AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO

Apresentação em tema: "AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO"— Transcrição da apresentação:

1 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid - (71) ou (71)

2 PROPAGAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO

3 Propagação da incerteza de medição
Considere w = w(x,y,z) x, y e z são medidas n vezes As variâncias e médias de x, y e z são conhecidas Com os n valores das grandezas de entrada, calcula-se os n valores da grandeza de saída, wi = w(xi,yi,zi) Então a média da grandeza de saída pode ser estimada:

4 Propagação da incerteza de medição (continuação)
Expandindo wi = w(xi,yi,zi) em série de potências, ou série de Taylor, em torno dos valores das médias:

5 Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares
Se a primeira derivada é aproximadamente uma constante, então a segunda deriva é aproximadamente zero A primeira derivada será constante se a função for linear ou afim Então de {48}:

6 Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
De {49} e {51} e elevando ao quadrado:

7 Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
Aplicando o somatório em n a equação {54}: Dividindo por (n-1) :.

8 Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
Da definição de variância: Da definição de incerteza: 8

9 Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
Da definição de variância: {58} é a incerteza padrão de w no caso em que as três (3) grandezas de entrada (x,y,z) atendem as hipóteses abaixo : Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativa Hipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constante Hipótese 3: Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variável (estado estacionário, variáveis não auto-correlacionadas). 9

10 Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
Repetindo {57}: Se as variáveis x, y e z são estatisticamente não correlacionadas ou 10

11 Propagação da incerteza de medição de funções de variáveis não correlacionadas
Reescrevendo {60}: Portanto o desvio padrão (incerteza) de w é: {62} é a incerteza padrão de w no caso em que as NE grandezas de entrada atendem as hipóteses abaixo: Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativa Hipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constante Hipótese 3: Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variável Hipótese 5: Grandezas de entrada não correlacionadas.

12 Hipóteses para a avaliação da incerteza padrão combinada (uc)
Comportamento do mensurando fracamente não-linear Erro sistemático e sua incerteza conhecidos A média aritmética corrigida é o RB do mensurando Independência entre os elementos de uma amostra (estado estacionário, não auto-correlacionadas) As grandezas de entrada (não) correlacionadas.

13 Porque a incerteza combinada de uma grandeza de entrada é dada pelo produto interno do vetor formado pelas incertezas tipo A e tipo B? Assuma o modelo preliminar para a variável X = x Acrescente a x contribuições (uma para cada incerteza tipo B) com média 0 (zero) e desvio padrão uBi: X = x + B1 + B BNB com Bi ~ (0,σi2)=(0, uBi 2) Por ser um modelo linear, com soma de parcelas com coeficientes iguais a 1, não há correlação entre as variáveis x, B1, B2, ... e BNB De {58}:

14 Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite
A variância de um mensurando (y) com NE=m grandezas de entrada (xi) não correlacionadas é dada por: A variância da variância do mensurando (w) é:

15 Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
Admitindo que as incertezas não são correlacionadas e operando o lado direito de {64}: Admitindo que as grandezas de entrada (xi) tem PDF aproximadamente Gaussiana:

16 Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
Substituindo {67} em {66} : Admitindo que a grandezas de saída (wi) tem PDF aproximadamente Gaussiana, de {67}:

17 Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
Substituindo {69} em {68} : Ou melhor c. q. d.

18 Avaliação da Incerteza Expandida
Hipóteses adicionais: Grandezas de entrada independentes Incertezas independentes Grandezas de entrada tem PDF t-Student Grandeza de saída tem PDF t-Student Conhecida a PA (Probabilidade de Abrangência) É possível avaliar os graus de liberdade efetivos (veff) pela equação W-S (Welch-Satterthwaite).

19 FATOR DE ABRANGÊNCIA: t = k
Se a PDF do mensurando for t-Student, conhecido o Probabilidade de Abrangência: No excel: k = t = invt( 1-PA ; veff) MATLAB: k = t = -tinv( (1-PA)/2 , veff) Lembrando das hipóteses para validade da fórmula de W-S (Welch-Satterthwaite): Grandezas de entrada não correlacionadas Incertezas não correlacionadas Grandezas de entrada tem PDF t-Student Grandeza de saída tem PDF t-Student.

20 k (fator de abrangência) para vários GL (graus de liberdade) e PA (probabilidade de abrangência)
GL↓|PA 50,00% 68,27% 90,00% 95,00% 95,45% 99,00% 99,80% 1 1,00 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 318,31 2 0,82 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 22,33 3 0,76 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 10,21 4 0,74 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 7,17 5 0,73 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,89 6 0,72 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 5,21 7 0,71 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,79 8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,50 9 0,70 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 4,14 20 0,69 1,03 1,72 2,09 2,85 3,55 30 0,68 1,02 1,70 2,04 2,75 3,39 40 1,01 1,68 2,06 2,70 50 2,01 2,05 2,68 3,26 60 1,67 2,00 2,66 3,23 80 1,66 1,99 2,03 2,64 3,20 120 1,98 2,62 3,16 150 2,61 3,15 250 1,65 1,97 2,60 3,12 500 0,67 1,96 2,59 3,11 ∞ 1,64 2,58 3,09

21 Incerteza na Reconciliação de Dados e Covariância
Covariância (“covariance”) dos vetores x e y é: Se VM é vetor das vazões medidas e VR é o vetor das vazões reconciliadas de um balanço hídrico, as matrizes variâncias covariâncias dessas variáveis são U2M e U2R e as relações entre elas são:

22 Demonstração: O problema de reconciliação de dados de um balanço hídrico é dado por: A solução analítica desse problema quadrático pode ser obtida aplicando o método dos Multiplicadores de Lagrange: c. q. d.

23 Demonstração: Por definição: Mas: Então:

24 Demonstração: Lembrando que a matriz de sensibilidade é constante: c. q. d.

25 Avaliação da incerteza
De acordo com o VIM a incerteza é avaliada, NÃO é calculada, nem determinada, muito menos estimada. O que se estima é a grandeza de medição. A incerteza é avaliada.