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1 Entropia Capítulo 6 – Fundamentos de Termodinâmica para a Engenharia (Moran e Shapiro) Luciano F S Rossi LACIT/DAMEC/UTFPR.

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1 1 Entropia Capítulo 6 – Fundamentos de Termodinâmica para a Engenharia (Moran e Shapiro) Luciano F S Rossi LACIT/DAMEC/UTFPR

2 2 Introdução Até este ponto nosso estudo da Segunda Lei tem se restringido aos sistemas que percorrem um ciclo. Neste capítulo serão introduzidos meios para analisar processos não necessariamente cíclicos. Até este ponto nosso estudo da Segunda Lei tem se restringido aos sistemas que percorrem um ciclo. Neste capítulo serão introduzidos meios para analisar processos não necessariamente cíclicos. Energia e entropia são conceitos abstratos. O conceito de energia é mais familiar e de uso diário, enquanto o conceito de entropia raramente aparece em publicações diárias e menos ainda nos aspectos quantitativos. Energia e entropia são conceitos abstratos. O conceito de energia é mais familiar e de uso diário, enquanto o conceito de entropia raramente aparece em publicações diárias e menos ainda nos aspectos quantitativos.

3 3 A Desigualdade de Clausius A desigualdade de Clausius é aplicada a qualquer ciclo, independente do corpo ou dos corpos com os quais o ciclo recebe ou rejeita calor. A desigualdade de Clausius é aplicada a qualquer ciclo, independente do corpo ou dos corpos com os quais o ciclo recebe ou rejeita calor. A desigualdade de Clausius fornece as bases para a introdução de duas idéias instrumentais (para a avaliação quantitativa de sistemas fechados ou volumes de controle), de uma perspectiva da 2 a Lei da Termodinâmica: a propriedade Entropia e o conceito de Geração de Entropia. A desigualdade de Clausius fornece as bases para a introdução de duas idéias instrumentais (para a avaliação quantitativa de sistemas fechados ou volumes de controle), de uma perspectiva da 2 a Lei da Termodinâmica: a propriedade Entropia e o conceito de Geração de Entropia.

4 4 A Desigualdade de Clausius A desigualdade de Clausius estabelece que, para qualquer ciclo termodinâmico: A desigualdade de Clausius estabelece que, para qualquer ciclo termodinâmico: Onde (δQ) representa o calor transferido através de uma parte da fronteira (boundary) do sistema, durante uma porção do ciclo e T é a temperatura absoluta daquela parte da fronteira. Onde (δQ) representa o calor transferido através de uma parte da fronteira (boundary) do sistema, durante uma porção do ciclo e T é a temperatura absoluta daquela parte da fronteira. O subscrito b serve para lembrar que o integrando é avaliado na fronteira (boundary) do sistema que executa o ciclo. O subscrito b serve para lembrar que o integrando é avaliado na fronteira (boundary) do sistema que executa o ciclo.

5 5 A Desigualdade de Clausius O símbolo significa que a integral precisa ser avaliada em todas as partes da fronteira do sistema e no ciclo completo. O símbolo significa que a integral precisa ser avaliada em todas as partes da fronteira do sistema e no ciclo completo. A igualdade se aplica quando não existem irreversibilidades internas e a desigualdade é aplicada quando da existência desse tipo de irreversibilidades. A igualdade se aplica quando não existem irreversibilidades internas e a desigualdade é aplicada quando da existência desse tipo de irreversibilidades.

6 6 Ilustração usada para mostrar a desigualdade de Clausius

7 7 A Desigualdade de Clausius Esta desigualdade pode ser escrita na forma de uma igualdade como Esta desigualdade pode ser escrita na forma de uma igualdade como onde σ ciclo representa a intensidade da desigualdade, sendo que: onde σ ciclo representa a intensidade da desigualdade, sendo que: σ ciclo = 0 não há irreversibilidades dentro do sistema σ ciclo = 0 não há irreversibilidades dentro do sistema σ ciclo > 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema σ ciclo > 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema σ ciclo < 0 impossível. σ ciclo < 0 impossível. σ é uma medida dos efeitos das irreversibilidades presentes no sistema que executa um ciclo. σ é uma medida dos efeitos das irreversibilidades presentes no sistema que executa um ciclo.

