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T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy.

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2 T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy

3 Bibliografia Signal Processing for Neuroscientists – An Introduction to the Analysis of Physiological Signals, Win Van Drongelen, EEG Signal Processing, Saeid Sanei, J.A. Chambers, Niedermeyers Electroencephalography – Basic Principles, Clinical Applications and Related Fields, 6th edition, Eds.: Donald L. Schomer, Fernando H. Lopes daSilva. Eletroencefalografia, Eds.: Gomes e Bello, 2008.

4 Introdu ç ão ao EEG Ritmos do Eletroencefalograma: – Delta: Hz; – Teta: Hz; – Alfa: Hz; – Beta: Hz; – Gama: > 32 Hz.

5 Figura ilustrando os principais ritmos do EEG

6 Notas Ritmos EEG: – a) redes interconectadas, permitindo sincronização de conjuntos de neurônios; – b) cada ritmo deve ser associado ao contexto de um estado comportamental (não simplesmente à faixa de freqüências); – c) é necessário o entendimento dos mecanismos celulares envolvidos nos diferentes tipos de oscilação.

7 Gera ç ão de Ritmos S í ncronos Dois modos: – Comando de uma estrutura central: marca- passo. – Compartilhamento de informação entre neurônios, inibindo-se ou excitando-se mutuamente. Walter Freeman: hipótese pioneira de que os ritmos neuronais servem à coordenação da atividade entre regiões do sistema nervoso, através de surtos de sincronização entre neurônios.

8 Epilepsia Crises epilépticas são atividades cerebrais extre- mamente síncronas, que nunca ocorrem em circunstâncias normais padrões EEG de elevada amplitude. Balanço delicado entre excitação e inibição sináptica no cérebro. Crises de Ausência: < 30s - 3 Hz (perda de consciência, com sinais motores súbitos).

9 Sono Sono REM e Não-REM

10 Ritmos do Sono

11 Fusos Marco da sincronização do EEG nos primeiros estágios do sono: ondas 7-14 Hz durando de 1 a 2 s, recorrência de 0,2 a 0,5 Hz. Geração no Tálamo, mas sua sincronização é influenciada pelo córtex. Núcleos reticulares (neurônios GABAérgicos cobrindo a superfície rostral, lateral e ventral do Tálamo): pacemaker. Amplificação e recrutamento das freqüências dos fusos no Tálamo.

12 Rela ç ão entre Fusos e Complexos Ponta-Onda Evidências: – P-O aumentam durante estágio de fuso e são atenuados ou suprimidos ao acordar; – Estimulação de projeções córtico-talâmicas na banda dos fusos podem gerar P-O auto-sustentáveis. Córtex cerebral levaria o tálamo à geração da epilepsia de complexos P-O. ~10Hz (fusos) 3Hz (P-O): aumento da duração dos potenciais inibitórios (Jasper, 1969: papel de mecanismos inibitórios e não excitatórios).

13 Oscila ç ões Lentas (<1Hz) Descritas em neurônios neocorticais de animais anestesiados e, subseqüentemente, durante sono natural em animais e humanos. Cetamina (bloqueador de receptores NMDA) / Xylazina (agonista de receptores 2 ): indutores de oscilações lentas. Origem cortical: – permanência após talamectomia; – ausência no tálamo de animais decorticados; – ausência após desconexão de ligações intracorticais.

14 Quais mecanismos estão envolvidos nos processos de Sincroniza ç ão? Registros intracelulares duais in vivo revelaram que a sincronização de padrões EEG está associada à hiperpolarização simultânea de neurônios corticais mecanismos inibitórios

15 Complexos K Elemento eletroencefalográfico constituído por um transiente positivo-superfície rápido seguido de um componente negativo- superfície mais lento e, eventualmente, ondas fusas (estágio 2 do sono). Evidências indicam que são a expressão de oscilações lentas espontâneas geradas pelo córtex.

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17 Ritmo Delta Estágios 3 e 4 do sono (sono-delta). Oscilações lentas (<1Hz) Delta (1-4Hz): – O.L.: córtex; – : pelo menos um tipo originado no tálamo; – ondas são agrupadas pelas O.L. Dois tipos de oscilações : – Cortical (persiste após talamectomia); – Talâmica (persiste no tálamo após decorticação).

18 Ritmo Delta (cont.) Oscilação potencializada e sincronizada por uma rede envolvendo projeções córtico- talâmicas com uma ligação intermediária no núcleo reticular. É bloqueado por pequenas doses de barbituratos e por seqüências de fusos. Oscilações e fusos surgem com diferentes potenciais de membrana (-60mV -70mV). Influências corticais facilitam o surgimento de oscilação em células tálamo-corticais.

