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Giovani L. Vasconcelos Rio de Janeiro, 09 de novembro de 2007 Modelos Não Gaussianos para Precificação de Opções Universidade Federal de Pernambuco Departamento.

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1 Giovani L. Vasconcelos Rio de Janeiro, 09 de novembro de 2007 Modelos Não Gaussianos para Precificação de Opções Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Física Colaboradores: Rogério Costa, Antônio Mário Ramos, José Augusto Carvalho Filho, Domingos Salazar

2 O que são Opções? Roteiro Hipótese do mercado eficiente e o movimento browniano Modelo de Black-Scholes Conclusões Análise do Ibovespa Breve histórico Modelo Exponencial para Opções

3 Mercado de Opções Uma opção é um contrato que dá o direito, mas não a obrigação, de comprar ou vender um determinado ativo S por um preço K pré- determinado (preço de exercício) em um tempo T futuro (vencimento). se S(T) < K, o titular não exerce a opção. se S(T) > K, o titular exerce a opção. Compra por K, revende no mercado por S e embolsa a diferença (S-K). Opção de Compra (Call) Na data T do vencimento:

4 Mercado de Opções Surge então a seguinte questão: Quanto deve valer um contrato de opção? Uma opção representa um direito. Logo, é necessário que se pague por tal direito. Para responder essa questão é necessário modelar a dinâmica de preços do ativo S de referência.

5 1600s - Holanda: Bolha da Tulipa Opções Louis Bachelier defende a tese Théorie de la Especulation, em que modela preços como um movimento browniano Paul Samuelson – Moderna teoria de apreçamento: logaritmo dos preços descreve um MB Eugene Fama – Hipótese do Mercado Eficiente Breve Histórico

6 1963 – Benoit Mandelbrot propõe distribuições de Levy (não-gaussianas) para os retornos – Opções começam a ser negociadas na Bolsa de Opções de Chicago (CBOT) Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton desenvolvem o Modelo de Black-Scholes para opções – Bovespa lança opções em ações. Década de 90 – Nasce a Econofísica. Breve Histórico

7 Merton e Scholes recebem o Nobel de economia.

8 Hipótese do Mercado Eficiente Em um mercado eficiente o preço atual reflete toda informação disponível. O passado não contém qualquer informação que já não esteja incorporada no preço atual. Preços variam com a chegada de novas informações flutuações imprevisíveis descrição probabilística Variações futuras do preço são independentes das variações anteriores. preços seguem um movimento browniano!

9 Movimento Browniano Robert Brown estuda grãos de pólen em suspensão na água e observa o movimento errático de partículas. Reprodução (1992): partículas de gorduras do leite em suspensão. Microscópio original de Brown

10 Movimento Browniano Einstein formula e resolve o problema Tratamento estatístico: movimentos sucessivos são mutuamente independentes processo de difusão

11 Distribuição Gaussiana probabilidade posição deslocamento quadrático médio:

12 Retornos x(t) = ln[S(t)] seguem um movimento browniano : x(t+1) = x(t) + flutuação aleatória Em tempo contínuo: Hipótese do Mercado Eficiente Distribuiçao gaussiana (normal) para os retornos: ruído branco amplitude das flutuações deriva Preço S(t) segue uma distribuiçao log-normal.

13 Ativo livre de risco (conta bancária): Ativo de risco S segue um MB geométrico: R(t) = + (t) Distribuição log-normal para S(t) : Modelo de Black-Scholes volatilidade ruído brancotaxa média de retorno taxa de juros

14 Abordagem Neutra a Risco (Merton) Em um mundo indiferente ao risco: O preço justo da opção C é o valor esperado do ganho futuro corrigido a tempo presente: Opção de compra: = r C(S,t) = e -r(T-t) E[C(S,T)] rn C(S,T) = max(S-K,0)

15 Fórmula de Black e Scholes A fórmula de Black-Scholes encontra-se disponível em qualquer calculadora moderna com funções financeiras!

16 Análise do Ibovespa Os sucessivos retornos são independentes? A distribuição é gaussiana? RetornosIbovespa

17 Expoente de Hurst desvio padrão t H H = 1/2 : sem memória (mov. browniano) H 1/2 : efeitos de memória (correlação) Memória persiste até 6 meses! Similar a outros mercados emergentes.

18 Dependência no tempo movimento browniano Plano Collor Mercado brasileiro tornou-se mais eficiente com a abertura da economia Costa e Vasconcelos, Physica A, 2003

19 Scientific American Brasil, agosto de 2004

20 Histograma dos Retornos região linear distribuição exponencial! J.A. Carvalho-Filho, 2004

21 Modelo Exponencial para Retornos Condição de normalização Escolhendo covenientemente Obtemos, usando as duas igualdades, as expressões Consequentemente

22 Cotações Intraday Exponencial para > 1h Lei de potência para < 1h J.A. Carvalho-Filho, 2004

23 Cotações Intraday A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007

24 variância: Distribuições com lei de potência Distribuição de Tsallis (ou q-gaussiana) Cauda com lei de potência:

25 Análise Empírica do Ibovespa Distribuição de TsallisDistribuição de Levy A. M. T. Ramos, 2007

26 Ajuste Empírico ao Ibovespa A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007 q=1.64 q-gaussiana exponencialmente truncada q-gaussiana q=1.75

27 Aplicando a abordagem neutra a risco: Modelo Exponencial para Opções Resulta uma fórmula explícita para o preço da opção: Dois parâmetros não conhecidos e neutralidade a risco: McCauley, Gunaratne, Physica A 2003

28 Comparação entre os Modelos para Opção T = 14 dias T = 36 dias Série IBOVL, vencimento 13/12/2006 gaussiano é melhorexponencial é melhor A. M. T. Ramos, 2007

29 Próximo do vencimento o modelo exponencial é melhor Em alguns casos o ajuste exponencial apresenta resíduo bem menor do que o gaussiano. Comparação entre os Modelos para Opção

30 Outros Modelos Alternativos de Opções Modelos com Distribuição de Lévy Truncada (A. Matacz, Int. J. Theor. Appl. Finance, 2000) Modelos com processos de Lévy (Lévy Processes in Finance, Wim Schoutens, 2001) Modelo q-Gaussiano (L. Borland, PRL 2002) : fórmula explícita aproximada. Modelo de Black-Scholes Fracionário (C. Necula, 2002; Cajueiro e Barbachan, 2003) : retornos seguem um movimento browniano fracionário, H 1/2. Modelos com Volatilidade Estocástica.

31 Conclusões e Desafios Retornos seguem uma distribuição exponencial para 1 h < < 30 dias, e q-gaussiana para < 1 h. Presença de correlações ( H > 0.5 ) no Ibovespa antes, e mais eficiência (H 0.5), após o Plano Collor. O modelo exponencial descreve melhor o mercado de opções do Ibovespa próximo do vencimento. Efeitos não-gaussianos são abundantes no mercado financeiro. Como utilizar modelos não-gaussianos de opções para gerar estratégias de investimento?

32 Apoio


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