Exercício Geoestatística :

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1 Exercício Geoestatística :
O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é dada por: Qual é a probabilidade de que haja exatamente 18 chamadas telefônicas em 1 hora?

2 Exercício Geoestatística :
O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é dada por: Qual é a probabilidade de que haja exatamente 18 chamadas telefônicas em 1 hora?

3 Exercício Geoestatística :
O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é dada por: Qual é a probabilidade de que haja 3 ou menos chamadas telefônicas em 30 minutos?

4 2) Considere que o número de erros ao longo de uma superfície magnética gravadora seja uma variável aleatória de Poisson, com uma media de um erro a cada 105 bits. Um setor de dados consiste em 4096 bytes de 8 bits. um erro/105 bits Qual a probabilidade de mais de um erro em um setor? b)Qual a probabilidade de observar menos de dois erros em um setor?

5 A função densidade de probabilidade do tempo em horas de falha de um componente eletrônico de uma copiadora é f(x)=exp(-x/3000 para x>0 e f(x)=0, para . Determine a probabilidade de que: Um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas.

6 A função densidade de probabilidade do tempo em horas de falha de um componente eletrônico de uma copiadora é f(x)=exp(-x/3000 para x>0 e f(x)=0, para . Determine a probabilidade de que: Um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas.

7 Para qual valor de K a função f(x)=Ke-x para x<0 é uma função densidade de probabilidade. Determine a sua média e variância. Obs.: Lembrando que: Regra de integração por partes: . Seja e . Então Exemplo: Encontrar Então temos: e Agora, aplicamos integração por partes para a integral à direita. Seja e . Então e . Assim obtemos: . Portanto:

8 Distribuições Contínuas de Probabilidade: Seja X uma variável aleatória contínua. A função f(x) é uma função densidade de probabilidade se: f(x) 0 e Obs: P(a <X<b)= Variância: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). Então, a variância de X é dada por: , onde

9 Resposta: , sendo que x > 0 temos:

10 , Assim: E[x]=1.

11 EXERCÍCIO: Para qual valor de K a função f(x)=2Ke-2x para x > 0 é uma função densidade de probabilidade. Determine a sua média e variância. Para qual valor de K a função para x > 0 é uma função densidade de probabilidade. Determine a sua média e variância.

12 GEOESTATÍSTICA Definição de covariância pelo livro Probabilidade: um curso introdutório (Por Carlos Alberto Barbosa Dantas): Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional. As esperanças das componentes X e Y nos fornecem uma medida de posição das respectivas distribuições nos respectivos eixos das coordenadas do plano. As variâncias de X e Y dão uma medida de dispersão dos valores de X e de Y em torno das respectivas médias E(X) e E(Y). A covariância dá uma ideia da dispersão dos valores da variável bidimensional (X, Y) em relação ao ponto (E(X), E(Y)). Definição de variável aleatória contínua: Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se existir uma função f, denominada função densidade de probabilidade (fdp) de X que satisfaça às seguintes condições (Livro Probabilidade – Aplicações à Estatística (Paul L. Meyer)):

13 Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade:
Uma variável é dita aleatória quando o valor da mesma é obtido através de observações ou experimentos, e a cada valor estiver associada certa probabilidade. Denota-se uma variável por letra maiúscula e os valores assumidos por ela por letra minúscula. Uma variável é dita Discreta quando assume valores em pontos isolados ao longo de uma escala (nº finito ou infinito enumerável de valores). Exemplo: Nº de alunos na sala Uma variável é dita Contínua quando assume qualquer valor ao longo de um intervalo (nº infinito não enumerável de valores). Exemplo: Tempo, temperatura, peso, etc.

