Teoria Geral de Sistemas

Teoria Geral de Sistemas
Conceitos Básicos Jorge Muniz Barreto UFSC - INE

Conceitos Básicos de Sistemas
A Teoria Geral de Sistemas é uma teoria matemática que procura tratar de todos os possíveis tipos de sistemas com um arcabouço único. Assim, a Teoria de Sistemas abrange vários campos de aplicação mas não se confunde com nenhum deles. Afinal, o todo não deve ser confundido com uma de suas partes. Jorge M. Barreto UFSC-INE

A noção de sistema deve ser considerada como em uma teoria matemática como um conceito primitivo, sem definição. Seu conceito deve ser apreendido através de exemplos e contra-exemplos. Só que contra-exemplos são difíceis de encontrar... Jorge M. Barreto UFSC-INE

Claro que em administração trabalha-se com sistemas administrativos e a noção sistêmica é de grande valia. Entretanto restringir sistemas a sistemas administrativos seria considerar que o Brasil é a cidade de São Paulo... Se estará perdendo regiões maravilhosas de se viver... Jorge M. Barreto UFSC-INE

Claro que Pesquisa Operacional usa noções sistêmicas ms seu uso é bem limitado. Restringir sistemas a problemas que recaem em Pesquisa Operacional seria considerar que o Brasil é a cidade do Rio de Janeiro, com suasa praias esquecendo as águas limpas e quentes do nerdeste... Jorge M. Barreto UFSC-INE

Ligar sistemas a sistemas produtivos seria eum erro, que levaria a deterioração do conceito por se misturar com cada um dos seus compos particulares de aplicação. Teoria de Sistemas deve ser extensão da Teoria da Computação por ser um extensão natural da Teoria das Máquinas de Estado Finitas, modelo abstrato de nossos computadores Jorge M. Barreto UFSC-INE

Tem-se um sistema sempre que se considera um objeto do mundo real ou imaginário e se concentra neste objeto nossa atenção de estudo. Assim sistemas podem ser: Sistemas reais {concretos imaginários Sistemas abstratos Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistemas reais são todos aqueles que existem no nosso mundo.Ex: Um sistema administra-tivo, o sistema de transportes urbano, etc. Os dois sistemas acima são sistemas concretos. Um sistema abstrato seria o de um conto policial. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistemas abstratos são exatamente os que estudam-se na Teoria Geral de Sistemas. São sistemas matemáticos abstração de algum sistema real. Ex: pedaço de vidro. Pode constituir vários sistemas: lâmina de faces paralelas; estado vítreo, etc. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema Geral: Sg Seja o conjunto de atributos relavantes de um sistema: A1, A2, A3, ...An Tem-se: Sg  A1  A2  A3  ...  An Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema Orientado So Quando se faz uma partição no conjunto de atributos relevantes, considerando  conjunto de entradas e  conjunto de saidas, tem-se um sistema orientado. Assim: So     Jorge M. Barreto UFSC-INE

Observação: Nem todo sistema é orientado. Um resistor linear, tem modelo dado pela Lei de Ohm: V = RI Neste caso, tanto o I como V podem ser a variável independente. Diz-se que R aceita duas orientações. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Exemplos de sistemas orientados: Catálogo telefônico de nomes: entra-se com o nome e tem-se o telefone. Lâmpada de mesa: a posição do interruptor determina o estado da lâmpada: acesa ou apagada. A maioria das linguagens de programação, tem dados e resultados perfeitamente definidos. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema Temporal St: Quando  excitação e  resposta são funções de um mesmo parâmetro t  T conjunto munido de uma relação de ordem total, diz que o sistema é temporal. Assim: St  UT  YT, U é o conjunto de valores de entrada e Y o conjunto de valores de saida. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Nota (Relação com Sistemas Formais)(1/2): Em um sistema formal a cada aplicação de uma regra de derivação é criado um novo elemento do sistema formal. Estes elementos podem ser colocados na ordem de sua criação; primeiro, segundo, etc, podendo ser enumerados. Casos como este trata-se de sistema temporal com tempo número natural ou enumerável. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Nota (Relação com Sistemas Formais)(2/2): Tem-se ainda: U: alfabeto de entrada; Y: alfabeto de saida; : mesmo que U*; : mesmo que Y*; T: tempo, aqui sub-conjunto dos naturais Jorge M. Barreto UFSC-INE