19 Ritmos R á pidos ( Hz) Ativação - Moruzzi & Magoun (1949) estimularam o trato reticular de gatos anestesiados: HV-LF LV- HF (similar ao despertar natural). Estudos posteriores relacionaram a presença de atividade 20-40Hz com aumento do estado de alerta. Origem cortical, talâmica e, possivelmente, em outras estruturas sub-corticais (estudos de coerência).

20 Ritmos R á pidos (cont.) Vários estudos investigam a presença de oscilações de 40 Hz: bulbo olfatório (Freeman, 1975); córtex visual (Gray et al., 1990); córtex (Steriade et al., 1991 e 1993; Jones, 1985). O ritmo 40 Hz reflete uma condição de aumento difuso de vigília do cérebro (Steriade, 1993). Presença de ritmo 40 Hz em neurônios corticais motores durante comportamento de atenção demonstrada por Murthy & Fetz (1992).

21 Ritmo Teta Primeiro descrito no hipocampo de coelhos; faixa de 4-7 Hz. Atividade teta normal pobre ou ausente em primatas, sendo negada por alguns autores (Brazier, 1968; Halgreen et al., 1979, 1985). Não se deve confundir com as ondas teta patológicas, descritas por um alentecimento da atividade (e.g., redução do fluxo cerebral, encefalopatias metabólicas)

22 Ritmo Alfa 8-13Hz: um dos elementos mais importantes do EEG, com descrição desde Berger (1929). Não se conhecem os mecanismos celulares. Não se deve confundir com fusos, apesar da superposição de freqüências: – : vigília em relaxamento; – fusos: sono. Opinião de relacionado a atenção visual reduzida desafiada por achados de aumento de atividade durante estimulação visual e tarefas de atenção. Sugere-se geração e espalhamento no córtex cerebral.

23 Teoria da Ressonância do EEG (Basar et al., 1995, 1999) Hipóteses: – EEG consiste da atividade de um conjunto de geradores produzindo atividade em várias bandas de freqüência; – Estes ritmos podem ocorrer também sem estimulações físicas, mas por fontes internas; – A superposição de oscilações evocadas ou induzidas nos vários canais de freqüência do EEG resulta no Potencial Evocado.

24 Concluem que a banda Gama (30-70 Hz) exerce o papel de elemento de comunicação entre estruturas cerebrais. Achados confirmam que ritmos espontâneos do EEG, provavelmente respostas a fontes internas, aparecem em várias condições de comportamento, cognição e sensação. Consideram as várias atividades rítmicas como blocos que acompanham eventos fisiológicos e psicológicos: combinação - comportamento complexo.

25 O cérebro possui várias freqüências naturais de oscilação (,,,, ), que podem ocorrer espontaneamente, ou serem evocadas ou induzidas. EEG não é um ruído: sugerem possibilidade de comportamento caótico. As freqüências naturais são registradas a nível celular. Relação: freqüências naturais - funções de transferência. Transições do EEG de estados desordenados a ordenados.

26 Susceptibilidade de resposta do cérebro: PEs internos PEs externos. Superposição dos diferentes ritmos, que podem ser estabelecidos em fase, dependendo da natureza do estímulo. Código EEG: oscilações seriam o alfabeto cerebral. Os geradores do EEG são distribuídos seletivamente em todo o cérebro, havendo uma atividade integrada.

27 Modelagem da Dinâmica do EEG Terminologia de Freeman (1975): – Conjuntos de neurônios KI (KIe e KIi); – KII: KIe + KIi; – KIII: 2 KII. Modelagem Dinâmica: – Loops de Realimentação; – constantes de tempo das sinapses; – constantes de comprimento; – fatores de ganho.

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29 Modo-Onda Modo-Pulso Potenciais pós-sinápticos podem ser considerados como modo-onda, enquanto os potenciais de ação representam o modo-pulso.

30 Propriedades de Transferência

31 Exemplo de Simula ç ão Alfa

32 Relevância da An á lise Não-Linear Vários estudos de modelagem: aproximação linear. Negligencia importantes características não- lineares do sistema, como geração de harmônicos. Sistemas podem ter muitos estados de estabilidade: equilíbrio, ciclos limites e atratores caóticos (estranhos). Transferência: modelos de redes locais de neurônios para modelos complexos espacialmente distribuídos.