14 Variáveis Regionalizadas:
Uma variável regionalizada é qualquer função numérica com uma distribuição espacial que varia de um lugar par outro com continuidade aparente, mas cujas variações não podem ser representadas por uma função determinística. (As funções determinísticas sempre retornam o mesmo resultado quando são chamadas com o uso de um conjunto específico de valores de entrada e quando lhes é dado o mesmo estado do banco de dados. As funções não determinísticas podem retornar resultados diferentes cada vez que são chamadas com um conjunto específico de valores de entrada, mesmo se o estado do banco de dados que elas acessam permaneça o mesmo. Bastante utilizado em programação – banco de dados.). Em geologia, todas as observações quantitativas feitas em duas ou três dimensões (área ou volume, respectivamente), sejam elas geoquímicas, geofísicas, sedimentológicas etc., podem ser consideradas como exemplos de variáveis regionalizadas. Segundo Bubenicek & Haas (1969), as características qualitativas de variáveis regionalizadas que os métodos estatísticos convencionais não conseguem reconhecer são:

15 1.Localização: os valores de uma variável regionalizada são dependentes de suas funções espaciais relativas dentro do campo geométrico (depósito); além disso, estes valores são dependentes do tamanho da amostra, de sua forma e orientação (suporte amostral). 2.Suporte: por vezes a variável regionalizada Z(x) não está definida num ponto, mas sobre uma área ou volume centrado em x. 3.Continuidade: a variação espacial de uma variável regionalizada pode ser, dependendo do fenômeno, grande ou pequena, mas deve existir uma certa continuidade ponto a ponto. 4.Anisotropias: A regionalização pode apresentar anisotropias (anisotropia: característica que uma substância possui em que uma certa propriedade física varia com a direção.) quando apresenta variações graduais numa direção e rápida ou irregular em outra. 5.Fenômenos de transição: No campo da variável, particularmente em formações sedimentares, as estruturas são frequentemente encontradas consistindo em lentes superpostas. Essas estruturas formam uma rede de descontinuidades nas bordas das lentes, que é caracterizada como fenômeno de transição.

16 O variograma: O variograma é a ferramenta básica que permite descrever quantitativamente a variação no espaço de um fenômeno regionalizado. A natureza estrutural de um conjunto de dados (assumido pela variável regionalizada) é definida a partir da comparação de valores tomados simultaneamente em dois pontos, segundo uma determinada direção. A função variograma é definida como sendo a esperança matemática do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço, separados por uma distância h, conforme a seguinte expressão: Como na estatística clássica, pode-se definir a média e a variância de uma variável regionalizada de acordo com as seguintes relações: Média: Variância: A variância é conhecida em notação geoestatística como C(0), ou seja, a covariância para distância de separação nula.

17 Desta mesma forma, pode-se definir a covariância C(h) entre pontos separados por uma distância h:
A função é denominada função semivariograma ( ), que é a metade da função variograma; entretanto, muitos autores usam simplesmente o termo função variograma para expressá-la. Comportamento próximo a origem: O grau de continuidade da mineralização é dado pelo comportamento do variograma próximo à origem. Assim, quanto a esse comportamento podem ser descritos quatro tipos básicos, a saber:

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19 1.Parabólico (Fig. A): o variograma descreve uma curva parbólica próximo à origem e representa um alto grau de continuidade das amostras selecionadas. Esse tipo pode ser exemplificado por um variograma construído a partir de dados de espessura de uma camada. 2.Linear (Fig. B): caracterizado por um comportamento linear na origem, ou seja, por uma tangente oblíqua à origem, representando uma continuidade média das amostras. Entenda-se por continuidade média das amostras uma grande homogeneidade destas a pequenas distâncias e uma progressiva perda de homogeneidade com o aumento da distância. Esse comportamento é típico de muitos depósitos minerais metálicos. 3.Efeito pepita (Fig. C): esse tipo apresenta uma descontinuidade na origem. Essa descontinuidade pode ser reflexo de dois fatores não mutuamente exclusivos – erros de medida na amostragem e microvariabilidades. 4.Efeito pepita puro (Fig. D): é um tipo extremo de comportamento do variograma próximo à origem e reflete a variação espacial de um fenômeno de transição, onde para um dado valor de patamar a amplitude (a amplitudo reflete o grau de homogeneização entre as amostras, ou seja: quanto maior for a amplitude, maior será a homogeneidade entre as amostras) terá um valor infinitesimalmente menor que as distâncias de observação.

