Crescimento de Funções

Apresentação em tema: "Crescimento de Funções"— Transcrição da apresentação:

1 Crescimento de Funções
Notação Assintótica Dado uma entrada grande o bastante, examine somente a ordem de crescimento do tempo de execução. Isto é, como o tempo de execução aumenta com o tamanho da entrada no limite. Usualmente definida somente para tamnho de entradas inteiras. Também consideraremos alguns excesso de notação que serão utilizados. UFES Berilhes B. Garcia

2 Notação Assintótica Definida em termos de funções cujos domínios são o conjunto dos números naturais. Utilizada para descrever a função tempo de execução no pior caso T(n), usualmente definida somente para tamanhos de entrada interiras. UFES Berilhes B. Garcia

3 0 < lim [f(n) / g(n)] < 
Notação- Para uma dada função g(n), nós denotamos por (g(n)) o conjunto de funções (g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c1, c2 e n0 tal que 0  c1g(n)  f(n)  c2g(n), para todo n  n0 } Uma função f(n) pertence ao conjunto (g(n)) se existem constantes inteiras positivas c1 e c2 de modo que esta possa ser inserida entre c1g(n) e c2g(n), para valores de n suficientemente grandes. Isto requer que (g(n)) seja assintoticamente não-negativa. Nós dizemos que g(n) é um limite assintótico justo para f(n): 0 < lim [f(n) / g(n)] <  n UFES Berilhes B. Garcia

4 f(n) = (g(n)) c2g(n) f(n) c1g(n) n n0 UFES Berilhes B. Garcia

5 0  lim [f(n) / g(n)] < 
Notação-O Para uma dada função g(n), nós denotamos por O(g(n)) o conjunto de funções O(g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tal que 0  f(n)  cg(n), para todo n  n0 } Nós podemos dizer que g(n) é um limite superior assintótico para f(n): 0  lim [f(n) / g(n)] <  n Em termos de conjuntos, (g(n))  O(g(n)). UFES Berilhes B. Garcia

6 f(n) = O(g(n)) cg(n) f(n) n n0 UFES Berilhes B. Garcia

7 Notação- Para uma dada função g(n), nós denotamos por (g(n)) conjunto de funções (g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tal que 0  cg(n)  f(n) para todo n  n0 } Nós dizemos que g(n) é um limite inferior assintótico para f(n): 0 < lim [f(n) / g(n)] n Para qualquer duas funções g(n) e f(n), f(n) = (g(n)) se e somente se f(n) = O(g(n)) e f(n) = (g(n)). UFES Berilhes B. Garcia

8 f(n) = (g(n)) f(n) cg(n) n n0 UFES Berilhes B. Garcia

9 Notação Assintótica em Equações
Utilizada para substituir funções de termos de ordem mais baixa de modo a simplificar equações /expressões Por exemplo, 4n3 + 3n2 + 2n + 1 = 4n3 + 3n2 + (n) = 4n3 + (n2) = (n3) Ou nós podemos fazer o seguinte: 4n3 + 3n2 + 2n + 1 = 4n3 + f(n2) onde f(n2) simplifica a equação UFES Berilhes B. Garcia

10 Notação-o Para uma dada função g(n), nós denotamos por o(g(n)) o conjunto de funções o(g(n)) = {f(n): para qualqer constante positiva c > 0, existe uma constante n0 tal que 0  f(n) < cg(n), para todo n  n0 } f(n) torna-se insignificante com relação à g(n) quando n tende para infinito: lim [f(n) / g(n)] = 0 n Nós podemos dizer que g(n) é um limite superior para f(n) que não é assintoticamente justo. UFES Berilhes B. Garcia

11 Notação-w Para uma dada função g(n), nós denotamos por w(g(n)) o conjunto de funções w(g(n)) = {f(n): para qualqer constante positiva c > 0, existe uma constante n0 tal 0  cg(n) < f(n) , para todo n  n0 } f(n) torna-se arbitrariamente grande com relação à g(n) quando n tende para infinito: lim [f(n) / g(n)] =  n Nós dizemos que g(n) é um limite inferior para f(n) que não é assintoticamente justo. UFES Berilhes B. Garcia

12 Propriedades Transitividade Simetria
f(n) = (g(n)) & g(n) = (h(n))  f(n) = (h(n)) f(n) = O(g(n)) & g(n) = O(h(n))  f(n) = O(h(n)) f(n) = (g(n)) & g(n) = (h(n))  f(n) = (h(n)) f(n) = o (g(n)) & g(n) = o (h(n))  f(n) = o (h(n)) f(n) = w(g(n)) & g(n) = w(h(n))  f(n) = w(h(n)) Simetria f(n) = (g(n)) se e somente se g(n) = (f(n)) Simetria transposta f(n) = O(g(n)) )) se e somente se g(n) = (f(n)) f(n) = o(g(n)) )) se e somente se g(n) = w((f(n)) UFES Berilhes B. Garcia

13 Comparasões de Funções
f (n) = O(g(n))  a  b f (n) = (g(n))  a  b f (n) = (g(n))  a = b f (n) = o (g(n))  a < b f (n) = w (g(n))  a > b UFES Berilhes B. Garcia

14 Duas Funções que não podem ser comparadas
f (n)= n1+ sin n f (n)= n UFES Berilhes B. Garcia

15 Exemplos A B 5n2 + 100n 3n2 + 2 A  (B) log3(n2) log2(n3) A  (B)
nlg4 3lg n A  w(B) lg2n n1/2 A  o (B) UFES Berilhes B. Garcia

16 Exemplos A B 5n2 + 100n 3n2 + 2 A  (B) log3(n2) log2(n3) A  (B)
A  (n2), n2  (B)  A  (B) log3(n2) log2(n3) A  (B) logba = logca / logcb; A = 2lgn / lg3, B = 3lgn, A/B =2/(3lg3) nlg4 3lg n A  w(B) alog b = blog a; B =3lg n=nlg 3; A/B =nlg(4/3)   quando n lg2n n1/2 A  o (B) lim ( loga n / nb ) = 0, aqui a = 2 e b = 1/2  A  o (B) n UFES Berilhes B. Garcia

17 Revisão sobre Somatórias
Porque nós necessitamos saber isto? Nós necessitamos disto para computar o tempo de execução de um determinado algoritmo. Exemplo: Insertion Sort UFES Berilhes B. Garcia

18 Revisão sobre Somatórias
Série Constantes: b  1 = b - a + 1 i=a Série Quadrática: Para n  0, n  i2 = … + n2 = (2n3 + 3n2 + n) / 6 i=1 Série Geométrica: Para n  0,  ci = c + c2 + … + cn = [c(n+1) - 1] / (c-1)2 Série Geométrica-linear: Para n  0,  ici = c + 2c2 + … + ncn = [(n-1)c(n+1) - ncn + c] / (c-1)2 UFES Berilhes B. Garcia