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Random walks e parentes próximos. Do mais simples para o mais complicado... Random walk 1 dimensão Random walk 2 dimensões Self-avoiding walks Difusão.

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1 Random walks e parentes próximos

2 Do mais simples para o mais complicado... Random walk 1 dimensão Random walk 2 dimensões Self-avoiding walks Difusão Passo constante Passo aleatório

3 Random Walk – Passeio aleatório Movimento browniano difusão

4 Random Walk 1d Passos de tamanho 1 X 0 =0

5 Programa x=0 Para i=1 até Npassos r=random se (r<0.5) x=x+1 se (r>=0.5) x=x-1 = +x = +x*x

6 Random Walk 1d 3 realizações diferentes

7 10 realizações diferentes

8 100 realizações diferentes =Dt

9 Comparando com uma partícula livre Random walk =Dt Livre x=x 0 +vt ~t 2 Mais devagar

10 realizações diferentes ~0 Flutuações!

11 realizações diferentes D=1

12 Não é surpreendente Xn é a posição depois de n passos S i =+-1 S i é o deslocamento para o i-ésimo passo:

13 Não é surpreendente Como os passos são independentes entre si S i S j =+-1 com igual probabilidade para i=/=j

14 Para um número grande de rw Lembrando que S i 2 =1 como n=t =Dt com D=1

15 Histogramas realizações bin=2 t=10 passos

16 Histogramas realizações bin=2 t=100 passos

17 Difusão Na próxima aula...

18 Tamanhos de passo aleatórios Passos de tamanho (0,1] X 0 =0

19 Programa x=0.d0 Para i=1 até Npassos r=random rb=random se (rb<0.5) x=x+(1-r) se (rb>=0.5) x=x-(1-r) = +x = +x*x

20 500 realizações diferentes D=1 D<1

21 Também não é surpreendente Xn é a posição depois de n passos -1=

22 Calculando x n 2 Como os passos são independentes entre si S i S j =+-(0,1) com igual probabilidade para i=/=j Para um número grande de rw

23 Calculando x n 2 Lembrando que S i 2 está distribuído uniformemente no intervalo(0,1] constante

24 Substituindo s i 2 como n = t =Dt De acordo com o gráfico!

25 Random Walk 2d Passos de tamanho 1

26 RandomWalk

27 Programa x=0, Y=0 Para i=1 até Npassos r=random rb=random se (rb<0.5) se (rb>=0.5) = +sqrt(x*x+y*y) = +x*x+y*y se (r<0.5) x=x-1 se (r>=0.5) x=x+1 se (r<0.5) y=y-1 se (r>=0.5) y=y+1

28 500 realizações diferentes =Dt

29 realizações diferentes D=1

30 Self-avoiding Walk - SAW Passos de tamanho 1

31 Self-avoiding Walk - SAW Random walk: cada passo é completamente independente de todos os anteriores Na natureza nem sempre é assim: polímeros

32 SAW Blocos de construção Porém: não é permitido superpor Iguais a RW

33 Self-avoiding Walk - SAW

34 Interrompe o crescimento

35 SAW RW SAW Cresce mais rápido

36 SAW ~ t RW ~t, livre ~t 2, =2

37 SAW em mais dimensões ~ t 2D 1.4 3D =1.25 4D =1.15 D cresce 1 RW

38 Referência Computational Physics Nicholas J. Giordano


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