20 Modelos de variogramas:
Os modelos de variogramas mais comuns na natureza listados conforme as equações apresentadas a seguir: Seno cardinal Cauchy genérico

21 Exponencial Cúbico Estável

22 Linear Gauss Gamma

23 Potencial KBessel Onde Kα(h) é a função modificada de Bessel de ordem –α.

24 jBessel Onde d = dimensão do espaço e Jα (h) é a função Bessel de ordem α. Esférico

25 Métodos Computacionais
Os métodos computacionais, assim denominados por dependerem de computadores para o cálculo de recursos/reservas minerais, fazem uso das funções matemáticas de interpolação, as quais são aplicadas para o cálculo das variáveis de interesse nos blocos de cubagem. Ao conjunto de blocos de cubagem que compõem o depósito denomina-se modelo tridimensional de blocos: Modelo tridimensional de blocos de um depósito hipotético.

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27 Geoestatística e Modelo de Blocos
Interpolação de Teores Models > Interpolate Grade > Basic Grade Interpolation PROCESSO: GRADE Tollbar AU e CU Visualizando o Modelo de Blocos Data > Load > Block Model om (open-model-file) Criando Legenda Em função de AU Estéril = 0.0 a 0.75 (azul) Lixiviação = 0.75 a 1.5 (amarelo) Usina = 1.5 a 99 (vermelho)

28 Geoestatística e Modelo de Blocos
Avaliação do Modelo de Blocos Model > Evaluate > Wireframe evw (evaluate-wireframe)

29 Geoestatística e Modelo de Blocos
Criando o Modelo de Estéril Models > Create Model > Fill Wireframe with Cells PROCESS: TRIFILL Combinando os modelos de blocos Models > Manipulate Model > Add Two Block Models PROCESS: ADDMOD Otimizando o Modelo de Blocos Models > Manipulate Models > Optmise Block Model PROMOD

30 A subdivisão ideal em blocos, baseada na prática de avaliação de recursos, seria igual à metade do espaçamento médio entre os furos de sonda. Segundo Vallêe & Côte (1992), a krigagem de blocos com dimensões muito menores que a metade da malha de amostragem deveria ser evitada, pois tais estimativas exibem extrema variabilidade. Os métodos computacionais fazem uso das funções matemáticas de interpolação, entre as quais: inverso da potência da distância e krigagem ordinária. Os blocos de cubagem podem ser avaliados se atenderem aos seguintes requisitos: Estiverem no domínio do depósito. Apresentarem amostras de furos vizinhos, seguindo um critério de seleção. Forem passíveis de avaliação com um mínimo de informação, verificada a distância máxima das amostras. A determinação da posição de um bloco em relação ao domínio do depósito é feita em partes, como se segue:

31 A determinação da posição de um bloco em relação ao domínio do depósito é feita em partes, como se segue: Verificar se o bloco pertence à fronteira dos furos de sonda. Se o bloco estiver na fronteira dos furos, verificar se ele está dentro dos limites superior e inferior de mineralização. Definição da vizinhança local para uso dos métodos computacionais: Pode-se observar que a pesquisa dos vizinhos próximos sem nenhuma restrição quanto à localização destes, resulta no agrupamento de pontos no quadrante nordeste em detrimento dos demais, enquanto o quadrante sudoeste nem sequer foi amostrado.

32 Pode-se observar que a pesquisa dos vizinhos próximos sem nenhuma restrição quanto à localização destes, resulta no agrupamento de pontos no quadrante nordeste em detrimento dos demais, enquanto o quadrante sudoeste nem sequer foi amostrado. Verifica-se que somente os pontos situados ao longo de uma linha de pesquisa serão amostrados se nenhuma restrição for imposta, caracterizando também um agrupamento de pontos.