33 Condicionamento e Aquisi ç ão do EEG

34 Amplitude da ordem de V a dezenas de V; Bandas do EEG normal de adultos: – Delta (0-4 Hz); – Teta (4-8 Hz); – Alfa (8-12 Hz); – Beta (12-32 Hz); – Gama (>32Hz); Sistema Internacional de posicionamento de eletrodos: – 20 derivações monopolares; Derivações monopolares ou bipolares; Localização do eletrodo terra: – FPz; – Nuca; Referência (física ou virtual): – Lóbulos auriculares interligados; – Cz; – média dos lóbulos; – média de todos eletrodos; Impedância dos eletrodos < 10 k ; Caracter í sticas Gerais do EEG

35 Condicionadores de Sinais para EEG Pré-Amplificador (Diferencial): – ganhos de 10 a 50; Filtro Passa-Altas: – empregado quando se deseja remover DC e flutuações lentas; Amplificador (2o. Estágio): – em geral, apresenta maior ganho (10 a 1000); – quando o equipamento fica ligado eletricamente ao ser humano, deve incluir isolação; Filtro Passa-Baixas: – pode servir como anti-aliasing para digitalização. Pré-Amplificador Filtro Passa-Altas Amp. (2o. estágio) Filtro Passa-Baixas V+ V- Terra T 3 - C z -

36 Pr é -Amplificador Requisitos: – Alta Impedância de Entrada; – Alta Rejeição de Modo Comum: – Baixo viés e deriva térmica de tensão de entrada; – Baixa deriva de corrente de entrada. Desejável: –Ganho flexível; –Elevada faixa de tensão de alimentação se possível, rail-to-rail; –Baixo consumo; –Baixo ruído; –Baixo custo.

37 Topologia Clássica: – 3 Amplificadores Operacionais (1 Diferencial e 2 Buffers) Pr é -Amplificador Exemplos: CMRRZiZi V bias V drift I bias AD (G=10) 10 G < 50 V< 0,6 V/°C < 1 nA INA (G=10) 10 G < 20 V< 0,4 V/°C <10 nA

38 Filtro Passa-Altas Deve ser omitido quando DC for importante: – Extensometria e Células de Carga; – Termo-pares. Importante com sinais eletrofisiológicos: – Potencial de meia-célula (interface com o eletrodo); – Artefatos de respiração e outros movimentos. Elimina influência de viés e deriva de tensão e de corrente. Arquitetura recomendada: – Bessel passivo ou ativo. Quando a Interferência de Rede é muito elevada, deve- se cascatear um filtro Notch neste estágio.

39 Segundo Est á gio de Amplifica ç ão Apresenta, geralmente, o maior ganho: – Parte dos sinais indesejáveis que poderiam causar a saturação do sistema já foram eliminados no estágio anterior. Em sistemas para sinais DC, pode ser omitido juntamente com o Filtro Passa-Altas: – Neste caso, o Amplificador Diferencial responderá pelo Ganho Total; Sistemas eletricamente ligados ao sujeito: – Amplificador de Isolação: Analógico: por transformadores, óticos e capacitivos; Digitais: CTF Acoplador Ótico ou Indutivo CFT. Exemplo: 3650/3652 (Burr-Brown – tipo ótico analógico) Corrente VazamentoImpedância de IsolaçãoV max Segura de Isolação < 0,35 A 1 T 2000 V p ou V DC

40 Filtro Passa-Baixas Importante na separação de sinais indesejáveis de alta freqüência e interferências RF: – Atenuação do EMG na coleta de EEG; – Atenuação de ruídos eletromagnéticos. Assume o papel de filtro anti-aliasing no caso de digitalização: – Taxa de amostragem deve considerar a freqüência que já apresente elevada atenuação. Arquitetura recomendada: – Bessel ativo, com ordem elevada.

41 Minimiza ç ão de Ru í dos e Artefatos Uso de eletrodos não-polarizados, e com baixo potencial de meia-célula, como Ag/AgCl; Uso de cabos blindados; Minimização / afastamento de possíveis fontes de RF; Uso de Gaiola de Faraday; Realimentação tipo Guarda de Entrada.

42 Guarda de Entrada Guarda de Entrada Realimentação negativa da Tensão de Modo Comum no próprio sujeito (deve se dar o mais distante possível dos eletrodos que captam o sinal).

