Curso de Ventos Estelares Marcelo Borges Fernandes.

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1 Curso de Ventos Estelares Marcelo Borges Fernandes

2 Opssss digo... PREVIOUSLY ON STELLAR WINDS

3 Aula 6 Ventos Isotérmicos Referência: Capítulo 3 de Introduction to Stellar Winds (Lamers & Cassinelli) Vimos que: Ventos isotérmicos com somente a pressão do gás Lei de velocidades: transônica (passa pelo ponto crítico) Taxa de perda de massa dependente das condições na base do vento 2 forças: pressão e gravidade

4 Quais os efeitos de se incluir uma força adicional ? - O ponto crítico terá a mesma posição ? - Haverá um aumento ou diminuição da velocidade ou da taxa de perda de massa ou de ambos ? - Essas alterações dependerão de onde a força for aplicada ? - Ocorrerão os mesmos efeitos tanto na região subsônica quanto na supersônica ? A idéia de uma força sendo aplicada somente em uma região restrita parece bem artificial, mas... Ventos dirigidos por poeira!!!!

5 Tipo I) Força adicional: f α r -2 A equação de momento de um vento isotérmico com uma força adicional positiva: f = A r -2 será: Equação 1 Assumimos que a força é menos intensa que a força gravitacional e atua em todo o vento uma redução da gravidade ou da massa da estrela

6 Temos então: - A > 0 e constante na região onde f opera e A = 0 fora dela - a equação de momento é similar a aquela de um vento isotérmico somente com a pressão do gás dv / dr só será > 0 para qualquer r, se o numerador e o denominador forem iguais a 0 no mesmo ponto (singularidade) Regra de L´Hopital

7 Temos: - como uma redução da gravidade ou da massa da estrela - A > 0 e constante na região onde f opera e A = 0 fora dela - a equação de momento é similar a aquela de um vento isotérmico somente com a pressão do gás dv / dr só será > 0 para qualquer r, se o numerador e o denominador forem iguais a 0 no mesmo ponto (singularidade) Regra de L´Hopital Só existe uma solução crítica para um valor particular de v o e uma taxa de perda de massa para um conjunto de condições físicas na base do vento (T o, r o, ρ o ) → essa solução dependerá do valor de A

8 Caso 1) A ≠ 0 em todo o vento A equação 1 será igual ao caso sem força adicional se usarmos: M eff = M * - A / G = M * (1 – Γ) Onde Γ = A / G M * Se Γ 0 (equilíbrio hidrostático pode ser satisfeito) Condições de contorno serão as mesmas como no caso sem a força adicional

9 Caso 1) A ≠ 0 em todo o vento A equação 1 será igual ao caso sem força adicional se usarmos: M eff = M * - A / G = M * (1 – Γ) Onde Γ = A / G M * Se Γ 0 (equilíbrio hidrostático pode ser satisfeito) Condições de contorno serão as mesmas como no caso sem a força adicional r c = G M eff / 2a 2 (mais próximo da estrela → (1 – Γ)) v(r c ) = a

10 O fator (1 – Γ) causará também um aumento na taxa de perda de massa: Equação 2 Caso 1.2) O aumento de A até um valor Γ max Γ vai de 0 até valores positivos: r c se torna mais próximo de r o Equação 3

11 De uma forma geral, o efeito do aumento de Γ na faixa de: 0 < Γ < Γ max A aplicação de uma força na região subsônica que se contrapõe a gravidade aumenta a escala de altura densidade, H o (diminuição de g o ), e produz uma diminuição mais lenta da densidade para maiores distâncias Pela equação da continuidade, considerando uma taxa de perda de massa constante: maior densidade, menor velocidade e menor gradiente de velocidade

12 V o tem que aumentar com o aumento de Γ de forma a termos uma solução transônica através do ponto crítico (aceleração menor)

13 Γ pode ser > 1 na região supersônica, resultando em uma lei de velocidades mais acentuada, pois não é preciso satisfazer a condição de equilíbrio hidrostático

14 Caso 2) A ≠ 0 somente a uma certa distância no vento Ventos dirigidos por poeira: r d = raio de condensação da poeira Γ = 0 para r < r d 0 r d Os efeitos na lei de velocidades e na taxa de perda de massa dependerão da localização de r d

15 Caso Γ = 0: log r c / R * = 0.5 r c ~ 3 R *

16 Se r d > r c (Γ = 0): - Nem a estrutura da região subsônica nem a posição do ponto crítico é afetada por Γ (dM / dt = caso com Γ = 0) IMPORTANTE!!!!! Uma força aplicada ao vento acima do ponto crítico não afeta a taxa de perda de massa

17 Se r d > r c (Γ = 0): - A velocidade na região supersônica com r > r d será maior do que para Γ = 0, porque o numerador da equação do momento será maior, pois (M eff a 2 ) - O aumento de Γ acima de r c resultará em uma lei de velocidades mais acentuada para r > r d

18 Se r d < r c (Γ): - dM / dt dependerá de Γ em toda a região: r o < r < r c (Γ) porque a lei de velocidades é afetada por Γ(r) Sendo Γ > 0: - dv / dr menor - d ρ / dr menor - maior valor de ρ (r c (Γ)) - maior v o - menor r c - maior dM / dt

19 A taxa de perda de massa para um Γ constante Se uma força com 0 < Γ < Γ max é aplicada na parte subsônica do vento: dv / dr será menor, mas as velocidades serão maiores, pois r c se move para mais próximo da estrela e terá v(r c ) = a, com isso v o será também maior. H o maior → dM / dt maior Uma estimativa do aumento da taxa de perda de massa devido a Γ é dada por: Equação 4