33 Para evitar agrupamentos de pontos foram estabelecidos critérios de seleção de amostras por quadrantes ou octantes. Os critérios de seleção de amostras por quadrantes ou octantes dividem a região do ponto a ser interpolado em quatro (Figura ao lado) ou oito setores, respectivamente, e selecionam as amostras mais próximas por setor até completar um número desejado de amostras para fins de interpolação. Para o procedimento dos octantes (Figura ao lado) foi escolhida uma amostra por octante.

34 Para o procedimento dos quadrantes (Figura ao lado) foi adotada a seleção de duas amostras mais próximas por quadrante. Número de amostras de furos vizinhos: Escolhido o critério para a seleção de amostras de furos vizinhos, deve-se definir o número de amostras a serem utilizadas nos métodos de interpolação para avaliação de recurso/reserva nos blocos de cubagem. Para avaliação de depósitos minerais pode-se fixar oito amostras, que se ajustam perfeitamente aos critérios de quadrante (duas amostras por quadrante) ou octante (uma amostra por octante) no plano. Entretanto, nem sempre a condição inicial de oito amostras de furos vizinhos será satisfeita, principalmente na borda do corpo de minério. Nesses casos, deve-se relaxar a condição inicial para um mínimo de quatro amostras.

35 Coloque V para verdadeiro e F para falso em relação à variável regionalizada:
( ) Possui valores dependentes de suas funções espaciais relativas dentro do campo geométrico. ( ) A variação espacial de uma variável regionalizada é sempre pequena e existe uma descontinuidade ponto a ponto. ( ) Os valores de uma variável regionalizada são independentes do tamanho da amostra, sua forma e orientação. ( ) As variáveis regionalizadas podem ser representadas por uma função determinística exatamente porque considera a dependência entre as funções espaciais dentro de um depósito.

36 Coloque V para verdadeiro e F para falso em relação à variável regionalizada:
(V) Possui valores dependentes de suas funções espaciais relativas dentro do campo geométrico. (F) A variação espacial de uma variável regionalizada é sempre pequena e existe uma descontinuidade ponto a ponto. (F) Os valores de uma variável regionalizada são independentes do tamanho da amostra, sua forma e orientação. (F) As variáveis regionalizadas podem ser representadas por uma função determinística exatamente porque considera a dependência entre as funções espaciais dentro de um depósito.

37 Krigagem ordinária: A krigagem é o procedimento que permite calcular os ponderadores para uma dada configuração (blocos x disposição das amostras no espaço), com mínima vairância de krigagem. Os estudos geoestatísticos levam à definição de um modelo de variograma que servirá para inferir os valores da função variograma ou covariograma que serão utilizados pelos métodos geoestatísticos de interpolação. Equações de krigagem: A krigagem é um método que permite estimar o valor desconhecido Z*(x0) associado a um ponto, área ou volume a partir de um conjunto de n dados {Z(xi), i = 1,n} disponíveis. O estimador Z*(x0) poderá ser obtido como uma combinação linear dos dados disponíveis, conforme:

38 Expandindo a variância do erro, de acordo com Issaks & Srivastava (1989) e desenvolvendo cada termo, tem-se: Exercício: Considere a figura abaixo: O teor no ponto 0 foi estimado através da seguinte fórmula:

39 O teor verdadeiro no ponto 0 e os teores das amostras vizinhas Z1, Z2 e Z3 podem ser consideradas como variáveis aleatórias contínuas. O ponto 0 tem coordenadas (0;0) e os pontos 1, 2 e 3 tem coordenadas (em metros) (25;0), (-15;0) e (0;-10), respectivamente. Portanto, o erro de estimação (teor verdadeiro – teor estimado) será também uma variável aleatória, pois se trata de uma combinação linear de variáveis aleatórias. Sabe-se que para este caso, a covariância entre 2 quaisquer variáveis depende somente da distância que separa os pontos onde estas variáveis se encontram. Esta covariância é dada pela seguinte fórmula: Onde: a = 30 metros. Pede-se calcular a variância da variável que representa o erro desta estimativa.

