EXPERIMENTOS FATORIAIS COMPLETOS SEM REPETICAO

Apresentação em tema: "EXPERIMENTOS FATORIAIS COMPLETOS SEM REPETICAO"— Transcrição da apresentação:

1 EXPERIMENTOS FATORIAIS COMPLETOS SEM REPETICAO

2 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Vimos que a avaliação quanto a significância estatística dos efeitos principais e interações pode ser feita pela análise de variância (ANOVA). Restrição: Na ANOVA necessitamos que o número de repetições (ou réplicas) seja maior do que um (r >1), o que nem sempre ocorre num planejamento fatorial. Com apenas uma réplica não sobram graus de liberdade para estimar σ2. Procedimentos de análise:   Estimar σ2 com base em interações de ordem alta;   Usar procedimentos gráficos para identificar possíveis efeitos ativos.  Efeito ativo equivale a efeito do fator diferente de zero.  Quando não há réplicas, ainda assim e possível realizar a análise dos efeitos, através de procedimentos que identifiquem efeitos inativos, e assim considerá-los no resíduo.

3 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
I - Diagrama de Pareto Ferramenta qualitativa útil para a identificação visual de efeitos importantes em experimentos fatoriais com fatores em 2 níveis e 1 réplica. Ele mostra a porcentagem (%) da SQT que está associada a cada efeito estimado no modelo fatorial completo. Uma porcentagem alta dá indícios de fator ativo. Gráficos de Pareto apresentam, por meio de barras, as contribuições em % à SQT em ordem decrescente, por barras e ao mesmo tempo são marcadas as % acumuladas. Este método é fácil e rápido, mas pode conduzir a decisões erradas, já que nem sempre é conclusivo, dado que é uma ferramenta descritiva

4 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Diagrama de Pareto Interpretação: Efeitos que contribuem com pequena porcentagem, podem ser considerados inativos e colocados no resíduo.

5 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
II – Dot Plot ou gráfico de pontos O dot plot mostra as estimativas dos efeitos que são possíveis “outliers”ou valores discrepantes. Como o objetivo é detectar efeitos nulos ou inativos no experimento, estimativas de fatores inativos tendem a se concentrar, no dot plot, próximo ao “zero”, que é o centro da distribuição. Um grande desvio do centro da distribuição sugere que o fator seja ativo.

6 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
III - Papel de Probabilidade Normal (PPN) É um método também fácil e rápido e mais eficaz do que o de Pareto, embora possam ocorrer situações onde ele não seja conclusivo. Etapas da construção: (a) ordenar os valores dos efeitos estimados em ordem crescente. (b) calcular a probabilidade associada a cada valor, através da fórmula: sendo i = ordem (ou posto) do efeito (i =1, 2, ..., t ) t = total de efeitos (tratamentos) a serem marcados no gráfico.  Essa probabilidade é conhecida como função acumulada empírica. (c) marcar os valores do respectivo Efeito x P no PPN (d) verificar os pontos que se afastam do “zero”.

7 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Papel de Probabilidade Normal Interpretação: Quanto mais próximo de zero, mais inativo é o correspondente efeito ou interação. Nos dois gráficos, os dois pontos à direita corresponderiam a efeitos ativos

8 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Exemplo: Num processo químico, executou-se um experimento sem repetição, num total de 16 corridas. Foi medido o rendimento da operação (Y) em função da temperatura (A), pressão (B), concentração (C) e vazão (D), cada um em dois níveis. Os resultados na tabela a seguir. Há algum fator ou interação significativo? Exp. A B C D Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -1 +1 71 61 90 82 68 87 80 50 89 83 59 51 85 78 Experimento fatorial 24, sem réplicas

9 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Exemplo: Tabela de contrastes Exp. A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD Y 1 -1 71,00 2 61,00 3 90,00 4 82,00 5 68,00 6 7 87,00 8 80,00 9 10 50,00 11 89,00 12 83,00 13 59,00 14 51,00 15 85,00 16 78,00 S"-"/8 76,25 60,25 73,38 75,00 71,75 71,88 72,25 72,88 70,00 72,13 72,63 72,00 72,38 S"+"/8 68,25 84,25 71,13 69,50 72,75 71,63 74,50 72,50 Efeito -8,00 24,00 -2,25 -5,50 1,00 0,75 0,00 -1,25 4,50 0,25 -0,75 0,50 -0,25

