B = (- / t ( µ o H ) = - µ o 2 / t 2 (ε o E + P) ( E) = - 1/c 2 2 E / t 2 - μ o 2 P /t 2 Elimina termos magnéticos B e H Para resolver para P precisa-se de mecânica quântica. Longe de resonâncias, vale a expansão de Taylor : P = ε o [ χ (1) E + χ (2) EE + χ (3) EEE + …] Aproximação de dipolo elétrico (termos do tipo B E, E. E, etc são desprezados) Óptica não-linear em fibras

3 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 3 E) = ( E) - 2 E ( 2 E - 1/c 2 2 E / t 2 = μ o 2 P /t 2 Pulse propagation equation Óptica não-linear em fibras

4 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # E P µoµo = 2 t2t2 1 c2c2 E 2 t2t2 Equação de onda para luz em materiais P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E +... não-linear linear [1 + χ (1) ] + 2 z2z2 E ω 2 c 2 E = 0 Caso linear: P ~ E Assuma modos transversais: autoestados de propagação Seja E tot = E (z) exp (iωt) + E * (z) exp (-iωt) n 2 (depende de ω = dispersão) Óptica não-linear em fibras 2 y2y2 E 2 x2x2 E ++

5 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 5 Sellmeier equation n ωα/c ω ω ωoωo Normal dispersion Anomalous dispersion n decreases with ω Refractive index is well described far from resonances by:

6 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 6 Equação de onda para luz em materiais Solução: Separa variáveis e elimina x e y: E (r,t) = F(x,y) A(z,t) exp [i(βz-ωt)] x Equação transversal: 2 F /x F /y 2 + [ε(ω)K o 2 - β 2 ] F = 0 Condições de contorno fazem aparecer modos F(x,y) são funções de Bessel, combinadas em HE mn e EH mn LP 01 LP 11 LP E P µoµo = t2t2 n2ω2n2ω2 c 2 E 2 t2t2

7 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 7 P = o (1) E + o (3) E.E.E Seja E tot = E (z) exp (iωt) + E * (z) exp (-iωt) E.E.E = E 3 exp 3(iωt) + 3 E E * E exp (iωt) + 3 E* E E* exp (-iωt) + E *3 exp 3(-iωt) I THG E.E.E = E 3 exp (i 3ω t) + 3 I E exp (iωt) + cc O termo não-linear pode ser expresso como uma correção de n P = o (1) E + (3 o (3) I.) E (n 0 + n 2 I) Índice de refração depende da intensidade Automodulação de fase Assuma modos transversais: autoestados de propagação I

8 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 8 Consequências da automodulação de fase o índice de refração é alterado pelo próprio pulse de luz SPM depende da intensidade do pulso Na presença de SPM a onda se adianta ou se atrasa Isto se traduz na mudança da frequência do pulso O espectro se alarga: as caudas não sofrem SPM o pico sofre SPM, λ muda λ λ t No SPM SPM

9 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 9 Pulso = cos (ω o t-kz) Fase instantânea = (ω o t-kz) = (ω o t-2πnz/λ) Frequência instantânea Φ/z = ω o if n = n o ω o -2πn 2 z/λ dI/dz if n = n o + n 2 I Chirp: varredura de frequências, Desenvolvido durante a 2a guerra para compressão de radar Com SPM o espectro alarga mesmo se a forma do pulso permanecer constante (na ausência de dispersão) Depende de dI/dT, altas intensidades criam um chirp grande Óptica não-linear em fibras

10 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 10 A frente do pulso se torna avermelhada A causa se desloca para o azul Varredura linear onde o pulso é mais intenso Varredura positiva: frequência aumenta Pulsos quadrados só tem SPM durante as rampas Qual é o chirp induzido por um laser CW de 200 W ao longo de uma fibra de 1 km-long devido a SPM? frente cauda ω+ δω ω ωoωo ω - δω Time Automodulação de fase

11 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 11 ω Time Mesma frequência, diferentes tempos interferência Qualitativamente: porque oscilações? Automodulação de fase

12 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 12 Em fibras de vidro P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E +... Quando um campo DC é gravado (poling) P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E rec E appl E +... (2) eff Quando um campo intenso é aplicado P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E appl E appl E +... Kerr effect Outros efeitos não-lineares de 3a ordem

13 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 13 Outros efeitos não-lineares de 3a ordem SHG com campo gravado Efeito eletro-óptico com um campo DC gravado 2 2 == (3) 0 dc 2 2 == (3) (3) 0 dc 0 0 = dc (3) = dc 0 0 (3) (3)

14 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 14 Poling (2) = 0 in fibras Não exibe não-linearidade de segunda ordem Vidro é um material simétrico Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC! Poling Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC! Poling Apesar de (2) ainda ser zero, (3) E DC. E. E ~ (2) eff E. E P E P E