43 Prote ç ão Contra Surtos de Tensão Protege o Condicionador de surtos de tensão causados, por exemplo, por desfibriladores ou equipamentos eletro-cirúrgicos. 0,6 V 3-20 V V

44 Conversão Anal ó gico-Digital (CAD) Faixa Dinâmica (em volts) Resolução – no. de bits (NOB); – NOB Efetivo (ENOB): depende da razão sinal-ruído; Sistemas multi-canais: –sample-and-hold? Taxa de amostragem: Nyquist; Acurácia: – Erro de quantização; – Não-Linearidade.

45 Considera ç ões Pr á ticas Amplitude muito pequena de grande parte dos sinais biomédicos utilização de componentes SMD, trilhas curtas e placas de pequenas dimensões; Em sistemas multicanais, as placas de cada canal devem ser separadas das vizinhas por planos de terra – minimizar cross-talking; Digitalização: – a resolução do CAD (no. de bits faixa dinâmica) deve ser considerada no dimensionamento do ganho total do condicionador; – emprego de filtragem Notch digital.

46 Bases Te ó ricas para o Processamento do EEG

47 Fun ç ão Delta de Kronecker Elemento neutro da convolução:

48 Convolu ç ão com a Fun ç ão Delta

49 Transformada de Fourier Discrete-Time Fourier Transform (DTFT): Discrete Fourier Transform (DFT): – Assunção de que o trecho de sinal analisado é periódico espectro discreto; Algoritmo rápido: Fast Fourier Transform (FFT).

50 Transformada Discreta a Cosseno Família das transformadas reais; Base do método JPEG de compressão de imagens; DCT:

51 Fun ç ão de Autocorrela ç ão Para um sinal x[n] qualquer: onde E{...} refere-se à esperança matemática e ( * ) refere-se ao complexo conjugado. Para x[n] estacionário: Para x[n] ergódico: r xx [m] = r xx [-m] r xx [0] = E{|x[n]| 2 } = v.m.q.(x) = x 2 se DC=0.

52 Fun ç ão de Autocorrela ç ão Estimador Não-Tendencioso: Estimador Tendencioso: tem a vantagem de ser uma função positiva semidefinida.

53 Densidade Espectral de Potência Definição: transformada de Fourier da FAC: Significância estatística da estimação espectral; Variância resolução espectral; Para sinais ergódicos:

54 Densidade Espectral de Potência Sinal finito; Bartlett: promediação da DFT de vários segmentos do sinal; corresponde à aplicação de janelas retangulares: leakage (vazamento); Welch: utilização de janelas Hann com superposição de 50%;

55 Periodograma de Welch

56 Ru í do Branco Definição: sinal cuja autocorrelação vale Portanto: P ww ( f ) = w 2 Caso w[n] seja gaussiano, suas amostras, além de descorrelacionadas, são independentes...

57 Modelagem Auto-Regressiva DEP: significância resolução uso de modelos; Modelos ARMA, MA e AR; AR mais comumente utilizado; Modelo AR genérico de ordem m:

58 Equa ç ões de Yule-Walker Buscam-se os coeficientes a[k] que minimizam a variância (energia) do erro: Solução das equações de Yule-Walker (para sinais estacionários):

59 Equa ç ões de Yule-Walker (cont.) A partir dos coeficientes auto-regressivos, pode-se obter a DEP através do Método da Máxima Entropia (MEM):

60 Equa ç ões de Yule-Walker Como um M é todo de M í nimos Quadrados Minimização da energia de u[n]: X a = x

61 Sele ç ão da Ordem do Modelo Critérios tipo função-custo (a serem minimizados): – Final Prediction Error (Akaike, 1970): – Akaike Information Criterion (Akaike, 1974): – Minimum Description Length (Rissanen, 1978): – Criterion Autoregressive Transfer Function (Parzen, 1976):

62 Fun ç ão de Correla ç ão Cruzada Para x[n] e y[n] ergódicos: r xy [m] r xy [-m] não é necessariamente par; r xy [m] = r yx * [-m]; Estimadores:

63 Espectro Cruzado Definição: transformada de Fourier da Função de Correlação Cruzada: como r xy [m] não é necessariamente par, P xy ( f ) não é puramente real; Para sinais ergódicos:

64 Coerência Espectral Definição: Espectro Cruzado normalizado pela raiz do produto das DEPs: – como P xy ( f ) é complexo, a coerência também o é. Magnitude Quadrática da Coerência (MSC):

65 Respostas Induzidas e Evocadas Tipos de sincronização: – no tempo: time-locked respostas induzidas: ERD/ERS ou ERSP; TFE (uma modalidade de ORD). – na fase: phase-locked respostas evocadas: Média coerente; Técnicas de Detecção Objetiva de Respostas (ORD).