Conceitos Básicos de Sistemas Sistemas com tempo número real
Um circuito elétrico RLC funciona com tempo número real. Seu modelo matemático é uma equação diferencial de segunda ordem e a solução de pende da carga inicial em C e da corrente em L. Sistemas de valores discretos mas funcionando de modo assíncrono, tem os eventos caracterizando seu comortamento ocorrendo em tempo número real. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Frequentemente é imprescindível especificar claramente qual é o conjunto tempo considerado. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema Funcional Sf (Conceito de Estado): Em alguns sistemas orientados, a uma mesma entrada podem corresponder mais de uma saida. Por exemplo, uma agenda telefônica, em que se tem mais de um telefone para a mesma pessoa. Cria-se, para ter uma função, conjunto auxiliar X (ex: {fixo, celular}) chamado estado. Sf :   X   Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema Dinâmico Sd <T, T, X, U, Y, , , , > onde: T: conjunto munido de relação de ordem; X: conjunto de valores possíveis de estado; U,Y: valores de entrada e saída; , : funções de entrada e saída; : função transição de estado; : T  T  X    X : T  U  X Y função saída. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Exemplos de Sistema Dinâmico
Um computador é um sistema dinâmico. O tempo T é dado por seu relógio interno, o conjunto de estados X é o conjunto de configurações possíveis de memória, Valores de entrada U é o conjunto das entradas possíveis {teclado, mouse, mancho, etc) Y é o conjunto de saídas possível {caracteres na tela, som, impressão, etc) ,  são dados pelo programa em execução. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Um neurônio formal é um sistema dinâmico com #X=1, T=N, ou R dependendo de ser a tempo contínuo ou discreto. Dois argumentos T na função de transição de estados é útil para representar modificação da mesma por envelhecimento. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Suspensão de automóvel é um sistema dinâmico. Seu modelo é um sistema de equações diferenciais do tipo: x’ = f(x,u(t)) y = g (x,u(t)) onde x’ é a derivada do vetor x, solução de um sistema de equações diferenciais normal. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Assim como suspensão de um carro é um sistema mecânico dinâmico, circuitos elétricos são também freqüêntemente sistemas dinâmicos. Em princípio, todo sistema contendo elementos armazenadores de energia são sistemas dinâmicos. No sistema mecãnico tem-se energia potencial e cinética, no elétrico, elettrica e magnética. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistemas químicos também são sistemas dinâmicos. Em lugar de energia armazenada tem-se concentração dos seus componentes Sistemas térmicos também são sistemas dinâmicos. Aqui a energia armazenada se faz sob a forma de calor, e a dinâmica provoca mudança de temperatura por transmissão de calor. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Tipos de Sistemas dinâmicos
Sistema estático: Um sistema dinâmico é dito estático quando a cardinalidade do conjunto de estados é 1. Neste caso, ele recai em um sistema temporal. Sistema estacionário: Um sistema dinâmico é dito estácionário quando uma translação no tempo da entrada provoca uma saida igual à anterior transladada no tempo do mesmo valor se em ambos os casos o estado inicial for o mesmo. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema a tempo contínuo: Um sistema dinâmico é dito a tempo contínuo quando o conjunto T é um intervalo dos reais. Sistema a tempo discreto: Um sistema dinâmico é dito a tempo discreto quando o conjunto T é um subconjunto dos inteiros. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema quantizado: Um sistema dinâmico é dito a tempo quantizado quando o conjunto de valores de entrada, saida ou estado são subconjuntos dos inteiros. Tipos de sistemas quantizados: Dependendo de que variável seja de valores subconjunto dos inteiros diz-se tratar-se de um sistema de entrada quantizada, saida quantizada ou estado quantizado.. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Tipos de Sistemas Dinâmicos
Sistema finito: Um sistema dinâmico é dito a finito quando o conjunto de valores de entrada, saida ou estado são conjuntos finitos. Neste caso a estes valores costuma-se chamar alfabeto. Sistema a saida finita: Um sistema dinâmico cuja saida tem valores tomados de um conjunto finito gera sequências ou cadeias sobre este alfabeto, sendo portanto um gerador de uma linguagem. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Tipos de Sistemas Dinâmicos
Automato: Um sistema dinâmico atempo discreto, de entrada e saida finitas é dito um automato. Em latim: Singular: automaton, Plural: automata Automato finito: Se além de ser um automato, o conjunto de estados for também finito, tem-se um automato finito. Os automatos finitos são algumas vêzes chamados máquinas de estado finitas. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Representações da Automatos Finitos
Tabelas: Pode-se definir um automato finito por tabelas definindo tanto as funções de transição de estados quanto a de saida. Ao lado exemplo de transição de estado  Estados Novos estados E n t r a d a Jorge M. Barreto UFSC-INE

