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Movimento oscilatório e Caos. Do mais simples para o mais complicado... MHS Amortecimento Não linearidade Caos Hoje Nas aulas anteriores.

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Apresentação em tema: "Movimento oscilatório e Caos. Do mais simples para o mais complicado... MHS Amortecimento Não linearidade Caos Hoje Nas aulas anteriores."— Transcrição da apresentação:

1 Movimento oscilatório e Caos

2 Do mais simples para o mais complicado... MHS Amortecimento Não linearidade Caos Hoje Nas aulas anteriores

3 Movimento Harmônico Simples Na penúltima aula: Pêndulo simples

4 Movimento Harmônico Simples Hoje: pêndulo não-linear sen( ) forçado F D sen( D t) amortecido -b d /dt

5 Decompondo P R =T F R =0 Mas s=l F = P +F ext +F amort

6 P =-mg sen( ) F ext =F D sen( D t) F amort =-b d /dt Tomando F D /ml e q b/ml

7 1 equação diferencial não-linear não-homogênea de 2 a ordem Juntando Solução desconhecida!

8 Aplicar o Método de Euler-Cromer Transformar 1 equação diferencial de 2 a ordem em 2 equações diferenciais de 1 a ordem

9 Como aplicar o Método de Euler-Cromer? 2 equações de 1 a ordem

10 Iterando i+ t = i + i+1 t Igual a aulas anteriores

11 Iterando

12 i+ t = i – (g/l)sen i t- q i t+ sen( D t i ) t diferente das aulas anteriores

13 O programa i+ t = i + i+1 t Inicializa Itera (até n ) 0 =... e 0 =... Imprime Print, write... i+ t = i - (g/l)sen i t -q i t+ sen( D t i ) t

14 Testando o programa l =1m g = 9,8 m/s 2 0 =0,2 rad sen( 0 )=0,199 sen( 0 ) 0 t= 0,04 s q= 0 = 0 0 = 0

15 Rodando o programa Ok ! 0 =0,2 rad sen( 0 )= 0,199 sen( 0 ) 0

16 Amortecimento Sub-crítico crítico

17 Amortecimento

18 Força externa l =9.8 m g = 9,8 m/s 2 t= 0,04 s 0 = 0 0 = 0.02 = 0.0 q= =2 transiente

19 Força externa = 0 = 0.5 = 1.2 q= transiente

20 Força externa l =9.8 m g = 9,8 m/s 2 t= 0,04 s 0 = 0 0 = 0.02 q= 0.5 CAOS!

21 Força externa l =9.8 m g = 9,8 m/s 2 t= 0,04 s 0 = 0 0 = 0.02 q= 0.5

22 Caos Um sistema pode obedecer às leis determinísticas da física e ainda assim ter seu comportamento não predizível devido a uma extrema sensibilidade às condições iniciais Esse sistema é dito caótico

23 Trajetória no espaço de fase q= 0.5 = = 0.02 Sem caos

24 Trajetória no espaço de fase q= 0.5 = = 0.02 Caos T f =60s

25 Caos T f =360s

26 Sensibilidade às condições iniciais (t=0)=0.001 = 0.5 ~ e t ~-0.25 < 0

27 Expoente de Liapunov (t=0)=0.001 = 1.2 ~ e t > 0

28 Caos > 0 < 0 =0.5 > 0.5 < 1.2 Caos Sem caos Transição: = 0 =1.2

29 Bifurcação Para cada (F D ) calcula-se (t) Depois de 300 períodos (transiente vai a zero) Até 400 períodos Pegar para t em fase com a força externa: D t=n

30 Bifurcação

31 Referência Computational Physics Nicholas J. Giordano


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