15 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 15 Gravando o campo elétrico IR, visible (optical poling) Visible + electric field (optical-field assisted poling) UV + electric field (UV poling) Fs + electric field (fs poling) -rays + electric field (gamma-ray poling) Heat + electric field (thermal poling) Ion implantation Heat + electrostatic charging (thermal charging)

16 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 16 Poling óptico Fiber Nd:YAG laser SH IR. Fiber Seeded Nd:YAG laser SH IR. KTP P 2ω ~ E ω E ω E rec

17 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 17 Poling óptico

18 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 18 Optical poling Fibra atacada com HF e examinada num microscópio Rede com QPM é gerada pelo campo óptico

19 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # silica 280 o C R. Myers, S. Brueck et al, Opt. Lett. 16, 1732 (1991) Strong recorded electric field ~ V/m ! Top layer < 15 µm 2 mm Poling fused silica Create an effective (2) (3) E dc. E. E ~ (2) eff E. E Poling térmico

20 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 20 Poling sobre um hot-plate 3 dB Active arm Reference arm HOT-PLATE ~265 o C High voltage 280 o C

21 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 21 Fibras electroópticas Í ndice depende fracamente do campo aplicado Applied field Low amplitude Small phase shift Antes do poling Só efeito Kerr P = P L + E ω E appl E appl

22 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 22 Applied field P = P L + E ω E rec E appl Low amplitude Small phase shift Depois do poling Só efeito Kerr E recorded P = P L + E ω E appl E appl Antes do poling Só efeito Kerr Í ndice depende do campo aplicado Fibras electroópticas

23 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 23 Applied field P = P L + E ω E rec E appl E recorded P = P L + E ω E appl E appl Large phase shift Low amplitude Í ndice depende do campo aplicado Fibras electroópticas Depois do poling Só efeito Kerr Antes do poling Só efeito Kerr

24 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 24 Caracterização Mach-Zehnder

25 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 25 Modulador de fase electroóptico Componente a fibra polarizada

26 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 26 Modulador eletroóptico a fibra 110 π phase shift Χ (2) = 0.25 pm/V V π = 110 V Phase modulator Typical 1 µm V π ~ 100 V Electrical bandwidth: 20 MHz Loss: 1 dB (fast axis) 10 dB (slow axis) Χ (2) = 0.25 pm/V Typical 1 µm V π ~ 100 V Electrical bandwidth: 20 MHz Loss: 1 dB (fast axis) 10 dB (slow axis) Χ (2) = 0.25 pm/V OE 17, 1553 (2009)

27 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 27 Depois do poling ΔL = L 2 – L 1 ~ 200 µm V π = 38 V 2x2 push-pull fiber switch/modulator 3 dB Interferometro Mach-Zehnder a fibra

28 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 28 Transmissão de vídeo Poled fibre modulator for video transmission Det. 1V 15V pp Video source Video source fiber interf. Electrooptical Fiber link CW laser TV Acreo – ECOC 2004 exhibition

29 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 29 Transmissão de vídeo

30 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 30 Quasi-phase matching in poling óptico

31 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 31 Length Phase matched QPM in Xtal QPM by Erasure SHG Not phase matched Coherence length Comprimento de coerência: em cristais ~5 µm em fibras ~40 µm Quasi phase-matching

32 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 32 Apagamento periódico com UV Poling creates a uniform (2) in the core χ Periodic UV erasure Metal-filled contacted fiber

33 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 33 Determinando o período necessário Fiber Nd:YAG laser SH IR. Fiber Seeded Nd:YAG laser SH IR. KTP P 2ω ~ E ω E ω E rec

34 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 34 Optical poling

35 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 35 Optical poling Etched fiber under microscope 36.1 µm

36 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 36 Two sets of gratings

37 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 37 Reproducibility in wavelength

38 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 38 Linearidade: período para QPM

39 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 39 High-average-power second-harmonic generation from periodically poled silica fibers, A. Canagasabey et al, Opt Lett, 15 Aug 2009 Fibra poled periodicamente

40 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 40 Stimulated Raman scattering (Blillouin…) Energy is lost to vibrations (in silica peak ~440 cm -1 ) Shift from 1.06 µm to 1.12 µm, and then 1.18 µm, 1.24 µm… Shift at 1.48 µm is to 1.58 µm At room temperature, most atoms are in their vibrational ground state Laser excites vibrations (Stokes) Laser de-excites vibrations extremely unlikely (no anti-Stokes peak seen) Espalhamento Raman

41 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 41 Espalhamento Raman Espalhamento Raman estimulado Ganho do espalhamento Raman

42 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 42 Espalhamento Raman estimulado