Grafos: Essencialmente dois tipos de grafos podem ser usados: 1-Associando nós dos grafos aos estados e marcando nos arcos as entradas que provocam as transições de estado e as saidas correspondentes. 0/a 1/b X1 1/b X2 0/a 1/b 0/a X3 Jorge M. Barreto UFSC-INE

2-Associando nós dos grafos aos estados e marcando nos arcos apenas as enrtadas. As saidas são marcadas diretamente nos estados. Claro que esta representação supõe a função saida a identidade 1 X1/a 1 X2/b 1 X3/c Jorge M. Barreto UFSC-INE

Notação Usual em Automatos
Um automato finito pode ser visto como lendo um conjunto finito de símbolos, do alfabeto de entrada e transformando-os em outro conjunto finito, o alfabeto de saida. É portanto usual empregar notação compatível com linguagens formais, e simplificar ao máximo a definição de sistema dinâmico. Mas não esquecer que automatos são: Sistemas Dinâmicos Jorge M. Barreto UFSC-INE

Assim: Conjunto de valores de entrada U se escreve como uma letra grega maiúscula, , por exemplo.  segmento de entrada é agora *. X estado se costuma usar a letra Q. O tempo T se omite. Só se usa função saida quando essencial. A transição de estado é geralmente denotada pela letra  Jorge M. Barreto UFSC-INE

Assim para automato de alfabeto de entrada e saida:  = {a1, a2, …, an } O automato é como a máquina: (qu, aj) | qv ai aj ak . . . ar qu Jorge M. Barreto UFSC-INE ai aj ak . . . ar

Automato de Pilha Automato de Pilha é um automato que dispõe de uma pilha onde é capaz de escrever dados a serem usados futuramente. Um teorema a ser visto é que automatos de pilha são reconhecedores de linguagens livres de contexto. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Automata de Pilha ai aj ak . . . ar Início:
(q0, ai, Z0) | (q3, z1z2… zr ) q0 Jorge M. Barreto UFSC-INE Z0

Automato de Pilha ai aj ak . . . ar (q3, aj, z1) | (q3, s1… st ) q3
zr Jorge M. Barreto UFSC-INE

Automato de Pilha ai aj ak . . . ar (q3, ak, s1) | (q5,  ) q3 s1 s2
st z2 . . . zr Jorge M. Barreto UFSC-INE Section 1- 29 Les Lander CS 573, Fall 1997

Automato de Pilha ai aj ak . . . ar Continue até que à
Máquina falte argumento (pilha vazia) ou chegue ao fim da fita. q5 s2 . . st z2 . . . zr Jorge M. Barreto UFSC-INE

Automato de Pilha ai aj ak . . . ar Existem 2 modos de definir
Aceitação de palavras pelo estado final por esvaziar a pilha qm s . . . . . z Jorge M. Barreto UFSC-INE

Ponto de Equilíbrio Um elemento do conjunto de estados, para um sistema dinâmico contínuo no tempo, é dito um ponto de equilíbrio se, corresponder a uma solução da equação: x’= f(x,u(t)) Para x’= 0. Se este ponto de equilíbrio for calculado para u(t)=0 será de sistema autônomo, caso contrário será de sistema forçado Jorge M. Barreto UFSC-INE

Ponto de Equilíbrio Um elemento do conjunto de estados, para um sistema dinâmico a tempo discreto, é dito um ponto de equilíbrio se, corresponder a uma solução da equação: x(k)= f(x(k),u(k)) Se este ponto de equilíbrio for calculado para u(k)=0 será de sistema autônomo, caso contrário será de sistema forçado Jorge M. Barreto UFSC-INE

Ponto de Equilíbrio (Nota)
Pela definição de ponto de equilíbrio nota-se que o conceito, estudado em Lambda cálculo de ponto fixo, corresponde a ponto de equilíbrio. Existe uma analogia entre programas que não terminam, entrando em ciclos e outros que terminam e sistemas dinâmicos instáveis e estáveis. PENSE! Jorge M. Barreto UFSC-INE

Ponto de Equilíbrio Estável
Um ponto de equilíbrio é dito estável se o sistema tende a voltar a ele após uma perturbação No caso contrário será dito instável. Não me empurre Que euCaio! Pode me empurrar Estou seguro! Jorge M. Barreto UFSC-INE