8 8 Definição de Variação de Entropia Uma quantidade é uma propriedade se sua variação entre dois estados for independente do processo. Uma quantidade é uma propriedade se sua variação entre dois estados for independente do processo. Dois ciclos internamente reversíveis executados por um sistema fechado estão representados na figura ao lado. Os ciclos AC e BC. Dois ciclos internamente reversíveis executados por um sistema fechado estão representados na figura ao lado. Os ciclos AC e BC. Para o ciclo AC Para o ciclo AC Para o ciclo BC Para o ciclo BC

9 Definição de Variação de Entropia σ ciclo = 0 para ambos os ciclos, pois são reversíveis. σ ciclo = 0 para ambos os ciclos, pois são reversíveis. Assim, Assim, Como os valores de são os mesmos para os dois ciclos, serão iguais para quaisquer outros ciclos reversíveis operando entre os mesmos estados 1 e 2. Como os valores de são os mesmos para os dois ciclos, serão iguais para quaisquer outros ciclos reversíveis operando entre os mesmos estados 1 e 2. Conclui-se que os valores de dependem apenas dos estados 1 e 2 e representam uma propriedade (pela própria definição de propriedade). Conclui-se que os valores de dependem apenas dos estados 1 e 2 e representam uma propriedade (pela própria definição de propriedade). Esta propriedade é chamada Entropia e é usualmente representada pela letra (S). Esta propriedade é chamada Entropia e é usualmente representada pela letra (S).

10 10 Definição de Variação de Entropia Dessa forma, a variação de Entropia entre os estados 1 e 2, para um ciclo internamente reversível pode ser obtida por: Dessa forma, a variação de Entropia entre os estados 1 e 2, para um ciclo internamente reversível pode ser obtida por: Se tivermos um sistema executando um ciclo irreversível entre os estados 1 e 2, a variação da Entropia entre 1 e 2 será a mesma pois a entropia é uma propriedade e portanto apenas função dos estados extremos. Se tivermos um sistema executando um ciclo irreversível entre os estados 1 e 2, a variação da Entropia entre 1 e 2 será a mesma pois a entropia é uma propriedade e portanto apenas função dos estados extremos. Na forma diferencial, a equação para a definição da variação de entropia se torna: Na forma diferencial, a equação para a definição da variação de entropia se torna:

11 11 Avaliando a Entropia A Entropia é uma propriedade extensiva. A Entropia é uma propriedade extensiva. Unidade SI J/K, ou kJ/K Unidade Inglesa BTU/ o R. Unidade SI J/K, ou kJ/K Unidade Inglesa BTU/ o R. Entropia específica kJ/kg.K (SI) e BTU/lb o R (Inglês) Entropia específica kJ/kg.K (SI) e BTU/lb o R (Inglês) Entropia específica molar kJ/kmol.K (SI) e BTU/lbmol o R (Inglês) Entropia específica molar kJ/kmol.K (SI) e BTU/lbmol o R (Inglês) A equação abaixo serve como base para a construção de tabelas e diagramas para a avaliação da Entropia. A equação abaixo serve como base para a construção de tabelas e diagramas para a avaliação da Entropia. S x é a Entropia de um estado de referência, arbitrariamente escolhido. A utilização dos valores de Entropia relativos a um estado de referência arbitrário para o cálculo de variações de entropia é satisfatória porque o valor de referência acaba se anulando. S x é a Entropia de um estado de referência, arbitrariamente escolhido. A utilização dos valores de Entropia relativos a um estado de referência arbitrário para o cálculo de variações de entropia é satisfatória porque o valor de referência acaba se anulando.

12 12 Obtendo valores de Entropia Tabelas Termodinâmicas Tabelas A-2 a A-18 relativas aos estados e valores de referência listados a seguir: Tabelas Termodinâmicas Tabelas A-2 a A-18 relativas aos estados e valores de referência listados a seguir: Água Entropia do líquido saturado a 0,01 o C (estado de ref.) é definida como nula (valor de ref.). Água Entropia do líquido saturado a 0,01 o C (estado de ref.) é definida como nula (valor de ref.). Refrigerantes Entropia do líquido saturado a -40 o C (estado de ref.) é definida como nula (valor de ref.). Refrigerantes Entropia do líquido saturado a -40 o C (estado de ref.) é definida como nula (valor de ref.).