40 Resolução: Temos então: Erro = Teor verdadeiro – Teor estimado (Z(x0 ) = teor verdadeiro)

41 Não queremos o cálculo de variância de um ponto fixo e sim de dois pontos com i ǂ j.
Distâncias (m) / h Pontos 1 2 3 25 15 10 40 26,93 18,03

42 * Cálculo da covariância:
Modelo Esférico de variograma para o cálculo da covariância: Onde a = 30 metros.

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44 C( h) Pontos 1 2 3 40 1,57 12,5 20,74 0,61 8,28 * Cálculo da variância da variável que representa o erro dessa estimativa:

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47 Krigagem Ordinária As equações de krigagem permitem determinar o conjunto de ponderadores associados ao conjunto de dados disponíveis, que, combinados, resulta na estimativa do valor desconhecido Z*(X0): Conforme o domínio que se estima, tem-se: Krigagem pontual; Krigagem de bloco. Krigagem pontual. - Conjunto de pontos de dados para um depósito hipotético: Esse conjunto de pontos de dados representa um depósito hipotético do tipo estratiforme, em que os teores estão compostos para a espessura mineralizada. Nesse depósito, o minério apresenta uma densidade aparente igual a 3,20 t/m3. Análise Geoestatística dos Dados do Depósito Hipotético. Para os dados do depósito hipotético, procedeu-se à análise da variabilidade dos dados para ilustrar o procedimento de cálculo dos pontos do variograma experimental. Tendo em vista que os pontos de dados não estão distribuídos sobre uma malha regular, há

48 há necessidade de estabelecer o passo e a tolerância do passo, os quais foram iguais a 50 e 25m, respectivamente. Assim, pode-se calcular a nuvem de variograma, bem como os pontos médios, ou seja, os próprios pontos do variograma experimental. A figura 4.13 apresenta a nuvem de variograma (Figura 4.13A) e os pontos do variograma experimental (Figura 4.13B) para os dados de teor. A nuvem de variograma representa todas as diferenças ao quadrado [Z(x) – Z(x + h)]2 que são lançadas contra as respectivas distâncias (h). Sobre os pontos do variograma experimental foram ajustados os modelos teóricos. Para a variável teor, o ajuste resultou num modelo de variograma esférico e, para espessuras, num modelo gaussiano.

49 Para a variável teor, o ajuste resultou em um modelo de variograma esférico:
, para h < 200 m , para h > 200 m Para a variável espessura, o ajuste resultou em um modelo de variograma gaussiano: , para a = 100 m

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52 Krigagem Pontual

53 Para o cálculo da função semivariograma, por exemplo, entre as amostras 1 e 2, determina-se inicialmente a distância entre elas: A distância encontrada é convertida em função semivariograma, usando-se as equações dos modelos da Figura 4.13B para teores e a Figura 4.14B para espessuras:

54 Assim, o procedimento descrito é repetido para todos os pares de amostras, obtendo-se as matrizes dos valores da função semivariograma, conforme a matriz abaixo: O vetor dos valores das funções semivariograma, entre a amostra e o ponto a ser estimado, também é calculado da mesma forma:

55 Da mesma forma, calculando-se os valores das funções semivariograma para todas amostras, tem-se:
Assim, obtêm-se todos os elementos do sistema de equações, que, adicionada da condição de restrição da krigagem ordinária, resultam nos sistemas de equações de krigagem para estimativa do ponto de coordenadas (131,25; 118,75): Resolvendo-se o sistema de equações, obtêm-se os ponderadores listados, juntamente com os valores da variável de interesse: Tc = (5*0,047+15*0,572+18*0,317+20*0,064)=15,801 g/t