Observabilidade Um sistema dinâmico é dito observável se com informação de um segmento finito de entrada e saida é possivel determinar o estado inicial do sistema. Estado inicial é o valor do estado que corresponde ao tempo, início do segmento de entrada e saida observado. No caso contrário o sistema será dito não observável. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Observabilidade Como exemplo, seja o sistema caracterizado pelo sistema de equações discretas, (como se costuma modelar redes neurais síncronas), que para simplicidade de tratamento se tomará o caso linear: x(k+1)=Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) onde: x Rn; u Rm; y Rp; A,B,C,D matrizes reais. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Observabilidade Para uma deducão simplificada seja D matriz nula.
Se n=p= y(0) = Cx(0), (1) C é escalar logo se C ≠ 0 x(0) = y(0)/C Se n=2,p=1 a equação acima não permite calcular x(0), mas usando a equação de transição de estado: y(1)=Cx(1)=CAx(0)+CBu(0) (2) Eq.1 e Eq.2 formam sistema linear: |y(0) y(1)|T = |C CA|T + |0 CB| T u(0) cuja solução depende de se a matriz |C CA| é regular (determinante ≠ 0) Jorge M. Barreto UFSC-INE

Observabilidade Este resultado, devido á Kalman (1960) apresentado no 1º Congresso do IFAC (“International Federation on Automatic Control”), para o caso com n,p quaisquer se torna: Um sistema dinâmico linear estacionário é observável se a matriz: |C CA CA2 CA3 … CAN-1| for de posto n, isto é, contiver submatriz quadrada, regular de dimensão (n x n) Jorge M. Barreto UFSC-INE

Observabilidade (caso geral)
Um sistema dinâmico no caso geral será observável dependendo do núcleo da aplicação composta da transição de estado e saida. Não se conhece critério para dizer da observabilidade no caso geral. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Controlabilidade Um sistema dinâmico é dito controlável se com informação do estado inicial é possível determinar um segmento de entrada capaz de transferir deste estado inicial para qualquer outro. No caso contrário o sistema será dito não controlável. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Controlabilidade Seja como exemplo, o mesmo sistema estudado em observabilidade, modelo de redes neurais síncronas no caso linear: x(k+1)=Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) onde: x Rn; u Rm; y Rp; A,B,C,D matrizes reais. Jorge M. Barreto UFSC-INE

x(n)=An + j=0 An-j-1 B u(j)
Controlabilidade A segunda equação não intervem neste caso. Assim: x(1)=Ax(0) + Bu(0) x(2)=Ax(1) + Bu(1)=A2x(0) + ABu(0) + Bu(1) x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A3x(0)+A2Bu(0)+ABu(1)+ Bu(2) E assim por diante até se ter: n-1 x(n)=An + j=0 An-j-1 B u(j) A existência de solução dependerá neste caso da matriz: |An-1B An-2B …. B| Jorge M. Barreto UFSC-INE

Alcançabilidade Um estado de um sistema dinâmico é dito alcançavel a partir de um outro estado se existe uma segmento de entrada capaz de transferir o sistema de um estado a outro. Se um sistema for totalmente alcançavel ele será controlável, e neste caso toda transição de estado será possível. No caso contrário o par de estados serão ditos não alcançaveis. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Sistema Complexo Sc Um sistema é dito complexo quando é constituído por um conjunto de sistemas como os definidos anteriormente interligados. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Reconhecedor de Linguagens Jorge Muniz Barreto UFSC - INE

Reconhecedor de Linguagens
Estou perdido! Resolveram escrever cada mensagem em uma língua... Jorge M. Barreto UFSC-INE

Máquina reconhecedora de linguagem
Pode-se definir máquinas que reconhecem se uma cadeia pertence ou não a uma linguagem. Seja máquina azul, palavra na fita e transição abaixo: ai aj ak . . . ar (q0, ai)  q3 q0 Jorge M. Barreto UFSC-INE

A cabeça se move lendo sucessivamente novas entradas e o estado muda. Assim após o primeiro passo: ai aj ak . . . ar (q3, aj)  q7 q3 Jorge M. Barreto UFSC-INE

E vai sucessivamente mudando de estado segundo as transicões previstas na máquina: ai aj ak . . . ar (q7, ak)  q0 q7 Jorge M. Barreto UFSC-INE

Quando a máquina acaba de ler a fita observa-se em que estado ficou a máquina. Estados finais podem ser aceitadores e regeitadores: ai aj ak . . . ar qm Jorge M. Barreto UFSC-INE