13 13 Tabelas de Entropia A Entropia específica é tabelada de modo similar às demais propriedades (h, u, v) e os valores de Entropia são listados nas mesmas tabelas. A Entropia específica é tabelada de modo similar às demais propriedades (h, u, v) e os valores de Entropia são listados nas mesmas tabelas. Na região de saturação os valores de entropia são determinados através do título (x), e dos valores de s g entropia de vapor saturado e s f entropia de líquido saturado. Calcula-se a entropia de uma mistura liquido- vapor, segundo: Na região de saturação os valores de entropia são determinados através do título (x), e dos valores de s g entropia de vapor saturado e s f entropia de líquido saturado. Calcula-se a entropia de uma mistura liquido- vapor, segundo:

14 14 Tabelas de Entropia Para líquidos comprimidos o procedimento é também análogo ao já visto para a energia interna e para a entalpia. Para líquidos comprimidos o procedimento é também análogo ao já visto para a energia interna e para a entalpia. Se existirem dados tabelados de propriedades do líquido comprimido, os valores da entropia são obtidos diretamente da tabela. Se existirem dados tabelados de propriedades do líquido comprimido, os valores da entropia são obtidos diretamente da tabela. Quando essas tabelas não estiverem disponíveis usam-se os valores do líquido saturado à temperatura de saturação. Quando essas tabelas não estiverem disponíveis usam-se os valores do líquido saturado à temperatura de saturação.

15 15 Tabelas de Entropia Tabela de água saturada

16 16 Tabelas de Entropia Tabela de vapor d água superaquecido

17 17 Gráficos de Entropia

18 18 Gráficos de Entropia Diagramas (T-s) para a água Diagramas (h-s) para a água

19 19 Equações TdS A variação de Entropia para uma substancia, entre 2 estados termodinâmicos pode ser obtida através da equação: A variação de Entropia para uma substancia, entre 2 estados termodinâmicos pode ser obtida através da equação: ou através das relações TdS. ou através das relações TdS. A importância das relações TdS é entretanto maior que a simples determinação dos valores de entropia. A importância das relações TdS é entretanto maior que a simples determinação dos valores de entropia. Elas são o ponto de partida para a derivação de importantes propriedades para substâncias puras, compressíveis e simples, incluindo meios para a obtenção das tabelas que fornecem u, h e s. Elas são o ponto de partida para a derivação de importantes propriedades para substâncias puras, compressíveis e simples, incluindo meios para a obtenção das tabelas que fornecem u, h e s.

20 20 Equações TdS As equações Tds são desenvolvidas para processos reversíveis. Entretanto, podem ser aplicadas para quaisquer processos, pois envolvem apenas propriedades de estado: As equações Tds são desenvolvidas para processos reversíveis. Entretanto, podem ser aplicadas para quaisquer processos, pois envolvem apenas propriedades de estado: Em termos de propriedades específicas: Em termos de propriedades específicas: Em termos de propriedades molares: Em termos de propriedades molares:

21 21 Variação de Entropia para um gás Ideal Partindo das equações Tds, teremos: Partindo das equações Tds, teremos: Para gás ideal: Para gás ideal:

22 22 Variação de Entropia para um gás Ideal Substituindo em ds, teremos: Substituindo em ds, teremos: Entre dois estados 1 e 2: Entre dois estados 1 e 2:

23 23 Variação de Entropia para um gás Ideal Da mesma forma utilizada para a Energia Interna e para a Entalpia, a avaliação da variação de Entropia para os gases ideais pode ser efetuada através de tabulação dos valores (nas Tabelas Termodinâmicas). Da mesma forma utilizada para a Energia Interna e para a Entalpia, a avaliação da variação de Entropia para os gases ideais pode ser efetuada através de tabulação dos valores (nas Tabelas Termodinâmicas). Escolhe-se um estado de referência e um valor de referência para a Entropia nesse estado. Escolhe-se um estado de referência e um valor de referência para a Entropia nesse estado. Estado de referência Estado de referência Assim, para determinar-se a entropia a uma dada temperatura T, e na pressão de 1 atm, tem-se: Assim, para determinar-se a entropia a uma dada temperatura T, e na pressão de 1 atm, tem-se:

24 24 Variação de Entropia para um gás Ideal Como a pressão está fixada em 1 atm, s o depende somente da temperatura. Expressando a equação acima em termos de s o Como a pressão está fixada em 1 atm, s o depende somente da temperatura. Expressando a equação acima em termos de s o Assim, pode-se escrever: Assim, pode-se escrever: Ou (molar) Ou (molar)

25 25 Tabelas de S o (T) Tabelas de ar como gás ideal

26 26 Balanço de Entropia para Sistemas Fechados Como decorrência da desigualdade de Clausius, vimos que: Como decorrência da desigualdade de Clausius, vimos que: Onde ciclo representa a magnitude da desigualdade (o afastamento da condição reversível). Lembrando, ainda, que: Onde ciclo representa a magnitude da desigualdade (o afastamento da condição reversível). Lembrando, ainda, que: ciclo = 0 Processo reversível ciclo = 0 Processo reversível ciclo < 0 Processo impossível ciclo < 0 Processo impossível ciclo > 0 Processo onde existem irreversibilidades presentes ciclo > 0 Processo onde existem irreversibilidades presentes

27 27 Desenvolvimento do Balanço de Entropia O balanço de entropia é uma expressão da 2ª Lei que é particularmente conveniente para a análise termodinâmica. O balanço de entropia é uma expressão da 2ª Lei que é particularmente conveniente para a análise termodinâmica. A figura ao lado, mostra um ciclo executado por um sistema fechado. A figura ao lado, mostra um ciclo executado por um sistema fechado. O ciclo é constituído por dois processos. O ciclo é constituído por dois processos. O processo I no qual podem ocorrer irreversibilidades presentes e o processo R que é um processo internamente reversível O processo I no qual podem ocorrer irreversibilidades presentes e o processo R que é um processo internamente reversível

28 28 Desenvolvimento do Balanço de Entropia Para esse ciclo: Para esse ciclo: O subscrito b da primeira integral serve para indicar que o integrando é avaliado ao longo da fronteira do sistema. O subscrito b da primeira integral serve para indicar que o integrando é avaliado ao longo da fronteira do sistema. O subscrito não é requerido para a segunda integral porque como o processo é internamente reversível a temperatura deve ser uniforme através do sistema, a cada estado intermediário. O subscrito não é requerido para a segunda integral porque como o processo é internamente reversível a temperatura deve ser uniforme através do sistema, a cada estado intermediário.

29 29 Balanço de Entropia O termo refere-se somente ao processo I, pois o processo R é internamente reversível. O termo refere-se somente ao processo I, pois o processo R é internamente reversível. Para o processo R: Para o processo R: Para o Ciclo (composto pelos processos R + I): Para o Ciclo (composto pelos processos R + I): Se os estados inicial e final estão fixados, a variação de entropia pode ser avaliada independentemente dos detalhes do processo (reversível ou irreversível). Se os estados inicial e final estão fixados, a variação de entropia pode ser avaliada independentemente dos detalhes do processo (reversível ou irreversível).

30 30 Balanço de Entropia Balanço de entropia para sistemas fechados: Balanço de entropia para sistemas fechados: Os dois termos do lado direito da equação dependem explicitamente da natureza do processo e não podem ser determinados somente a partir dos estados inicial e final. Os dois termos do lado direito da equação dependem explicitamente da natureza do processo e não podem ser determinados somente a partir dos estados inicial e final.

31 31 Balanço de Entropia O termo representa a transferência de calor em direção e sinal. O termo representa a transferência de calor em direção e sinal. O termo σ representa a entropia gerada internamente. O termo σ representa a entropia gerada internamente. Para o sistema constituído pelo gás ou líquido (ao lado): Para o sistema constituído pelo gás ou líquido (ao lado):

32 32 Balanço de Entropia Como T b é constante para o reservatório: Como os reservatórios térmicos são internamente reversíveis, por definição = 0 e teremos:

33 33 Balanço de Entropia O reservatório perde calor e portanto, sua entropia diminui. A entropia do Reserv. diminui na mesma quantidade que a entropia do sistema aumenta por causa do calor transferido. No entanto, o aumento da entropia do sistema é maior que a entropia transferida pela transferência de calor, devido às irreversibilidades internas. A variação global da entropia do sistema pode ser: dependendo das magnitudes da entropia gerada internamente e das entropias associadas ao fluxo de calor (+ ou -).

