Rio de Janeiro, 27 de setembro de 2012.

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1 Rio de Janeiro, 27 de setembro de 2012.
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização do Enxame de Partículas PEQ/COPPE/UFRJ Bruno F. Oechsler Rio de Janeiro, 27 de setembro de 2012.

2 Sumário Introdução e Objetivos O Modelo Matemático de Lorenz
Formulação do Problema de Otimização Determinação dos Expoentes de Lyapunov; Caracterização do Espaço de Parâmetros; Resultados Conclusões e Próximas Etapas

3 Introdução e Objetivos
Limitações das técnicas clássicas de continuação paramétrica (AUTO, 2009): Análise de bifurcações de órbitas periódicas (aproximações polinomiais); Identificação de soluções dinâmicas caóticas (infinidade de órbitas periódicas instáveis imersas); Necessidade de desenvolvimento de métodos alternativos: Análise de fenômenos dinâmicos via o cálculo dos expoentes de Lyapunov ; Acoplamento com técnicas de otimização;

4 O Modelo de Lorenz Modelagem do movimento convectivo de camadas de fluido resultante de gradientes de temperatura: Variáveis de estado: x é a intensidade do movimento do fluido; y e z estão relacionadas às variações de temperatura nas direções horizontal e vertical; Parâmetros: σ, r e β estão relacionados com as propriedades do material e com a geometria da camada de fluido.

5 Expoentes de Lyapunov Diagnóstico e quantificação de fenômenos dinâmicos p1(t) p1(0) p2(t) x(t) d(t) x0 p2(0) d0 t Espectro para Sistemas Contínuos 3-D: (+,0,-) : um atrator estranho; (0,0,-) : um toro; (0,-,-) : um ciclo limite; (-,-,-) : um ponto fixo.

6 Expoentes de Lyapunov Algoritmo de WOLF et al. (1985):
A evolução do centro da hiperesfera é acompanhada por uma trajetória conhecida; Trajetórias de pontos na superfície da esfera são definidos pela ação de equações linearizadas; Os eixos principais são definidos pela evolução das equações linearizadas inicializadas por uma base de vetores ortonormais; Em sistemas caóticos, todo os vetores tendem para a direção de maior crescimento (expoente de Lyapunov dominante); Reortonormalização de Gram-Schmidt para gerar uma nova base de vetores alinhadas ao centro da esfera;

7 O Problema de Otimização
Formulação do problema de otimização: (i) Soluções Caóticas (ii) Soluções Estacionárias (iii) Soluções Periódicas Sujeito a:

8 O Problema de Otimização
Técnicas Numéricas Empregadas: DASSL (integração numérica do sistema de equações diferenciais ordinárias no domínio temporal); Otimização do Enxame de Partículas: Foram empregadas 20 partículas e 200 passos de otimização; Utilizou-se um fator de inércia w de 0,9 no início das iterações, diminuindo-se este valor para 0,5 nas iterações finais; Utilizaram-se os valores de c1 e c2 equivalentes a 2,0.

9 Resultados Mapeamento Global de Soluções Caóticas

10 Resultados , Mapeamento Global de Soluções Periódicas

11 Resultados , Mapeamento Global de Soluções Estacionárias

12 Conclusões A metodologia mostrou-se eficiente no mapeamento de fenômenos dinâmicos; A utilização de uma função objetivo contínua potencializa a obtenção das regiões mais promissoras; A caracterização da trajetória dinâmica pelo expoente de Lyapunov é uma estratégia rigorosa sob o ponto de vista matemático; A possibilidade de quantificação dos fenômenos dinâmicos permite a proposição de uma função objetivo contínua.

13 Obrigado pela atenção... Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização do Enxame de Partículas PEQ/COPPE/UFRJ Bruno F. Oechsler