Se qm é um estado previamente definido como aceitador então a máquina aceita aiajak…ar como elemento da linguagem. No caso contrário, aiajak…ar não é um elemento da linguagem. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Entretanto nem toda linguagem pode ser reconhecida por um automato deste tipo, isto é, por máquina sequencial. As linguagens que podem ser reconhecidas são as chamadas linguagens regulares ou tipo 3 na hierarquia de Chomsky. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Um automato deterministico finito é uma tupla (Q, , q0, , F), where Q o conjunto finito de estados {q0,q1,…,qm}  alfabeto finito {a1, a2, …, an} q0 é o estado inicial,  : Q   Q é uma função parcial chamada de transição de estado F  Q é um subconjunto de estados finais, identificados no grafo por círculos concêntricos. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Se  é definida para todos pares de Q ,  é uma função total e se tem uma automato completo A função  pode ser descrita pela Tabela de Transição: a1 a2 … an q0 q1 the valores … de (qi, aj) Jorge M. Barreto UFSC-INE

Diagrama de Transições
a,b b c q1 b a q0 q3 c b a c q2 Jorge M. Barreto UFSC-INE

Exemplo Este automato aceita :  bk for all k > 1
bkc2lbm for all, k, l > 0 m > 0 bkc2lbmc2n+1bcpab for all k, l, m, n, p > 0 E muitos outros! Jorge M. Barreto UFSC-INE

Tipo 3 e Automato Finito Assim uma linguagem tipo 3 pode ser reconhecida por um automato finito. Geralmente se usa o formalismo da saida coincidir com o estado. Pode ser usado tambem um automato em que as transições são feitas com uma certa probabilidade, mas isto não aumenta as possiblidades do automato. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Tipo 2 e Automato de Pilha
Um automato finito ao qual se da a possibilidade de manipular uma pilha se torna capaz de reconhecer uma linguagem tipo 2, ou livre de contexto. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Automato de Pilha como Reconhecedor
Um automato finito ao qual se da a possibilidade de manipular uma pilha se torna capaz de reconhecer uma linguagem tipo 2, ou livre de contexto. São os mais usados na construção de compiladores já que a maioria das linguagens de programaçnao são deste tipo. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Automato de Pilha ai aj ak . . . ar (q3, aj, z1) (q3, s1… st ) q3 z1
Jorge M. Barreto UFSC-INE zr

Automato de Pilha ai aj ak . . . ar (q3, aj, z1) (q3, s1… st ) q3 s1
Jorge M. Barreto UFSC-INE zr

Tipo 1 e Automato Linear Limitado
O automato linear limitado é uma Máquina de Turing Aleatória que nunca deixa o espaço da fita onde estava a entrada. O termo linear se usa para indicar que o mesmo trabalha com uma fita e limitado que não sai da região predeterminada. Este ALL é capaz de reconhecer uma linguagem tipo 1, ou sensível ao contexto. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Tipo 0 e Máquina de Turing
Para reconhecer linguagens tipo 0 deve-se usar a Máquina de Turing. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Problemas Não Decidíveis
Dada uma cfg ou csg, ou tipo 0 provar se L(G) é vazia. Dada uma cfg será que L(G) são todos as sequencias geradas? ??? Jorge M. Barreto UFSC-INE

Automata, Modelo de Hipermidia Jorge Muniz Barreto UFSC - INE

Automata, Modelo de Hipermídia
Hipermídia é a generalização de hipertexto, em que cada unidade de conhecimento pode ser representada por uma mídia distinta, ativando portanto sentidos distintos. Como hipermídia envolve sons, filmes, etc., toda aplicação hipermídia solicita muitos recursos de memória, lavando a confundir hipermídia com equipamentos capazes de suportá-la. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Automata, Modelo de Hipermídia
Modelo: <X,U,Y,,>, onde: U: entradas possíveis: indicador, teclado, mancho,etc. Y: saídas: tela, autofalantres, robô móvel,etc; X: associando um nó a cada token, o estado será um subconjunto do conjunto de partes de tokens; ,: transição de estado e mudança de saída. : X  U  X; : X  U  Y Jorge M. Barreto UFSC-INE

Grafo dos nós de informação
Jorge M. Barreto UFSC-INE

Aplicação O modelo de automato permite estudar problemas de navegação na hipermidia. Um estudo interessante é associar caminho no hipermidia ao modelo de um aluno usando o hipermidia como suporte para ensino. Jorge M. Barreto UFSC-INE

Muito obrigado pela atenção!
Jorge M. Barreto UFSC-INE

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