34 34 Balanço de Entropia para Sistemas Abertos (Volumes de Controle) A entropia é uma propriedade extensiva e portanto depende da massa e assim pode ser transferida para dentro ou para fora do volume de controle. Dessa forma o balanço de entropia para um v.c. pode ser derivado de modo muito similar ao feito para a obtenção do balanço de energia e de massa, partindo de um sistema fechado. O Balanço de entropia para um sistema fechado, em função do tempo é:

35 35 Balanço de Entropia para Sistemas Abertos (Volumes de Controle) Para um volume de controle a expressão fica: Esta equação representa a forma geral para o balanço de entropia. No entanto, seus termos podem ser escritos de modo a contemplar não uniformidades locais.

36 36 Análise de volumes de controle operando em Regime Permanente Balanço de massa: Balanço de energia: Balanço de entropia:

37 37 Análise de volumes de controle operando em Regime Permanente Essas equações precisam, muitas vezes, ser resolvidas simultaneamente, junto com equações que expressem relações entre as propriedades. Massa e energia são quantidades que se conservam. A Entropia, em geral, não se conserva. A taxa de entropia transferida para fora do v.c. precisa exceder a taxa de entropia transferida para o v.c. A diferença é a taxa de produção de entropia dentro do volume de controle devido às irreversibilidades. Em muitos casos existe somente uma entrada e uma saída de massa no v.c. e a expressão para o balanço de entropia assume a forma:

38 38 Análise de volumes de controle operando em Regime Permanente ou Observar que s s só poderá ser menor que s e se o fluxo de entropia associado ao fluxo de calor que sai for maior que o fluxo de entropia associado ao calor que entra mais o fluxo de entropia gerado internamente (que é sempre maior).

39 39 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades. oOs engenheiros usam freqüentemente o conceito de eficiência e diferentes definições são empregadas para expressar o conceito de eficiência. oEficiência isentrópica envolve a comparação entre o desempenho real de um dispositivo e o desempenho que esse mesmo dispositivo teria se operasse em condições idealizadas para o mesmo estado na entrada e mesma pressão na saída. oConsiderando: uma turbina que opera entre as pressões P 1 e P 2, com o estado (1) definido por P 1 e T 1 :

40 40 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades. oConsiderando nula a transferência de Energia na forma de calor, e a variação de energias cinética e potencial: oVolume de Controle na Turbina para o balanço de 1a. Lei. oBalanço de Energia:

41 41 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades. Regime Permanente. Conservação da massa Como o estado (1) está fixado e portanto o valor de h 1 está definido, o trabalho específico depende apenas do valor de. O trabalho específico será máximo para h 2 mínimo.

42 42 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades. Balanço de 2a. Lei: R.P. Nos casos reais todos os processos resultarão em s 2 > s 1. O menor valor de s 2 será obtido para um processo internamente reversível com e nesse caso s 2 = s 1, que corresponde ao ponto (2s) na figura. Para essa condição:

43 43 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades. Para essa condição: eficiência isentrópica A eficiência isentrópica é definida como a razão entre o trabalho no processo real e aquele para o processo isentrópico.

44 44 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Os valores de situam-se na faixa 0,7 - 0,9 (70% a 90%). bocais Para bocais, usando uma abordagem similar a esta para turbinas obtêm-se Lembrar que as condições (estado) de entrada estão fixadas e a pressão na saída é a mesma.

45 45 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Balanço de massa: R.P. Balanço de energia: De onde: isoentrópico Como o objetivo dos bocais é proporcionar a maior velocidade de saída, v 2, a maior velocidade será obtida para o valor mínimo de h 2, que de um modo similar á análise das turbinas será obtido em um processo isoentrópico.

46 46 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Eficiências isentrópicas de 95% ou maiores são comuns para bocais, indicando que para os bons projetos as irreversibilidades internas são pequenas. Bocais e Difusores

47 47 Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Eficiência Isoentrópica de Compressores ou de bombas. Processo de compressão, desde um estado 1, a T 1 e P 1, até um estado 2, à P 2.


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