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CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Março - 2009.

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1 CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Março

2 Vértices e Arestas Em um grafo não orientado G=(V,E), o conjunto de arestas E consiste em pares de vértices não ordenados. V={1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}

3 Vértices e Arestas Em um grafo orientado (ou dígrafo) G=(V,E), os arcos consistem em pares de vértices ordenados (u,v). V= {1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(4,1),(2,4),...}

4 Vértices e Arestas Loop (laço): uma aresta que liga um vértice a ele mesmo Multi-aresta: é uma coleção de arestas que tem os mesmos pontos finais.

5 Classificação de Grafos Simples: um grafo simples não tem loops nem multi-arestas Multigrafo: pode ter multi-arestas mas não pode ter laços Pseudografo: pode ter multi-arestas e laços Trivial: consiste de um vértice sem arestas Nulo: não tem vértices, nem arestas

6 Vizinho e Vizinhança Os vértices unidos por uma aresta são chamados de vizinhos. A vizinhança (aberta) de um vértice v em um grafo G, denotado por N(v), é o conjunto de todos os vizinhos de v. A vizinhança fechada de um vértice é N(v) U {v}.

7 Adjacência Vértices Adjacentes: se (u,v) é uma aresta em um grafo G=(V,E), dizemos que o vértice v é adjacente ao vértice u. Quando o grafo não é orientado a relação de adjacência é simétrica uv v é adjacente a u u é adjacente a v

8 Adjacência Quando o grafo é orientado a relação de adjacência não é simétrica uv v é adjacente a u u não é adjacente a v pois não existe a aresta (v,u)

9 Adjacência Nos dois exemplos o vértice 2 é adjacente ao vértice 1. Mas no segundo o vértice 1 não é adjacente ao vértice 2 pois não existe a aresta (2,1) Exemplo 1Exemplo 2

10 Incidência Arestas Incidentes: se o vértice v é um dos pontos finais da aresta e, dizemos que e é incidente em v. Quando o grafo não é orientado a relação de incidência é simétrica. e uv

11 Incidência Nos exemplos abaixo a aresta (2,5) é incidente ao vértice 5. Mas no segundo a aresta (2,5) não incide no vértice Exemplo 1Exemplo 2

12 Grau de um Vértice O grau de um vértice em um grafo não orientado é o número de arestas incidentes nele. Loops contam duas vezes Exemplo: o grau do vértice 2 do grafo abaixo é

13 Grau de um Vértice Em um grafo orientado, temos a noção de grau de entrada e grau de saída. O grau de um vértice orientado é seu grau de entrada mais seu grau de saída. O grau de entrada do vértice 2 é 1 e o grau de saída é

14 Soma dos Graus Leonhard Euler estabeleceu uma relação fundamental entre vértices e arestas em um grafo Teorema: a soma dos graus dos vértices de um grafo é duas vezes o número de arestas. Porque? Prova: Cada aresta contribui duas vezes para a soma dos graus.

15 Exercícios 1. Dado o grafo abaixo, ache: 1.O conjunto de vértices 2.O conjunto de arestas 3.O grau de todos os vértices 4.Os vértices adjacentes ao vértice 2 5.Construa uma tabela com os vizinhos de cada vértice

16 Exercícios 2. Defina os conjuntos (V,E), ache os graus e os vizinhos de cada vértice do Grafo G das questões a, b e c.

17 Grafos valorados (Redes Networks) Uma Rede é um grafo não-direcionado (ou um digrafo) no qual um número real é associado os vértices e/ou ligações. Este número é freqüentemente referido como o peso da ligação. Essa classificação é dada de acordo com a necessidade, ou não, da indicação do fluxo entre os vértices.

18 Grafos valorados (Redes Networks) Na prática este número pode representar: - custos, distâncias, capacidades, e/ou suprimentos e demandas; - tempo (trânsito, permanência, etc); - confiabilidade de transmissão; - probabilidade de ocorrer falhas; - capacidade de carga; - outros.

19 Representação Matemática Um Rede é representado matematicamente também por: G=(V,E,w) Onde: V é o conjunto de vértices; E é o conjunto de ligações; e w é o peso associado aos vértices e/ou ligações.

20 Grafos valorados (Redes Networks)

21 Exemplos de Grafos valorados (Redes Networks) Redes ferroviárias Redes de telecomunicações Redes de estradas Redes Elétricas Redes de esgotos Redes de transportes Redes de atividades scheduling de atividades em grandes projetos

22 Redes de atividades

23 Famílias de Grafos Grafo Completo: é um grafo simples tal que cada par de vértices é interconectado por uma aresta. K1K1 K2K2 K3K3 K4K4

24 Famílias de Grafos Grafo Bipartido: é um grafo cujo conjunto de vértices pode ser dividido em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W.

25 Famílias de Grafos Um grafo bipartido não pode ter loops Um grafo bipartido completo tem cada vértice de uma partição conectado a todos os vértices da outra partição K 2,3

26 Famílias de Grafos Grafo Regular: é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau Um grafo k-regular é regular e todos os vértices tem grau k Grafo de PetersenTetraedroMolécula de O 2

27 Famílias de Grafos Bouquet: é um grafo que contém apenas um vértice com n loops Bipolar (Dipole): é um grafo que contém dois vértices ligados por n arestas D3D3 B2B2 B4B4

28 Famílias de Grafos Um grafo caminho P é um grafo simples com |V P | = |E P | + 1, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em uma linha reta P2P2 P3P3 P4P4

29 Famílias de Grafos Um grafo ciclo é um único vértice com um loop ou um grafo simples C, com |V C | = |E C |, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em um círculo C1C1 C2C2 C4C4

30 Famílias de Grafos Outros tipos de grafos: Hipercubo Escada Interseção Intervalo Linha Etc.

31 Exercícios 1. Desenhe o menor grafo não-bipartido possível 2. Desenhe um grafo bipartido 3-regular que não é K 3,3

32 Exercícios 3-Dê uma partição de vértices ou justifique porque o grafo não é bipartido xz uv xy uv wz

33 Gabarito 1 - loop – U = {x, v} e W = {u,z} U = {x, z, u} e W = {y, v, w} xz uv

34 Observação Como dito anteriormente, quando o conjunto de vértices de um grafo é particionado em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W, esse grafo é chamado bipartido. Também pode ser chamado 2-partido. Consequentemente, no caso de ser particionado em 3 subconjuntos teremos um 3-partido e assim sucessivamente até um k- partido (quando temos k subconjuntos).

35 Subgrafo ou sub-grafo Dizemos que um grafo H = (W,F) é um subgrafo, ou sub-estrutura, de um grafo G = (V,E), quando W V e F E. Observe que H é um grafo, o que implica na coerência das definições de W e de F, que não podem ser especificados de forma independente (ou seja, em H só podem existir ligações entre vértices de W).

36 Subgrafo ou sub-grafo

37 Diz que H é um subgrafo induzido quando F contiver exatamente as ligações de G envolvendo vértices de W Grafo G=(V,E) subgrafo induzido H=(W,F)

38 Subgrafo ou sub-grafo Um subgrafo abrangente (ou parcial) é quando W = V

39 Subgrafo ou sub-grafo K-fator Um K-fator é um subgrafo abrangente regular de grau K. Enfim se H for um subgrafo de G, G será um supergrafo de H


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