66 M é dia Coerente Pressupõe que haja uma parcela consistente de sinal a cada época pós-estímulo embebida por um ruído de média nula: quando Marcação do gatilho (trigger): Atrasos sistemáticos; Atrasos aleatórios (Jittering).

67 Teste F Espectral (TFE) Razão de Potências ou de DEP: Sob H 0 (ausência de resposta):

68 Medida de Sincronismo de Componentes (CSM) Mede a consistência da fase da componente de freqüência em questão: Sob H 0 (ausência de resposta):

69 Magnitude Quadrada da Coerência (MSC) A MSC entre um sinal periódico e um sinal aleatório depende apenas do último e pode ser reescrita como: Sob H 0 (ausência de resposta):Sob H 1 (presença de resposta):

70 Detector de Potenciais Evocados (EPD) Inspira-se na MSC como ORD, mas refere-se ao domínio do tempo: Sob H 0 (ausência de respostas), EPD segue uma distribuição Beta: – EEG como um ruído branco: EPD ~ N / 2, N (M-1)/2 – EEG como um ruído colorido: EPD ~ Nfit / 2, Nfit (M-1)/2, onde Nfit é ajustado com base na FAC do EEG…

71 ERD/ERS em Função do TFE Considerando-se x[n] como o sinal de referência e y[n] como o sinal durante indução de resposta: Sob H 0 (ausência de respostas) :

72 Variância e Covariância Para um sinal x[n] ergódico: onde E{...} refere-se à esperança matemática. Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:

73 Matriz de Covariância Sejam k sinais ergódicos x 1 [n] a x k [n]: Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser dada por: onde X é uma matriz (N k) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas respectivas médias.

74 An á lise de Componentes Principais (PCA) Sejam k sinais ergódicos x 1 [n] a x k [n] correlacionados entre si (não ortogonais): sua matriz de covariância C não é diagonal. Existe um conjunto de k outros sinais descorrelacionados entre si (ortogonais e de média nula), s 1 [n] a s k [n] (componentes principais), tais que: Problema: achar A e S...

75 An á lise de Componentes Principais (PCA) Multiplicando-se ambos os lados por X: – mas os sinais s i [n] são ortogonais por pressuposição, de modo que S t S é uma matriz diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N 1, tem-se que: o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza ortogonalmente C: decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.

76 Incerteza, Informa ç ão e Entropia Sejam k e x variáveis aleatórias (discreta e contínua respectivamente). A Quantidade de Informação (I) de uma observação é dada por: – A Entropia de Shannon é o valor esperado de I:

77 Propriedades da Entropia Continuidade; Valor máximo (p.ex. var. discreta): Entropia conjunta: Se k e l são independentes:

78 Propriedades da Entropia Exemplo: – Processo de Bernoulli: k 1 = 0; k 2 = 1;

79 Informa ç ão M ú tua H(k): medida de incerteza da variável k; H(k|l): incerteza remanescente de k após se observar l; Informação Mútua: – representa a quantidade de incerteza sobre k que foi resolvida ao se observar l. – se k e l são independentes:

80 An á lise de Componentes Independentes (ICA) Análoga à PCA mas visa a componentes estatisticamente independentes: – Minimização da Informação Mútua: Ex.: Algoritmos baseados na Medida de Divergência de Kullback-Leibler; – Maximização da Não-Gaussianidade: Curtose: ; Negentropia J(pdf(x)) = H(N(0, )) H(pdf(x, )). – Algoritmos comuns: Infomax (Redes Neurais, Maximização da Entropia); JADE (cumulantes de 4a. Ordem – Curtose); FastICA (PCA Maximização de Não-Gaussianidade via função não-linear)...

81 FiltrosFiltros Sinal + ruído ou interferência; Interferência da rede (60Hz); Interferência de outros sinais fisiológicos; Coincidência dos espectros do sinal e do ruído; Uso de filtros: IIR FIR.

82 Filtro Passa-Baixas Ideal

83 Filtro Passa-Altas Ideal

84 Filtro Passa-Faixa Ideal

85 Filtro Rejeita-Faixa Ideal

86 Filtros FIR - M é todo de Janelas Idéia: truncar a resposta ao impulso ideal h d [n] correspondente a uma janela retangular no domínio da freqüência; Fenômeno de Gibbs (janela retangular) emprego de outras janelas;

87 Truncamento simples (Janela Retangular)

88 Outras Janelas Hann: Hamming: Blackman:

89 Compara ç ão de filtros projetados a partir das diferentes janelas:

90 Compara ç ão (Hann - linha cont í nua, Hamming - pontilhada, Blackman - tracejada)

91 Janela Kaiser Família de curvas com parâmetros flexíveis (dependendo de ; onde I 0 ( ) é a função de Bessel modificada de primeira ordem.

