Random walks e parentes próximos

Apresentação em tema: "Random walks e parentes próximos"— Transcrição da apresentação:

1 Random walks e parentes próximos

2 Do mais simples para o mais complicado ...
Random walk 1 dimensão  Random walk 2 dimensões Self-avoiding walks Passo constante Passo aleatório Difusão

3 Random Walk – Passeio aleatório
Movimento browniano difusão

4 Random Walk 1d Passos de tamanho 1 X0=0

5 Programa x=0 Para i=1 até Npassos r=random se (r<0.5) x=x+1
<x(i)>=<x(i)>+x <x2(i)>=<x2(i)>+x*x

6 Random Walk 1d 3 realizações diferentes

7 10 realizações diferentes

8 100 realizações diferentes
<x2>=Dt

9 Comparando com uma partícula livre
Random walk <x2>=Dt Mais devagar Livre x=x0+vt <x2>~t2

10 10.000 realizações diferentes
<x>~0 Flutuações!

11 10.000 realizações diferentes

12 Não é surpreendente Xn é a posição depois de n passos
Si é o deslocamento para o i-ésimo passo: Si =+-1

13 Não é surpreendente Como os passos são independentes entre si SiSj=+-1
com igual probabilidade para i=/=j

14 Para um número grande de rw
Lembrando que Si2=1 como n=t <x2>=Dt com D=1

15 Histogramas realizações bin=2 t=10 passos

16 Histogramas realizações bin=2 t=100 passos

17 Difusão Na próxima aula ...

18 Tamanhos de passo aleatórios
Passos de tamanho (0,1] X0=0

19 Programa x=0.d0 Para i=1 até Npassos r=random rb=random
se (rb<0.5) x=x+(1-r) se (rb>=0.5) x=x-(1-r) <x(i)>=<x(i)>+x <x2(i)>=<x2(i)>+x*x

20 500 realizações diferentes

21 Também não é surpreendente
Xn é a posição depois de n passos Si é o deslocamento para o i-ésimo passo: -1=<Si =<1

22 Calculando xn2 Como os passos são independentes entre si
Para um número grande de rw SiSj=+-(0,1) com igual probabilidade para i=/=j

23 Calculando xn2 constante Lembrando que
Si2 está distribuído uniformemente no intervalo(0,1] constante

24 Substituindo si2 como n = t <x2>=Dt De acordo com o gráfico!

25 Random Walk 2d Passos de tamanho 1

26 RandomWalk

27 Programa x=0, Y=0 Para i=1 até Npassos r=random rb=random
se (rb<0.5) se (rb>=0.5) <r(i)>=<r(i)>+sqrt(x*x+y*y) <r2(i)>=<r2(i)>+x*x+y*y se (r<0.5) x=x-1 se (r>=0.5) x=x+1 se (r<0.5) y=y-1 se (r>=0.5) y=y+1

28 500 realizações diferentes
<x2>=Dt

29 10.000 realizações diferentes

30 Self-avoiding Walk - SAW
Passos de tamanho 1

31 Self-avoiding Walk - SAW
Random walk: cada passo é completamente independente de todos os anteriores Na natureza nem sempre é assim: polímeros

32 SAW Blocos de construção Iguais a RW Porém: não é permitido superpor

33 Self-avoiding Walk - SAW

34 Self-avoiding Walk - SAW
Interrompe o crescimento

35 SAW SAW Cresce mais rápido RW

36 a @1.4 <r2> ~ ta SAW RW <r2>~t, a =1
livre <r2>~t2, a=2

37 <r2> ~ ta D cresce 1 RW SAW em mais dimensões 2D a =1.4

38 Computational Physics
Referência Computational Physics Nicholas J. Giordano