Difusão e Random walks.

Apresentação em tema: "Difusão e Random walks."— Transcrição da apresentação:

1 Difusão e Random walks

2 Na aula passada Aula do prof. Raul Donangelo: na página
Marcelo A. F. Gomes Fractal Geometry in crumpled paper balls American Journal of Physics 55, 649 (1987)

3 Na aula anterior Random walk 1 dimensão Passo constante
 Random walk 2 dimensões Self-avoiding walks Passo constante Passo aleatório Difusão

4 Difusão e Random walk Random walk seguir a trajetória de uma partícula Difusão estudar como a densidade de moléculas varia: r(x,y,z,t)

5 Para definir a densidade
dV Infinitésimo físico pequeno o suficiente comparado a tamanhos macroscópicos Muito maior que distâncias interatômicas: contém um número grande de moléculas

6 Equação de difusão parâmetro relacionado à constante de difusão dos random walks D

7 Difusão em uma dimensão
Solução Com s=s(t)

8 Difusão

9 Como implementar numericamente
Discretizar x e t i= posição n= tempo r(x,t)= r(iDx,nDt)=r(i,n)

10 Diferenças finitas

11 Substituindo

12 Para fazer o programa n= tempo n=0 a tfinal i= posição i=-L a L bordas ? Fixas e distantes

13 Estabilidade Distúrbio se espalha de s durante um passo de simulação

14 Programa Inicializa r: Para n= 1 até tfinal Para i= -L+1 até L-1
Para –L<i<L r(i,0) =0.d0 r(0,0) =1.d0 Escreve r para n desejado: t = 0, 10, 100

15 Random walk e difusão 1 dimensão bin=1 105 realizações passo=+-1 D=1
t = n 1 realização Dx=1.0 D =1 Dt=0.5 t=nDt Satisfaz a condição de estabilidade

16 Random walk e difusão t=0

17 Random walk e difusão t=10 passos t=10Dt -6<x <6

18 Random walk e difusão t=100 passos t=100Dt -20<x <20

19 t=10Dt ~ -6 < x < 6 x 10 x t=100Dt ~ -20 < x < 20

20 Oscilação da densidade - RW
Se um RW começa da origem e dá um número par de passos de tamanho 1 ele só pode estar num sítio par!

21 Oscilação da densidade - difusão
Densidade inicial concentrada em um único sítio: r(0,0)=1.0 Menor dimensão do sistema Singularidade: delta de Dirac, carga puntual

22 Soluções Tomar a média sobre sítios adjacentes (RW-aula passada)

23 Bin=2 RW t=10 passos t=100 passos

24 Soluções Tomar a média sobre sítios adjacentes (RW-aula passada) Espalhar a densidade inicial sobre vários sítios

25 Largura inicial w=3 sítios
t=10Dt t=100Dt

26 Largura inicial w=9 sítios
t=10Dt t=100Dt

27 Difusão em 2D t=0 t=6Dt t=20Dt Dt=0.25, Dx=1.0, D=1.0, |x,y| <=10 Estabilidade: mais restritiva em Dt

28 Café com creme – Como fazer RW ?
Cada molécula executa um random walk em uma rede 2D Permitimos múltipla ocupação em cada sítio A cada passo escolhemos uma molécula aleatoriamente

29 400 moléculas em uma rede 200x200 t=0 t=104

30 Passando o tempo t=105 t=106 comportamento difusivo

31 Entropia Função de estado

32 2a lei da termodinâmica t =0 Entropia baixa t grande Entropia alta

33 Entropia para café com creme
grid: 8x8 =64 Não é igual a rede i células

34 Para 1 molécula de creme Estado i: molécula localizada na célula i do grid Pi = probabilidade de encontrar a molécula no estado i em um determinado t

35 Entropia Medida do grau de desordem do sistema
W número de estados acessíveis Muito ordenado S grande Muito desordenado

36 Definição estatística de entropia
Soma sobre todas as células do grid Muitas moléculas: cálculo de Pi

37 2a lei da termodinâmica S pequeno t =0 Entropia baixa
Creme TODO no centro da xícara Creme em torno do centro da xícara S pequeno

38 2a lei da termodinâmica t grandes Entropia alta
Hipótese ergódica: todos os estados de um sistema em equilíbrio vão ser ocupados com igual probabilidade

39 2a lei da termodinâmica As partículas se espalham para ocupar todos os estados possíveis e maximizam a entropia

40 Modelos de crescimento de cluster
Modelo DLA Difusion limited aggrgation Modelo de Eden

41 Modelo de Eden  encontre o perímetro do novo cluster
 Escolha uma semente (0,0)  encontre o perímetro do cluster (1,0) e (0,1)  escolha aleatoriamente um sítio do perímetro para ocupar  encontre o perímetro do novo cluster  escolha aleatoriamente um sítio do perímetro para ocupar  até o tamanho desejado

42 Modelos de crescimento de cluster
Modelo de Eden

43 Modelos de crescimento de cluster
DLA - Difusion limited aggregation

44 Dimensão fractal Aro Disco esfera cluster

45 Dimensão fractal Modelo de Eden

46 Referência Computational Physics, Nicholas Giordano