20 Forte dependência entre dM / dt e Γ

21 Exemplo: supergigante vermelha típica r o ~ R * ~ 10 3 R  T vento ~ T eff = 3000K M * = 20 M  ρ O = ρ ( τ = 1 ) = 10 -10 g cm -3 r d = 4 R * onde T ~ 1000 K H o = 7 x 10 -3 R * = 5 X 10 11 cm Equação 5 dM / dt ~ 10 -50 M  / ano (porque r d ~ 600 H o onde a densidade é bem baixa) Se H o aumenta de um fator 8 (4 x 10 12 cm) → dM /dt ~ 10 -5 M  / ano Alta sensitividade de dM / dt com H o

22 Tipo II) Força adicional: f α v (dv / dr) Pressão de radiação devido à uma linha opticamente espessa. Equação de Momento e o Ponto Crítico Equação 6 Existe então um termo extra no denominador (1 - B) se comparado com o vento isotérmico sem forças adicionais Se transformarmos v(r) em v´(r) = v(r)(1 – B) -1/2 com B < 1: Teremos uma equação de momento similar ao caso sem forças adicionais, com um ponto crítico com as mesmas propriedades

23 Tipo II) Força adicional: f α v (dv / dr) Pressão de radiação devido à uma linha opticamente espessa. Equação de Momento e o Ponto Crítico Equação 6 Existe então um termo extra no denominador (1 - B) se comparado com o vento isotérmico sem forças adicionais Se transformarmos v(r) em v´(r) = v(r)(1 – B) -1/2 com B < 1: Uma solução crítica que passa pelo ponto: r c = G M * / 2a 2 com v c ≡ v(r c ) = a / (1 – B) -1/2

24 Uma solução crítica que passa pelo ponto: r c = G M * / 2a 2 com v c ≡ v(r c ) = a / (1 – B) -1/2 O ponto crítico não tem mais a velocidade do som, mas uma velocidade mais alta, por um fator (1 – B) -1/2 O ponto crítico não é mais o ponto sônico!!!!!! O que não é necessário para um vento isotérmico Ponto crítico é o ponto matemático onde a soma de todos os termos que contém o fator dv / dr na equação de momento, assim como os que não o contém, desaparecem.

25 A taxa de perda de massa A taxa de perda de massa devido a força radiativa é dada pela equação de continuidade de massa na base do vento isotérmico: Equação 7 A taxa de perda de massa é um fator (1- B) -1/2 maior do que no caso sem forças adicionais porque: -v(r o ) é maior por esse fator -v(r) é maior por esse fator - ρ (r) é a mesma (como no caso hidrostático para a região subcrítica)

26 Se B > 1: o denominador da equação de momento será negativo para todos os valores de v, com isso a velocidade aumentará na região subcrítica, alcançando um máximo em r c e diminuindo para o exterior Dependendo da velocidade v o, a velocidade máxima em r c pode ser subsônica ou supersônica

27 Tipo III) Forças gerais adicionais: Forças dependentes de r, v, dv / dr: f(r,v) + g(r,v) x dv/dr Forças mais complicadas (dv / dr) 2 – presentes em ventos radiativos- não serão consideradas Equação de Momento e o Ponto Crítico Equação 8 Vemos que v c não é « a » → v c e r c dependem das condições locais e não das forças em outros locais do vento

28 A existência de soluções: - começam com pequenas velocidades (v « a) na base do vento isotérmico - alcançam altas velocidades (v » a) a grandes distâncias Dependem das propriedades de f(r,v) e g(r,v) É fácil mostrar que as condições para uma solução crítica com (dv / dr) ro > 0 e (dv /dr) ∞ > 0 são dadas por: Equação 9

29 É assumido que o vento tem somente um ponto crítico Somente correto se f(r,v) e g(r,v) variam de forma que o gradiente de velocidade não é negativo além do ponto crítico Entretanto, se f(r,v) decresce tão drasticamente tal que, o numerador se torna negativo para r > r c ou se g(r,v) aumenta tão drasticamente que o denominador se torna negativo em r > r c O vento pode ter mais de um ponto crítico: capítulo 9 (ventos com rotatores magnéticos)

30 Conclusões para os Ventos Isotérmicos 1- A equação de momento, que descreve dv / dr em um vento isotérmico, tem somente uma solução crítica, o qual é transônica 2- r c e v c são somente determinados pelas condições locais em r c 3- Se as forças são somente uma função de r e v, o ponto crítico é o ponto sônico. Se as forças são dependentes de dv / dr, como no caso dos ventos dirigidos por linhas, o ponto crítico não é mais o ponto sônico 4- A velocidade entre r o e r c é determinada pelas forças que atuam no gás entre r o e r c e por v c, fixando v o e r o. Se a densidade em r o é dada, a taxa de perda de massa é fixa 5- A variação da velocidade acima de r c é determinado por v c e pelas forças em r> r c 6- Uma força extra na região subcrítica muda a estrutura de velocidades na região e aumenta a taxa de perda de massa. Uma força extra na região supercrítica muda a lei de velocidades nessa região, mas não muda a taxa de perda de massa

31 Conclusões para os Ventos Isotérmicos 7- Em um vento isotérmico sem forças extras, a estrutura de densidade é bem próxima da hidrostática na região subcrítica. Isso porque o termo v dv / dr na equação de momento é desprezível se comparada ao termo da pressão. Isso não ocorre na região acima de r c, onde a densidade é determinada pela variação de v Assim abaixo do ponto sônico, a estrutura do vento é principalmente determinado pelo equilíbrio hidrostático e acima, ele é principalmente determinado pelas forças que aumentam a velocidade 8- A energia de um vento transônico é negativa em r o e positiva a grandes distâncias. Isso implica que o vento pode somente se tornar transônico, se energia é adicionada ao gás, ou na forma de calor ou na forma de trabalho feito por uma força