92 Compara ç ão - Kaiser (diferentes valores de Compara ç ão - Kaiser (diferentes valores de

93 Filtros FIR Passa-Baixas, Passa- Altas, Passa-Faixa e Rejeita-Faixa Fase linear resposta ao impulso simétrica ou anti-simétrica; Simétrica: Anti-simétrica:

94 Filtro FIR Trunca-se a resposta ideal do filtro do tipo desejado; Ordem par (comprimento ímpar): Ordem ímpar (comprimento par):

95 Filtros FIR Passa-Altas e Rejeita-Faixa Polinômios simétricos de ordem ímpar apresentam raiz em –1 (e j ); Este zero determina resposta nula na freqüência de Nyquist; Logo, filtros FIR passa-altas e rejeita-faixa não podem possuir ordem ímpar.

96 Projeto por Especifica ç ões (FIR-Kaiser) Especificações: ripple e limite(s) da faixa de passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição; ripple ajustado através do parâmetro e largura do lobo principal, através da ordem do filtro; Janela Kaiser pode-se adequar a, praticamente, qualquer especificação;

97 Projeto por Especifica ç ões (cont.) Faixa de passagem: Ap ripple máximo, delimitada por p (ou p1 p2 ); Faixa de rejeição: Ar de atenuação mínima, delimitada por r (ou r1 r2 ); Pode-se projetar um filtro com banda de transição B t e ripples:

98 Projeto por Especifica ç ões (cont.)

99 1) Freqüência(s) de corte: distanciada(s) de B t /2 do(s) limites da faixa de passagem; 2) Escolha de :

100 Projeto por Especifica ç ões (cont.) 3) Cálculo de A r : 4) Escolha de :

101 Projeto por Especifica ç ões (cont.) 5) Escolha do parâmetro D: 6) Ordem N:

102 Filtro IIR Butterworth Maximamente plano; Filtro passa-baixas:

103 Filtro IIR Butterworth (cont.) Fazendo-se s=j,

104 Filtros IIR Chebychev Filtros equiripple: Chebychev I - faixa de passagem; Chebychev II - faixa de rejeição; Passa-baixas normalizado do tipo I: C n ( ) é o polinômio de Chebychev de ordem n;

105 Filtro IIR Chebychev (cont.) Definição dos polinômios de Chebychev:

106 Filtros IIR Chebychev (cont.) Relação de recorrência para os polinômios de Chebychev:

107 Transforma ç ões Espectrais para Filtros Anal ó gicos Filtros passa-baixas normalizados para quaisquer tipos de filtros; Freqüência de corte: – Butterworth : 3dB; – Chebychev : final da faixa de passagem (dB);

108 Transforma ç ões Espectrais (cont.)

109 Transforma ç ão Bilinear Passar do domínio s (analógico) para o domínio z (digital); Definição:

110 Transforma ç ão Bilinear (cont.) Warping: Solução: pre-warping - se o filtro digital é caracterizado pelas freqüências i, o filtro analógico deve possuir suas freqüências correspondentes em:

111 Efeito Warping

112 Projeto por Especifica ç ões (IIR) Funções do Matlab (butter e cheby1); Especificações: ripple e limite(s) da faixa de passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição; Faixa de passagem: R p ripple máximo, delimitada por p (ou p1 p2 ); Faixa de rejeição: R s de atenuação mínima, delimitada por r (ou r1 r2 );

113 Projeto por Especifica ç ões (cont.) 1) pre-warping das freqüências limites do filtro digital desejado; 2) Obter um filtro passa-baixas normalizado:

114 Projeto por Especifica ç ões (cont.)

115 3) Determinação da ordem; para passa-faixa e rejeita-faixa, pega-se o menor dos Ai : – Butterworth: – Chebychev:

116 Projeto por Especifica ç ões (cont.) 4) Exclusivamente para Butterworth: 4.a) achar freqüência de 3dB: 4.b) voltar ao modelo analógico:

117 Projeto por Especifica ç ões (cont.)

118 4.c) Voltar ao domínio digital: onde, para filtros passa-faixa e rejeita-faixa, i=1,2.

119 Filtro Notch Digital Estrutura básica de segunda ordem:


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