43 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 43 Na aproxima ção de envelope variando lentamente A/z + β 1 A/t + i/2 β 2 2 A/t 2 + αA/2 = + i γ |A| 2 A Redefine time origin (travel with pulse referential) iA/z = -iαA/2 + 1/2 β 2 2 A/T 2 - γ |A| 2 A γ = n 2 ω o /cA eff nonlinear coefficient of the fiber (in STF γ ~2/W km) β 1 = 1/v G β 2 = GVD parameter Equação de onda para luz em materiais E P µoµo = t2t2 n2ω2n2ω2 c 2 E 2 t2t2

44 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 44 iA/z = -iαA/2 + 1/2 β 2 2 A/T 2 - γ |A| 2 A Absorption Dispersion Nonlinearity Como estimar a importância destes efeitos? (Govind rules ok!) L D = T o 2 /|β 2 | Comprimento de dispersão L NL = 1/γP o Comprimento de não-linearidade Equação não-linear de Schroedinger (when α~0) iA/z = 1/2 β 2 2 A/T 2 - γ |A| 2 A

45 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 45 iA/z = 1/2 β 2 2 A/T 2 - γ |A| 2 A Normalizing for pulse duration and power t = T/T o A(z,t) = P o exp(-αz/2)U(z,t) iU/z = ± 1/2L D 2 U/T 2 – 1/L NL exp(-αz) |U| 2 U (sign of β 2 ) Third order dispersion n(I) leads to β(ω) Self-steepening Delayed material response Raman SFS

46 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 46 Four regimes: 1) L<L D and L<L D and L>L NL dispersion, nonlinearity Quatro regimes de pulsos

47 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 47 L D = T o 2 /β 2 large: long pulse (or low dispersion) L NL =1/ γP o large: low power (or low nonlinearity) iU/z = ± 1/2L D 2 U/t 2 – 1/L NL exp(-αz) |U| 2 U iA/z = -iαA/2 A = A o exp(- αz) iA/z = -iαA/2 + 1/2 β 2 2 A/T 2 - γ |A| 2 A Caso 1 Pulso apenas se atenua time λ λ

48 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 48 No nonlinearity (intensity or γ too low) For example, T o = 1 ps, P o = 1 mW L>LD and L<

49 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 49 dispersion time λ λ red blue What happens to a chirped pulse when it propagates under a regime dominated by GVD? Predispersed If the pulse is chirped to start with, the pulse duration can narrow due to GVD Caso 2: dispersão

50 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 50 Chromatic dispersion Dispersão cromática Broadband optical input Broadband optical output

51 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 51 Problema em telecom Input Output

52 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 52 No dispersion but SPM; L L NL α = 0 U/z = i/L NL |U| 2 U Typically for SMF: L NL ~1 km (at 1W power) Solution: U gains a nonlinear phase along z U(z,T) = U(0,T) exp (iΦ NL (z,T)) where Φ NL (z,T) = 1/L NL |U(0,T)| 2 How does the shape of the pulse change under SPM only? |U(z,T)| 2 = |U(0,T)| 2 exp(iΦ NL (z,T) exp(-iΦ NL (z,T) No change! z eff Caso 3: não-linearidade (SPM)

53 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 53 Caso 3: não-linearidade (SPM)

54 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 54 SPM broadens spectrum of unchirped pulse New frequencies appear on front and trailing edges The pulse becomes less coherent In the absence of dispersion, no change in pulse shape in time SPM time λ λ Caso 3: não-linearidade (SPM)

55 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 55 SPM and Dispersion; L>L D and L>L NL iU/z = ± 1/2L D 2 U/t 2 – 1/L NL |U| 2 U The sign of β 2 is decisive: - the effects of dispersion and SPM add to each other (normal regime) + the effects of dispersion and SPM can cancel each other (anomalous) Soliton! Caso 4: dispersão e não-linearidade

56 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 56 Regime de dispersão normal, β 2 positivo (D negativo) Pulso alarga Espectro alarga Caso 4: dispersão e não-linearidade

57 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 57 Dispersão anômala, β 2 negativo (D positivo) Pulso e espectro atingem Um regime estacionário Forma do pulso U(t) = sech (t) Caso 4: dispersão e não-linearidade

58 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 58 Dispersion No dispersion Soliton

59 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 59 Cross-phase modulation Refractive index at λ 1 is affected by the presence of pulse at λ 2 P NL ( ω 1 ) = χ eff ( |E 1 | 2 + 2|E 2 | 2 )E 1 P NL (ω 2 ) = χ eff ( |E 2 | 2 + 2|E 1 | 2 )E 2 P NL (2ω 1 - ω 2 ) = χ eff E 1 2 E 2 * P NL (2ω 2 - ω 1 ) = χ eff E 2 2 E 1 * Parametric mixing, four-photon mixing

60 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 60 Parametric amplification

61 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 61

62 Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 62 The end


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