10 EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Exemplo:Tabela de efeitos ordenados i Fator Efeito P(%) 1 A -8 3,3 2 D -5,5 10,0 3 C -2,25 16,7 4 BC -1,25 23,3 5 ABC -0,75 30,0 6 BCD 36,7 7 ACD -0,25 43,3 8 ABCD 50,0 9 AD 56,7 10 CD 0,25 63,3 11 ABD 0,5 70,0 12 AC 0,75 76,7 13 AB 83,3 14 BD 4,5 90,0 15 B 24 96,7 Interpretação: todos os efeitos de 3ª. ordem e o de 4ª. são inativos e seriam considerados como resíduos na ANOVA

11 REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Nos experimentos vistos, o objetivo é identificar fatores que tem influência sobre a média da resposta. Entretanto, muitas vezes, o que se busca é uma combinação de fatores que minimize a variabilidade da resposta, ou seja, como devem ser ajustadas as diversas variáveis/fatores, de modo a reduzir a variação do produto ou processo. Isto também pode ser feito com o auxílio do papel de probabilidade normal (PPN), porém de um modo ligeiramente diferente daquele feito anteriormente: Realizar o experimento com pelo menos duas réplicas; Calcular o desvio-padrão para cada experiência; Calcular o logaritmo de cada desvio-padrão e considerar este como resposta a ser analisada; Calcular os efeitos principais e interações com os logaritmos dos desvios-padrão e; Analisar os resultados mediante o papel de probabilidade normal.

12 REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Exemplo: A pesagem de um certo tipo de produto tem apresentado variação excessiva, causando problemas à empresa no mercado, já que por diversas vezes esta foi multada. Desconfia-se que três fatores possam ser os responsáveis pela variação no peso: balança (A): digital (-1) ou mecânica (+1) turno (B): manhã (-1) ou tarde (+1) embalagem (C): plástica (-1) ou metálica (+1) O experimento foi feito com 3 repetições (r=3) e os resultados estão a seguir. Exp. A B C AB AC BC ABC s 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 +1 1,08 2,02 1,18 1,51 0,50 2,85 1,16 1,83

13 REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Calcular logaritmo dos desvios-padrão e completar as três últimas linhas: Exp. A B C AB AC BC ABC s log s 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 +1 1,08 2,02 1,18 1,51 0,50 2,85 1,16 1,83 0,0334 0,3054 0,0172 0,1790 -0,3010 0,4548 0,0645 0,2625 S “-”/4 -0,05 0,12 0,13 0,21 0,06 0,09 0,18 S “+”/4 0,30 0,05 0,19 0,17 0,07 efeito 0,35 0,01 -0,01 -0,17 0,08 -0,11

14 REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Emprega-se o Papel de Probabilidade Normal (PPN) e, para tanto, é necessário antes ordenar os efeitos: i Efeito P 1 2 3 4 5 6 7 -0,17 -0,11 -0,01 0,01 0,08 0,13 0,35 7,14 21,43 35,71 50,00 64,29 78,57 92,86  O efeito associado ao fator A é o mais afastado de zero!!!

15 Observe que cada fator tem 2 níveis:
EXERCÍCIOS Os efeitos de sexo (fator A), gordura corporal, em % (fator B) e histórico de fumante (fator C) sobre a tolerância a exercícios foram estudados numa investigação em pequena escala com pessoas de 25 a 35 anos. A tolerância a exercícios foi medida, em minutos, até a fadiga enquanto um indivíduo estava pedalando uma bicicleta. Três indivíduos foram selecionados de cada grupo formado pelos cruzamentos dos níveis de cada fator e submetidos a um teste de “stress”. Observe que cada fator tem 2 níveis: A – sexo: masc, fem B – gordura corporal (%): baixa, alta C – fumo: pouco, muito Qual é a variável resposta? Quantos tratamentos/experiências são possíveis? Qual é o número total de observações?

16 Dados: EXERCÍCIO 1 FUMO (C) % GORDURA (B) SEXO (A) Pouco (-1)
Muito (1) Baixa (-1) Masc (-1) 24,1 29,2 24,6 17,6 18,8 23,2 Fem (1) 20,0 21,9 14,8 10,3 11,3 Alta (1) 14,6 15,3 12,3 14,9 20,4 12,8 Fem (1) 16,1 9,3 10,8 10,1 14,4 6,1

17 Tabela de contrastes e estimativas dos efeitos:
EXERCÍCIO 1 Tabela de contrastes e estimativas dos efeitos:

18 EXERCÍCIO 2 2) Uma empresa deseja caracterizar os efeitos da temperatura de processamento (fator A), de um agente antimicrobiano (fator B), do nível de umidade (fator C) e da acidez (fator D) sobre o crescimento de micróbios numa barra de frutas. O crescimento microbiano é avaliado por meio da contagem de micróbios numa amostra do produto, após 3 meses de estocagem. Os quatro fatores foram estudados nos seguintes níveis : Fator Nível baixo (-1) Nível alto (1) A - Temperatura de processo 152 178 B - Agente (conservante) 0,0 0,1 C - Umidade 0,65 0,85 D - Acidez 4,8 6,8 Variável resposta:

19 Dados:  Uma réplica por tratamento EXERCÍCIO 2 Fatores:
B0 B1 D0 C0 (1) 5,55 (3) 5,19 (2) 4,47 (4) 5,32 C1 (5) 10,54 (7) 5,08 (6) 11,56 (8) 5,45 D1 (9) 5,12 (11) 6,18 (10) 5,63 (12) 5,24 (13) 10,73 (14) 6,53 (15) 11,33 (16) 4,93 Fatores: A - Temperatura de processo B - Agente (conservante) C - Umidade D - Acidez  Uma réplica por tratamento

20 EXERCÍCIO 2 Micróbios Tabela de contrastes Tratamento Y Resp A B C D 1
5,55 -1 2 y1000 4,47 3 y0100 5,19 4 y1100 5,32 5 y0010 10,54 6 y1010 11,56 7 y0110 5,08 8 y1110 5,45 9 y0001 5,12 10 y1001 5,63 11 y0101 6,18 12 y1101 5,24 13 y0011 10,73 14 y1011 10,33 15 y0111 6,53 16 y1111 4,93

21 EXERCÍCIO 2 Micróbios Trat Y Resp A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD
ACD BCD ABCD 1 y0000 5,55 -1 2 y1000 4,47 3 y0100 5,19 4 y1100 5,32 5 y0010 10,54 6 y1010 11,56 7 y0110 5,08 8 y1110 5,45 9 y0001 5,12 10 y1001 5,63 11 y0101 6,18 12 y1101 5,24 13 y0011 10,73 14 y1011 10,33 15 y0111 6,53 16 y1111 4,93 Soma "-"/23 Soma "+"/23 Efeitos -0,2488 -2,5013 2,8063 0,1913 -0,2613 0,0963 -0,3588 -2,7913 0,2688 -0,2187 -0,2013 -0,4013 -0,4888 0,2238 0,2638

22 MINITAB  Stat DOE Factorial  Analyze factorial design
EXERCÍCIO 2 Factorial Fit: Resp versus A; B; C; D Estimated Effects and Coefficients for Resp (coded units) Term Effect Coef Constant ,741 A , ,124 B , ,251 C , ,403 D , ,096 A*B , ,131 A*C , ,048 A*D , ,179 B*C , ,396 B*D , ,134 C*D , ,109 A*B*C , ,101 A*B*D , ,201 A*C*D , ,244 Micróbios MINITAB  Stat DOE Factorial  Analyze factorial design  Detectar possíveis interações inativas (ou nulas) para compor resíduo na ANOVA.

23 Micróbios – Gráfico de Pareto
EXERCÍCIO 2 Micróbios – Gráfico de Pareto  Estimativas dos efeitos B, C e BC são muito maiores do que as dos demais

24 Micróbios - PPN EXERCÍCIO 2
 Confirmando conclusão pelo gráfico de Pareto.

25 Micróbios - Tabela de ANOVA
EXERCÍCIO 2 Micróbios - Tabela de ANOVA Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F Fator A 1 SQA =22 r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=QMA/QMEr Fator B SQB=22r(efeito B)2 QMB= SQB =SB2 FB=QMB/QMEr Fator C SQC=22r(efeito C)2 QMC= SQC =SC2 FC=QMC/QMEr Fator D SQD=22r(efeito D)2 QMD= SQD=SD2 FD=QMD/QMEr Interação AxB SQAB= 22r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=QMAB/QMEr Interação AxC SQAC= 22r(efeito AC)2 QMAC= SQAC =SAC2 FAC=QMAC/QMEr Interação AxD SQAD= 22r(efeito AD)2 QMAD= SQAD =SAD2 FAD=QMAD/QMEr Interação BxC SQBC= 22r(efeito BC)2 QMBC= SQBC =SBC2 FBC=QMBC/QMEr Interação BxD SQBD= 22r(efeito BD)2 QMBD= SQBD=SBD2 FBD=QMBD/QMEr Interação CxD SQCD= 22r(efeito CD)2 QMCD= SQCD =SCD2 FCD=QMCD/QMEr Erro 7 SQEr QMEr = SQEr/7= SE2 Total 15 SQT estimativa de 2

26 F1 F2 F3